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自然数指数の累乗

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正の実数の自然数乗

正の実数\(a>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\(n\)個の\(a\)をかけ合わせることで得られる実数を、\begin{equation*}a^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots \cdot a}}
\end{equation*}と表記し、これを\(a\)の\(n\)乗(\(x\) to the \(n\)-th power)と呼びます。\(a^{n}\)のように\(a\)をかけ合わせることで得られる実数を\(a\)の累乗(power)と呼びます。また、\(a\)を\(a^{n}\)の(base)と呼び、\(n\)を\(a^{n}\)の指数(exponent)と呼びます。

実数空間\(\mathbb{R} \)は乗法について閉じているため、底\(a\)が正の実数であり指数\(n\)が自然数である場合、累乗\(a^{n}\)は必ず1つの実数として定まります。

例(自然数乗)
\(1\)の自然数乗については、\begin{eqnarray*}1^{1} &=&1 \\
1^{2} &=&1\cdot 1=1 \\
1^{3} &=&1\cdot 1\cdot 1=1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(自然数乗)
\(10\)の自然数乗については、\begin{eqnarray*}10^{1} &=&10 \\
10^{2} &=&10\cdot 10=100 \\
10^{3} &=&10\cdot 10\cdot 10=1000 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(自然数乗)
\(\frac{1}{10}\)の自然数乗については、\begin{eqnarray*}\left( \frac{1}{10}\right) ^{1} &=&\frac{1}{10} \\
\left( \frac{1}{10}\right) ^{2} &=&\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{100} \\
\left( \frac{1}{10}\right) ^{3} &=&\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{1000} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(自然数乗)
ある人が伝染病を発症しました。その病気は平均して1人から1日あたり平均で3人に感染するものとします。初日の感染者数は、\begin{equation*}
3\ \left( =3^{1}\right)
\end{equation*}です。翌日にはこの\(3\)人からそれぞれ\(3\)人に感染するため、2日目までの総感染者数は、\begin{equation*}3\cdot 3=9\ \left( =3^{2}\right)
\end{equation*}となります。その翌日にはこの\(9\)人からそれぞれ\(3\)人に感染するため、3日目までの総感染者数は、\begin{equation*}9\cdot 3=27\ \left( =3^{3}\right)
\end{equation*}です。以降についても同様に考えると、\(n\)日目までの総感染者数は、\begin{equation*}3^{n}
\end{equation*}となります。

例(自然数乗)
全16人が参加するテニスのトーナメントが開催されます。すべての参加者の中でも1回戦で敗退する人の割合は、\begin{equation*}
\left( \frac{1}{2}\right) ^{1}=\frac{1}{2}
\end{equation*}であり、これは8人に相当します。すべての参加者の中でも2回戦で敗退する人の割合は、\begin{equation*}
\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}
\end{equation*}であり、これは4人に相当します。すべての参加者の中でも3回戦で敗退する人の割合は、\begin{equation*}
\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}
\end{equation*}であり、これは2人に相当します。すべての参加者の中でも4回戦で敗退する人の割合は、\begin{equation*}
\left( \frac{1}{2}\right) ^{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{16}
\end{equation*}であり、これは1人に相当します。したがって第4回戦が決勝戦です。

 

累乗の符号

正の実数\(a>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{n}>0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、累乗は正の実数です。

命題(累乗の符号)
正の実数\(a>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{n}>0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(累乗の符号)
累乗の定義より、\begin{eqnarray*}
2^{3} &=&2\cdot 2\cdot 2=8>0 \\
1^{3} &=&1\cdot 1\cdot 1=1>0 \\
\left( \frac{1}{2}\right) ^{3} &=&\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}>0
\end{eqnarray*}などが成り立ちますが、これは上の命題の主張と整合的です。

 

底を共有する累乗の積

正の実数\(a>0\)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する累乗\(a^{m},a^{n}\)が与えられたとき、それらの積\(a^{m}\cdot a^{n}\)を求めるためには指数どうしの和\(m+n\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{m+n}\)をとればよいということです。「累乗の積」に関する問題は「指数の和」に関する問題へと帰着させられます。

命題(底を共有する累乗の積)
正の実数\(a>0\)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(底を共有する累乗の積)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
2^{3}\cdot 2^{2} &=&2^{3+2}=2^{5} \\
3^{4}\cdot 3^{2} &=&3^{4+2}=3^{6} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{2}\cdot \left( \frac{2}{3}\right) ^{4} &=&\left(
\frac{2}{3}\right) ^{2+4}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{6}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

底を共有する累乗の商

正の実数\(a>0\)と\(m>n\)を満たす自然数\(n,m\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する累乗\(a^{m},a^{n}\)が与えられたとき、\(m>n\)という条件のもと、商\(\frac{a^{m}}{a^{n}}\)を求めるためには指数どうしの差\(m-n\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{m-n}\)をとればよいということです。「累乗の商」に関する問題は「指数の差」に関する問題へと帰着させられます。ちなみに、\(m\leq n\)の場合には\(m-n\leq 0\)となるため、累乗\(a^{m-n}\)の指数がゼロもしくは負の整数になってしまいます。このような累乗をまだ定義していません。指数が整数であるような累乗については場を改めて解説します。

命題(底を共有する累乗の商)
正の実数\(a>0\)と\(m>n\)を満たす自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(底を共有する累乗の商)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\frac{2^{3}}{2^{2}} &=&2^{3-2}=2 \\
\frac{3^{4}}{2^{2}} &=&3^{4-2}=3^{2} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{4}/\left( \frac{2}{3}\right) ^{2} &=&\left(
\frac{2}{3}\right) ^{4-2}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{2}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

累乗の累乗

正の実数\(a>0\)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( a^{m}\right) ^{n}=a^{mn}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、累乗\(a^{m}\)が与えられたとき、さらにその累乗\(\left( a^{m}\right) ^{n}\)を求めるためには指数どうしの積\(mn\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{mn}\)をとればよいということです。「累乗の累乗」に関する問題は「指数の積」に関する問題へと帰着させられます。

命題(累乗の累乗)
正の実数\(a>0\)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( a^{m}\right) ^{n}=a^{mn}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(累乗の累乗)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( 2^{3}\right) ^{2} &=&2^{3\cdot 2}=2^{6} \\
\left( 3^{2}\right) ^{4} &=&3^{2\cdot 4}=3^{8} \\
\left( \left( \frac{2}{3}\right) ^{2}\right) ^{4} &=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{2\cdot 4}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{8}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

積の累乗

正の実数\(a,b>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( ab\right) ^{n}=a^{n}b^{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、正の実数\(a,b\)が与えられたとき、それらの積の累乗\(\left( ab\right) ^{n}\)を求めるためには、\(a\)の累乗\(a^{n}\)と\(b\)の累乗\(b^{n}\)をそれぞれとり、それらの積をとればよいということです。「積の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

命題(積の累乗)
正の実数\(a,b>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( ab\right) ^{n}=a^{n}b^{n}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(積の累乗)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( 2\cdot 3\right) ^{2} &=&2^{2}\cdot 3^{2} \\
\left( 3\cdot 2\right) ^{4} &=&3^{4}\cdot 2^{4} \\
\left( \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}\right) ^{5} &=&\left( \frac{2}{3}\right)
^{5}\cdot \left( \frac{2}{5}\right) ^{5}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

商の累乗

正の実数\(a,b>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、正の実数\(a,b\)が与えられたとき、それらの商の累乗\(\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}\)を求めるためには、\(a\)の累乗\(a^{n}\)と\(b\)の累乗\(b^{n}\)をそれぞれとり、それらの商をとればよいということです。「商の累乗」に関する問題は「累乗の商」に関する問題へと帰着させられます。

命題(商の累乗)
正の実数\(a,b>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(積の累乗)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( \frac{2}{3}\right) ^{2} &=&\frac{2^{2}}{3^{2}} \\
\left( \frac{3}{2}\right) ^{4} &=&\frac{3^{4}}{2^{4}} \\
\left( \frac{2}{3}/\frac{2}{5}\right) ^{5} &=&\left( \frac{2}{3}\right)
^{5}/\left( \frac{2}{5}\right) ^{5}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

累乗の大きさ

正の実数\(a>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{n}>0
\end{equation*}が成り立つことを先に示しましたが、特に、\(a>1\)の場合には、\begin{equation*}a^{n}>1
\end{equation*}が成り立ちます。また、以上の事実を利用すると、\(1>a>0\)の場合には逆に、\begin{equation*}1>a^{n}
\end{equation*}が成り立つことが示されます。

命題(累乗の符号)
正の実数\(a>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\(a>1\)の場合には、\begin{equation*}a^{n}>1
\end{equation*}となり、\(1>a>0\)の場合には、\begin{equation*}1>a^{n}
\end{equation*}となる。

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例(累乗の符号)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( 2\right) ^{7} &>&1 \\
1^{5} &=&1 \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{3} &<&1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

累乗の比較

累乗の符号に関する上の命題を利用すると、底を共有する累乗の大小関係に関する以下の命題が得られます。

命題(累乗の比較)
正の実数\(a>0\)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\(a>1\)の場合には、\begin{equation*}m>n\Leftrightarrow a^{m}>a^{n}
\end{equation*}が成り立ち、\(1>a>0\)の場合には、\begin{equation*}m>n\Leftrightarrow a^{m}<a^{n}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(累乗の符号)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
2^{2} &<&2^{5} \\
1^{2} &=&1^{5} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{2} &>&\left( \frac{2}{3}\right) ^{5}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

累乗と底の関係

累乗の符号に関する先の命題を用いると以下を導くことができます。つまり、底を共有する2つの累乗が等しいことと、それらの指数が等しいことは必要十分です。

命題(累乗と底の関係)

正の実数\(a>0\)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{m}=a^{n}\Leftrightarrow m=n
\end{equation*}が成り立つ。

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自然数指数の累乗に関する指数法則

得られた結果をまとめておきましょう。まず、指数が自然数であるような累乗を計算する際には以下の関係式を利用できます。これらを総称して指数法則(laws of esponents)と呼びます。

命題(指数法則)
以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall a>0,\ \forall m,n\in \mathbb{N} :a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} \\
&&\left( b\right) \ \forall a>0,\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left( m>n\Rightarrow \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall a>0,\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left( a^{m}\right) ^{n}=a^{mn} \\
&&\left( d\right) \ \forall a,b>0,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( ab\right) ^{n}=a^{n}b^{n} \\
&&\left( e\right) \ \forall a,b>0,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}
\end{eqnarray*}

また、指数が自然数であるような累乗を比較する際には以下の関係式を利用できます。

命題(累乗の比較)
以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall a>0,\ \forall n\in \mathbb{N} :a^{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \forall a>0,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( a>1\Rightarrow a^{n}>1\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall a>0,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( 1>a>0\Rightarrow 1>a^{n}\right) \\
&&\left( d\right) \ \forall a>0,\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left[ a>1\Rightarrow \left( m>n\Leftrightarrow a^{m}>a^{n}\right) \right] \\
&&\left( e\right) \ \forall a>0,\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left[ 1>a>0\Rightarrow \left( m>n\Leftrightarrow a^{n}>a^{m}\right) \right] \\
&&\left( f\right) \ \forall a>0,\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left( m=n\Leftrightarrow a^{m}=a^{n}\right)
\end{eqnarray*}

 

演習問題

問題(指数法則)
以下を計算してください。

  1. \(7^{10}\times 7^{12}\)
  2. \(\left( \frac{1}{2}\right) ^{4}\times \left( \frac{1}{2}\right) ^{3}\)
  3. \(\left( \frac{2}{3}\right) ^{7}\times \left( \frac{2}{3}\right) ^{2}\)
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問題(指数法則)
以下を計算してください。

  1. \(4^{4}/4^{2}\)
  2. \(5^{3}/5\)
  3. \(\left( \frac{2}{3}\right) ^{7}/\left( \frac{2}{3}\right) ^{2}\)
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問題(指数法則)
以下を計算してください。

  1. \(\left( 3^{2}\right) ^{4}\)
  2. \(\left( 4^{3}\right) ^{8}\)
  3. \(\left[ \left( \frac{2}{3}\right) ^{3}\right] ^{2}\)
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次回は指数が整数であるような累乗について解説します。

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