教材一覧
FUNCTION

指数が自然数である場合の累乗

< 前のページ
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

正の実数の自然数乗

正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\(n\)個の\(x\)をかけ合わせることで得られる実数を、\begin{equation*}x^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{x\cdot \cdots \cdot x}}
\end{equation*}で表記し、これを\(x\)の\(n\)乗(\(x\) to the \(n\)-th power)と呼びます。\(x^{n}\)のように\(x\)を何回かかけ合わせることで得られる実数を\(x\)の累乗(power)と呼びます。また、\(x\)を\(x^{n}\)の(base)と呼び、\(n\)を\(x^{n}\)の指数(exponent)と呼びます。

実数空間\(\mathbb{R} \)は乗法について閉じているため、底\(a\)が正の実数であり指数\(n\)が自然数である場合、\(a\)の累乗\(a^{n}\)は必ず1つの実数として定まります。

例(正の実数の自然数乗)
\(1\)の自然数乗については、\begin{eqnarray*}1^{1} &=&1 \\
1^{2} &=&1\cdot 1=1 \\
1^{3} &=&1\cdot 1\cdot 1=1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(正の実数の自然数乗)
\(2\)の自然数乗については、\begin{eqnarray*}2^{1} &=&2 \\
2^{2} &=&2\cdot 2=4 \\
2^{3} &=&2\cdot 2\cdot 2=8 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(正の実数の自然数乗)
\(\frac{1}{2}\)の自然数乗については、\begin{eqnarray*}\left( \frac{1}{2}\right) ^{1} &=&\frac{1}{2} \\
\left( \frac{1}{2}\right) ^{2} &=&\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \\
\left( \frac{1}{2}\right) ^{2} &=&\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

累乗は正の実数

正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{n}>0
\end{equation*}が成り立つことが\(n\)に関する数学的帰納法により証明されます。つまり、累乗は正の実数です。

命題(累乗の符号)
正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{n}>0
\end{equation*}が成り立つ。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

底を共有する累乗の積

正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}a^{m}\cdot a^{n} &=&\overset{m\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots
\cdot a}}\cdot \overset{n\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots \cdot a}}\quad \because \text{累乗の定義} \\
&=&\overset{m+n\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots \cdot a}} \\
&=&a^{m+n}\quad \because \text{累乗の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

つまり、同じ底\(a\)を共有する累乗\(a^{m},a^{n}\)が与えられたとき、それらの積\(a^{m}\cdot a^{n}\)を求めるためには指数どうしの和\(m+n\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{m+n}\)をとればよいということです。「累乗の積」に関する問題は「指数の和」に関する問題へと帰着させられます。

命題(底を共有する累乗の積)
正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}
\end{equation*}が成り立つ。
例(底を共有する累乗の積)
以下が成り立ちます。\begin{eqnarray*}
2^{3}\cdot 2^{2} &=&2^{3+2}=2^{5} \\
3^{4}\cdot 3^{2} &=&3^{4+2}=3^{6} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{2}\cdot \left( \frac{2}{3}\right) ^{4} &=&\left(
\frac{2}{3}\right) ^{2+4}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{6}
\end{eqnarray*}

 

底を共有する累乗の商

正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と\(m>n\)を満たす自然数\(n,m\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}\frac{a^{m}}{a^{n}} &=&\overset{m\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots
\cdot a}}/\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots \cdot a}}\quad
\because \text{累乗の定義} \\
&=&\overset{m-n\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots \cdot a}}\quad
\because m>n \\
&=&a^{m-n}\quad \because \text{累乗の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

つまり、同じ底\(a\)を共有する累乗\(a^{m},a^{n}\)が与えられたとき、\(m>n\)という条件のもと、それらの商\(\frac{a^{m}}{a^{n}}\)を求めるためには指数どうしの差\(m-n\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{m-n}\)をとればよいということです。「累乗の商」に関する問題は「指数の差」に関する問題へと帰着させられます。ちなみに、\(m\leq n\)の場合には\(m-n\leq 0\)となるため、累乗\(a^{m-n}\)の指数がゼロもしくは負の整数になってしまいます。このような累乗についてはまだ定義していません。指数が整数であるような累乗については場を改めて解説します。

命題(底を共有する累乗の商)
正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と\(m>n\)を満たす自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}
\end{equation*}が成り立つ。
例(底を共有する累乗の商)
以下が成り立ちます。\begin{eqnarray*}
\frac{2^{3}}{2^{2}} &=&2^{3-2}=2 \\
\frac{3^{4}}{2^{2}} &=&3^{4-2}=3^{2} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{4}/\left( \frac{2}{3}\right) ^{2} &=&\left(
\frac{2}{3}\right) ^{4-2}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{2}
\end{eqnarray*}

 

累乗の累乗

正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}\left( a^{m}\right) ^{n} &=&\left( \overset{m\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots \cdot a}}\right) ^{n}\quad \because \text{累乗の定義} \\
&=&\overset{n\text{個}}{\overbrace{\overset{m\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots \cdot a}}\cdot \cdots \cdot \overset{m\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots \cdot a}}}}\quad \because \text{累乗の定義} \\
&=&\overset{mn\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots \cdot a}} \\
&=&a^{mn}\quad \because \text{累乗の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( a^{m}\right) ^{n}=a^{mn}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

つまり、累乗\(a^{m}\)が与えられたとき、さらにその累乗\(\left( a^{m}\right) ^{n}\)を求めるためには指数どうしの積\(mn\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{mn}\)をとればよいということです。「累乗の累乗」に関する問題は「指数の積」に関する問題へと帰着させられます。

命題(累乗の累乗)
正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( a^{m}\right) ^{n}=a^{mn}
\end{equation*}が成り立つ。
例(累乗の累乗)
以下が成り立ちます。\begin{eqnarray*}
\left( 2^{3}\right) ^{2} &=&2^{3\cdot 2}=2^{6} \\
\left( 3^{2}\right) ^{4} &=&3^{2\cdot 4}=3^{8} \\
\left( \left( \frac{2}{3}\right) ^{2}\right) ^{4} &=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{2\cdot 4}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{8}
\end{eqnarray*}

 

積の累乗

正の実数\(a,b\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}\left( ab\right) ^{n} &=&\overset{n\text{個}}{\overbrace{ab\cdot
\cdots \cdot ab}}\quad \because \text{累乗の定義} \\
&=&\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots \cdot a}}\cdot
\overset{n\text{個}}{\overbrace{b\cdot \cdots \cdot b}} \\
&=&a^{n}b^{n}\quad \because \text{累乗の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( ab\right) ^{n}=a^{n}b^{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

つまり、正の実数\(a,b\)が与えられたとき、それらの積の累乗\(\left( ab\right)^{n}\)を求めるためには、\(a\)の累乗\(a^{n}\)と\(b\)の累乗\(b^{n}\)をそれぞれとり、それらの積をとればよいということです。「積の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

命題(積の累乗)
正の実数\(a,b\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( ab\right) ^{n}=a^{n}b^{n}
\end{equation*}が成り立つ。
例(積の累乗)
以下が成り立ちます。\begin{eqnarray*}
\left( 2\cdot 3\right) ^{2} &=&2^{2}\cdot 3^{2} \\
\left( 3\cdot 2\right) ^{4} &=&3^{4}\cdot 2^{4} \\
\left( \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}\right) ^{5} &=&\left( \frac{2}{3}\right)
^{5}\cdot \left( \frac{2}{5}\right) ^{5}
\end{eqnarray*}

 

商の累乗

正の実数\(a,b\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}\left( \frac{a}{b}\right) ^{n} &=&\left( a\cdot \frac{1}{b}\right) ^{n} \\
&=&a^{n}\cdot \left( \frac{1}{b}\right) ^{n}\quad \because \text{積の累乗}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}=a^{n}\cdot \left( \frac{1}{b}\right) ^{n}
\quad \cdots (1)
\end{equation}となります。ただし、\begin{eqnarray*}
b^{n}\cdot \left( \frac{1}{b}\right) ^{n} &=&\overset{n\text{個}}{\overbrace{b\cdot \cdots \cdot b}}\cdot \overset{n\text{個}}{\overbrace{\frac{1}{b}\cdot \cdots \cdot \frac{1}{b}}}\quad \because \text{累乗の定義} \\
&=&\overset{n\text{個}}{\overbrace{\left( b\cdot \frac{1}{b}\right)
\cdot \cdots \cdot \left( b\cdot \frac{1}{b}\right) }} \\
&=&\overset{n\text{個}}{\overbrace{1\cdot \cdots \cdot 1}} \\
&=&1^{n}\quad \because \text{累乗の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\(b^{n}>0\)であることを踏まえると、\begin{equation}\left( \frac{1}{b}\right) ^{n}=\frac{1}{b^{n}} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。以上より、\begin{eqnarray*}
\left( \frac{a}{b}\right) ^{n} &=&a^{n}\cdot \left( \frac{1}{b}\right)
^{n}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&a^{n}\cdot \frac{1}{b^{n}}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{a^{n}}{b^{n}}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

つまり、正の実数\(a,b\)が与えられたとき、それらの商の累乗\(\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}\)を求めるためには、\(a\)の累乗\(a^{n}\)と\(b\)の累乗\(b^{n}\)をそれぞれとり、それらの商をとればよいということです。「商の累乗」に関する問題は「累乗の商」に関する問題へと帰着させられます。

命題(商の累乗)
正の実数\(a,b\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}
\end{equation*}が成り立つ。
例(積の累乗)
以下が成り立ちます。\begin{eqnarray*}
\left( \frac{2}{3}\right) ^{2} &=&\frac{2^{2}}{3^{2}} \\
\left( \frac{3}{2}\right) ^{4} &=&\frac{3^{4}}{2^{4}} \\
\left( \frac{2}{3}/\frac{2}{5}\right) ^{5} &=&\left( \frac{2}{3}\right)
^{5}/\left( \frac{2}{5}\right) ^{5}
\end{eqnarray*}

 

累乗の大きさ

正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{n}>0
\end{equation*}が成り立つことを先に示しましたが、さらに、\(a>1\)の場合には、\begin{equation*}a^{n}>1
\end{equation*}が成り立つことがやはり\(n\)に関する数学的帰納法により示されます。また、以上の事実を利用すると、\(1>a>0\)の場合には逆に、\begin{equation*}1>a^{n}
\end{equation*}が成り立つことが示されます。

命題(累乗の符号)
正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\(a>1\)の場合には、\begin{equation*}a^{n}>1
\end{equation*}となり、\(1>a>0\)の場合には、\begin{equation*}1>a^{n}
\end{equation*}となる。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(累乗の符号)
以下が成り立ちます。\begin{eqnarray*}
\left( 2\right) ^{7} &>&1 \\
1^{5} &=&1 \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{3} &<&1
\end{eqnarray*}

 

累乗の比較

累乗の符号に関する上の命題を利用すると、底を共有する累乗の大小関係に関する以下の命題が得られます。

命題(累乗の比較)
正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\(a>1\)の場合には、\begin{equation*}m>n\Leftrightarrow a^{m}>a^{n}
\end{equation*}が成り立ち、\(1>a>0\)の場合には、\begin{equation*}m>n\Leftrightarrow a^{m}<a^{n}
\end{equation*}が成り立つ。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(累乗の符号)
以下が成り立ちます。\begin{eqnarray*}
2^{2} &<&2^{5} \\
1^{2} &=&1^{5} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{2} &>&\left( \frac{2}{3}\right) ^{5}
\end{eqnarray*}

 

累乗と底の関係

累乗の符号に関する先の命題を用いると以下を導くことができます。つまり、底を共有する2つの累乗が等しいことと、それらの指数が等しいことは必要十分です。

命題(累乗と底の関係)

正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{m}=a^{n}\Leftrightarrow m=n
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

指数が自然数である累乗の性質

得られた結果をまとめておきましょう。まず、指数が自然数であるような累乗を計算する際には以下の関係式を利用できます。これらを総称して指数法則(laws of esponents)と呼びます。

命題(指数法則)
以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall m,n\in \mathbb{N} :a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left( m>n\Rightarrow \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left( a^{m}\right) ^{n}=a^{mn} \\
&&\left( d\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} _{++},\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( ab\right) ^{n}=a^{n}b^{n} \\
&&\left( e\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} _{++},\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}
\end{eqnarray*}

また、指数が自然数であるような累乗を比較する際には以下の関係式を利用できます。

命題(累乗の比較)
以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall n\in \mathbb{N} :a^{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( a>1\Rightarrow a^{n}>1\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( 1>a>0\Rightarrow 1>a^{n}\right) \\
&&\left( d\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left[ a>1\Rightarrow \left( m>n\Leftrightarrow a^{m}>a^{n}\right) \right] \\
&&\left( e\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left[ 1>a>0\Rightarrow \left( m>n\Leftrightarrow a^{n}>a^{m}\right) \right] \\
&&\left( f\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left( m=n\Leftrightarrow a^{m}=a^{n}\right)
\end{eqnarray*}

 

演習問題

問題(指数法則)
以下を計算してください。
  1. \(7^{10}\times 7^{12}\)
  2. \(\left( \frac{1}{2}\right) ^{4}\times \left( \frac{1}{2}\right) ^{3}\)
  3. \(\left( \frac{2}{3}\right) ^{7}\times \left( \frac{2}{3}\right) ^{2}\)
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(指数法則)
以下を計算してください。
  1. \(4^{4}/4^{2}\)
  2. \(5^{3}/5\)
  3. \(\left( \frac{2}{3}\right) ^{7}/\left( \frac{2}{3}\right) ^{2}\)
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(指数法則)
以下を計算してください。
  1. \(\left( 3^{2}\right) ^{4}\)
  2. \(\left( 4^{3}\right) ^{8}\)
  3. \(\left[ \left( \frac{2}{3}\right) ^{3}\right] ^{2}\)
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

次回は指数が整数であるような累乗について解説します。

< 前のページ
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

累乗

指数が有理数である場合の累乗

正の実数が底であり、指数が有理数であるような累乗が常に1つの実数として定まるとともに、これもまた指数法則を満たします。

累乗

指数が実数である場合の累乗

指数が実数であるような累乗を定義した上で、これが有理数の指数を持つ累乗の一般化であるとともに、指数法則を満たすことを示します。

指数関数

指数関数

正の実数であるような底を所与としたとき、指数を変数とし、累乗を値として定めるような関数を指数関数と呼びます。指数関数は正の実数を値としてとる狭義単調関数です。

DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関数