単項式関数を定義します。単項式関数は任意の点において収束するとともに、連続です。

単項式関数

関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) \in \mathbb{R}\)が、自然数\(n\in \mathbb{N}\)と実数\(c\in \mathbb{R}\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =cx^{n}
\end{equation*}という形で表すことができる場合には、\(f\)を単項式関数(monomial function)と呼びます。

単項式関数\(f\)がそれぞれの\(x\)に対して定める値\(f\left( x\right) =cx^{n}\)を単項式(monomial)と呼びます。単項式\(cx^{n}\)の実数部分\(c\)を係数(coefficient)と呼び、単項式\(cx^{n}\)において変数\(x\)が掛け合わされている回数\(n\)を次数(degree)と呼びます。

単項式関数\(f\left( x\right) =cx^{n}\)において\(n=0\)とすれば\(f\left( x\right) =c\)となり、これは定数関数です。また、\(c=1\)かつ\(n=1\)とすれば\(f\left( x\right) =x\)となり、これは恒等関数です。つまり、定数関数や恒等関数は単項式関数の特殊ケースです。

例(単項式関数)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =3x
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は単項式関数であり、その次数は\(1\)です。
例(単項式関数)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\sqrt{2}x^{3}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は単項式関数であり、その次数は\(3\)です。

 

単項式関数の極限

繰り返しになりますが、単項式関数\(cx^{n}\)は定数関数\(c\)と\(n\)個の恒等関数\(x\)の積として表されます。すでに明らかにしたように、定数関数と恒等関数はともに任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において収束します。また、一般に、関数\(f,g\)が点\(\alpha \)において収束する場合には関数\(f\cdot g\)もまた点\(\alpha \)において収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow \alpha
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立します。以上の事実を利用すると、単項式関数の極限に関する以下の命題が得られます。

命題(単項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)が単項式関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)と実数\(c\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =cx^{n}
\end{equation*}という形で表すことができるものとする。この\(f\)は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =c\alpha ^{n}
\end{equation*}となる。
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例(単項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =3x^{2}
\end{equation*}であるならば、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3}3x^{2}=3\cdot
3^{2}=27 \\
\lim_{x\rightarrow -1}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-1}3x^{2}=3\left( -1\right) ^{2}=3 \\
\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}3x^{3}=3\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}=\frac{3}{8}
\end{eqnarray*}などとなります。

 

単項式関数の連続性

繰り返しになりますが、単項式関数\(cx^{n}\)は定数関数\(c\)と\(n\)個の恒等関数\(x\)の積として表されます。すでに明らかにしたように、定数関数と恒等関数はともに任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において連続です。また、一般に、関数\(f,g\)が点\(\alpha \)において連続である場合には関数\(f\cdot g\)もまた点\(\alpha \)において連続です。以上の事実を利用すると、単項式関数の連続性に関する以下の命題が得られます。

命題(単項式関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)が単項式関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)と実数\(c\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =cx^{n}
\end{equation*}という形で表すことができるものとする。この\(f\)は\(\mathbb{R}\)上で連続である。
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例(単項式関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =3x^{2}
\end{equation*}であるならば、任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( 3x^{2}\right) =3\alpha ^{2}=f\left( \alpha \right)
\end{equation*}となるため、\(f\)は\(\mathbb{R}\)上で連続です。

次回は多項式関数について学びます。

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