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単調関数・狭義単調関数

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単調関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関して、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow f\left( x\right)
\leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つ場合、つまり、変数\(x\)の値が大きくなるにつれて\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)が大きくなることはあっても小さくなることはない場合、この関数\(f\)を単調増加関数(monotonically increasing function)や単調非減少関数(monotonically non-decreasing function)などと呼びます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が単調増加であることを示すための典型的な方法は、\(x^{\prime }>x\)すなわち\(x^{\prime }-x>0\)を満たす\(x,x^{\prime }\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}f\left( x^{\prime }\right) -f\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}を示すというものです。なぜなら、この場合には\(f\left( x^{\prime }\right) \geq f\left(x\right) \)となることが保証されるからです。

例(単調増加関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =6x+2
\end{equation*}を定めるものとします。\(x<x^{\prime }\)すなわち\(x^{\prime}-x>0\)を満たす\(x,x^{\prime }\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x^{\prime }\right) -f\left( x\right) &=&\left( 6x^{\prime
}+2\right) -\left( 6x+2\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&6\left( x^{^{\prime }}-x\right) \\
&>&6\cdot 0\quad \because x^{\prime }-x>0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x^{\prime }\right) >f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、この関数は単調増加です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関して、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow f\left( x\right)
\geq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つ場合、つまり、変数\(x\)の値が大きくなるにつれて\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)が小さくなることはあっても大きくなることはない場合、この関数\(f\)を単調減少関数(monotonically decreasing function)や単調非増加関数(monotonically non-increasing function)などと呼びます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が単調減少であることを示すための典型的な方法は、\(x^{\prime }>x\)すなわち\(x^{\prime }-x>0\)を満たす\(x,x^{\prime }\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}f\left( x^{\prime }\right) -f\left( x\right) \leq 0
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
f\left( x\right) -f\left( x^{\prime }\right) \geq 0
\end{equation*}を示すというものです。なぜなら、いずれの場合にも\(f\left( x\right) \geq f\left( x^{\prime }\right) \)となることが保証されるからです。

例(単調減少関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{2}x+3
\end{equation*}を定めるものとします。\(x<x^{\prime }\)すなわち\(x^{\prime}-x>0\)を満たす\(x,x^{\prime }\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) -f\left( x^{\prime }\right) &=&\left( -\frac{1}{2}x+3\right) -\left( -\frac{1}{2}x^{\prime }+3\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\left( x^{\prime }-x\right) \\
&>&\frac{1}{2}\cdot 0\quad \because x^{\prime }-x>0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) >f\left( x^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つため、この関数は単調減少です。

単調増加関数と単調減少関数を総称して単調関数(monotone function)と呼びます。言い換えると、ある関数が単調であることとは、その関数が単調増加もしくは単調減少の少なくとも一方であることを意味します。ちなみに以下の例のように、単調増加かつ単調減少であるような単調関数も存在します。

例(単調関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。この関数は単調増加かつ単調減少であるような単調関数です(演習問題にします)。

関数は単調であるとは限りません。以下は単調関数ではない関数の例です。

例(単調ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は単調ではありません(演習問題にします)。

 

狭義単調関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関して、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow f\left( x\right)
<f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つ場合、つまり、変数\(x\)の値が大きくなるにつれて\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)が大きくなる場合、この関数\(f\)を狭義単調増加関数(strictly monotonically increasing function)と呼びます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義単調増加であることを示すための典型的な方法は、\(x^{\prime}>x\)すなわち\(x^{\prime }-x>0\)を満たす\(x,x^{\prime }\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}f\left( x^{\prime }\right) -f\left( x\right) >0
\end{equation*}を示すというものです。なぜなら、この場合には\(f\left( x^{\prime }\right) >f\left(x\right) \)となることが保証されるからです。

例(狭義単調増加関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =6x+2
\end{equation*}を定めるものとします。先ほど、この関数が単調増加であることを示しましたが、これは狭義単調増加関数でもあります。実際、\(x<x^{\prime }\)を満たす\(x,x^{\prime }\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x^{\prime }\right) >f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つからです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関して、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow f\left( x\right)
>f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つ場合、つまり、変数\(x\)の値が大きくなるにつれて\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)が小さくなる場合、この関数\(f\)を狭義単調減少関数(strictly monotonically decreasing function)と呼びます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義単調減少であることを示すための典型的な方法は、\(x^{\prime}>x\)すなわち\(x^{\prime }-x>0\)を満たす\(x,x^{\prime }\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}f\left( x^{\prime }\right) -f\left( x\right) <0
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
f\left( x\right) -f\left( x^{\prime }\right) >0
\end{equation*}を示すというものです。なぜなら、この場合には\(f\left( x^{\prime }\right) <f\left(x\right) \)となることが保証されるからです。

例(狭義単調減少関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{2}x+3
\end{equation*}を定めるものとします。先ほど、この関数が単調減少であることを示しましたが、これは狭義単調減少関数でもあります。実際、\(x<x^{\prime }\)を満たす\(x,x^{\prime }\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) >f\left( x^{\prime }\right)
\end{equation*}が成り立つからです。

狭義単調増加関数と狭義単調減少関数を総称して狭義単調関数(strictly monotone function)と呼びます。狭義単調増加かつ狭義単調減少であるような関数は存在しないため(演習問題にします)、ある関数が狭義単調であることは、その関数が狭義単調増加もしくは狭義単調減少のどちらか一方であることを意味します。

 

単調関数と狭義単調関数の関係

狭義単調増加関数は単調増加であり、狭義単調減少関数は単調減少です(演習問題にします)。しかし、これらの逆は成立するとは限りません。つまり、単調増加関数は狭義単調増加であるとは限りませんし、単調減少関数は狭義単調減少であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(単調だが狭義単調ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。この関数は単調増加かつ単調減少である一方、狭義単調増加と狭義単調減少のどちらでもありません。

 

全単射としての狭義単調関数

復習になりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)の定義域に属する異なる要素\(a,a^{\prime}\in A\)を任意に選んだとき、\(f\)によるそれらの像\(f\left( a\right) ,f\left( a^{\prime }\right) \)もまた異なることが保証される場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall a,a^{\prime }\in A:\left[ a\not=a^{\prime }\Rightarrow f\left(
a\right) \not=f\left( a^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)を単射と呼びます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は特別な写像であるため、関数に関しても、それが単射であるかどうかが検討可能です。そこで、この関数\(f\)が狭義単調増加であるものとします。\(x\not=x^{\prime }\)を満たす\(x,x^{\prime }\in X\)を任意に選んだとき、\(x<x^{\prime }\)か\(x^{\prime }<x\)のどちら一方が成り立ちます。\(x<x^{\prime }\)の場合には\(f\)が狭義単調増加であることから\(f\left( x\right)<f\left( x^{\prime }\right) \)となりますが、これは\(f\left( x\right) \not=f\left( x^{\prime}\right) \)を意味します。\(x^{\prime}<x\)の場合も同様にして\(f\left( x^{\prime }\right) \not=f\left( x\right) \)が導かれるため、\(f\)は単射であることが示されました。狭義単調増加関数は単射であるということです。狭義単調減少関数が単射であることも同様にして示されます。

命題(狭義単調関数は単射)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義単調関数であるならば、\(f\)は単射である。

上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、単射であるような関数は狭義単調であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(単射だが狭義単調ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left\{ 1,2,3\right\} \rightarrow \left\{ 4,5,6\right\} \)が、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&4 \\
f\left( 2\right) &=&9 \\
f\left( 3\right) &=&5
\end{eqnarray*}を満たすものとします。この\(f\)は単射である一方で狭義単調ではありません(演習問題にします)。

上の命題において「狭義単調関数」という条件を「単調関数」に置き換えたとき、主張は成り立つとは限りません。単調関数は単射であるとは限らないということです。以下の例から明らかです。

例(単射ではない単調関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。この\(f\)は単調関数である一方で単射ではありません(演習問題にします)。

復習になりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)の終集合の要素\(b\in B\)を任意に選んだとき、それに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす定義域の要素\(a\in A\)が存在することが保証される場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall b\in B,\ \exists a\in A:b=f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)を全射と呼びます。一般に、写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、その終集合を値域\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( a\right) \in B\ |\ a\in A\right\}
\end{equation*}に制限して\(f:A\rightarrow f\left( A\right) \)とすれば、それぞれの\(b\in f\left( A\right) \)に対して\(b=f\left(a\right) \)を満たす\(a\in A\)が必ず存在するため、この\(f\)は全射になります。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は特別な写像であるため、同様の議論が成り立ちます。つまり、関数\(f\)の終集合を値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}に制限して\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)とすればこれは全射になります。

命題(関数から作られる全射)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)は全射である。

単射かつ全射であるような写像を全単射と呼びます。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義単調関数であるものとします。先の命題より、\(f\)は単射です。さらに\(f\)の終集合を値域に制限して\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)とすれば全射になります。単射の定義域を制限してもそれは相変わらず単射です。したがって、狭義単調関数\(f\)の終集合を値域に制限した\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)は全単射であることが明らかになりました。

命題(狭義単調関数から作られる全単射)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義単調関数であるならば、\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow f\left( X\right) \)は全単射である。

この命題の逆は成立するとは限りません。なぜなら、先に示したように単射であるような関数は狭義単調であるとは限らないからです。また、上の命題において「狭義単調関数」の部分を「単調関数」に置き換えて得られる主張は成り立つとは限りません。単調関数は単射であるとは限らないからです。

例(狭義単調関数から作られる全単射)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =6x+2
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数は狭義単調増加であるため単射です。加えて、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ 6x+2\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}であり、これは終集合\(\mathbb{R} \)と一致するため、この関数は全単射でもあります。
例(狭義単調関数から作られる全単射)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし\(\mathbb{R} _{+}\)はすべての非負の実数からなる集合です。\(x_{1}<x_{2}\)すなわち\(x_{2}-x_{1}>0\)を満たす\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{1}\right) &=&x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left( x_{2}+x_{1}\right) \left( x_{2}-x_{1}\right) \\
&>&0\quad \because x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} _{+}\text{かつ}x_{2}-x_{1}>0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) >f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}であるためこの関数は狭義単調増加であり、したがって単射です。加えて、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \mathbb{R} _{+}\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} _{+}\right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} _{+}\right\} \\
&=&\mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)の終集合を値域に制限した\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は全射であり、したがって全単射でもあります。

 

演習問題

問題(単調関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。この関数は単調増加かつ単調減少であるような単調関数であることを証明してください。
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問題(単調ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は単調関数ではないことを証明してください。
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問題(狭義単調関数は単調関数)
狭義単調増加関数はいずれも単調増加関数であることを証明してください。また、狭義単調減少関数はいずれも単調減少関数であることを証明してください。
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問題(狭義単調関数)
狭義単調増加かつ狭義単調減少であるような関数は存在しないことを証明してください。
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問題(単射だが狭義単調ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left\{ 1,2,3\right\} \rightarrow \left\{ 4,5,6\right\} \)が、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&4 \\
f\left( 2\right) &=&9 \\
f\left( 3\right) &=&5
\end{eqnarray*}を満たすものとします。この\(f\)は単射である一方で狭義単調ではないことを示してください。
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問題(単射ではない単調関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。この\(f\)は単調関数である一方で単射ではないことを示してください。
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