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実数の定義

指数が自然数である場合の累乗

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指数が自然数である場合の実数の累乗

実数\(a\in \mathbb{R} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\(n\)個の\(a\)を掛け合わせることにより得られる実数を、\begin{equation*}a^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\cdot \cdots \cdot a}}
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)の累乗(power)と呼びます。また、累乗\(a_{n}\)において掛け合されている実数\(a\)を(base)と呼び、底\(a\)が掛け合されている回数を表す自然数\(n\)を指数(exponent)と呼びます。累乗\(a^{n}\)の指数が\(n\)であることを明示的に表現する場合には、\(a_{n}\)のことを\(a\)\(n\)(\(a\) to the \(n\)-th power)と呼びます。

実数空間\(\mathbb{R} \)は乗法について閉じているため、底\(a\)が実数であり指数\(n\)が自然数である場合、累乗\(a^{n}\)は必ず1つの実数として定まります。

例(自然数の自然数乗)
\(1\)の自然数乗については、\begin{eqnarray*}1^{1} &=&1 \\
1^{2} &=&1\cdot 1=1 \\
1^{3} &=&1\cdot 1\cdot 1=1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(自然数の自然数乗)
\(2\)の自然数乗については、\begin{eqnarray*}2^{1} &=&2 \\
2^{2} &=&2\cdot 2=4 \\
2^{3} &=&2\cdot 2\cdot 2=8 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(自然数の自然数乗)
\(10\)の自然数乗については、\begin{eqnarray*}10^{1} &=&10 \\
10^{2} &=&10\cdot 10=100 \\
10^{3} &=&10\cdot 10\cdot 10=1000 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(整数の自然数乗)
\(-1\)の自然数乗については、\begin{eqnarray*}\left( -1\right) ^{1} &=&-1 \\
\left( -1\right) ^{2} &=&\left( -1\right) \cdot \left( -1\right) =1 \\
\left( -1\right) ^{3} &=&\left( -1\right) \cdot \left( -1\right) \cdot
\left( -1\right) =-1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(有理数の自然数乗)
\(\frac{1}{10}\)の自然数乗については、\begin{eqnarray*}\left( \frac{1}{10}\right) ^{1} &=&\frac{1}{10} \\
\left( \frac{1}{10}\right) ^{2} &=&\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{100} \\
\left( \frac{1}{10}\right) ^{3} &=&\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{1000} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(無理数の自然数乗)
無理数\(\pi \)の自然数乗については、\begin{eqnarray*}\pi ^{1} &=&\pi \\
\pi ^{2} &=&\pi \cdot \pi \\
\pi ^{3} &=&\pi \cdot \pi \cdot \pi \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(感染者の総数)
ある伝染病は1人から1日あたり平均で\(a>0\)人に感染するものとします。感染者数の初期値は\(b>0\)人であるものとします。初日において、この\(b\)人からそれぞれ\(a\)人に感染するため、新規の感染者数は\(ba\)です。したがって、初日が終了した時点における総感染者数は、\begin{equation*}b+ba=b\left( 1+a\right)
\end{equation*}です。2日目において、この\(b\left( 1+a\right) \)人からそれぞれ\(a\)人に感染するため、新規の感染者数は\(b\left( 1+a\right) a\)です。したがって、2日目が終了した時点における総感染者数は、\begin{eqnarray*}b\left( 1+a\right) +b\left( 1+a\right) a &=&b\left( 1+a\right) \left(
1+a\right) \\
&=&b\left( 1+a\right) ^{2}
\end{eqnarray*}です。3日目において、この\(b\left( 1+a\right) ^{2}\)人からそれぞれ\(a\)人に感染するため新規の感染者数は\(b\left( 1+a\right) ^{2}a\)です。したがって、3日目が終了した時点における総感染者数は、\begin{eqnarray*}b\left( 1+a\right) ^{2}+b\left( 1+a\right) ^{2}a &=&b\left( 1+a\right)
^{2}\left( 1+a\right) \\
&=&b\left( 1+a\right) ^{3}
\end{eqnarray*}です。以降についても同様に考えると、\(n\)日目が終了した時点における総感染者数は、\begin{equation*}b\left( 1+a\right) ^{n}
\end{equation*}となります。\(\left( 1+a\right) ^{n}\)は底が\(1+a\)であり指数が\(n\)であるような累乗です。
例(複利計算)
ある金融機関に預金すると\(1\)年ごとに金利\(r>0\)の利息がつくものとします。元本は\(P>0\)円であるものとします。\(1\)年後には、元本\(P\)に対して利息\(rP\)がつくため、1年後の元本合計は、\begin{equation*}P+rP=P\left( 1+r\right)
\end{equation*}です。2年後には、元本\(P\left( 1+r\right) \)に対して利息\(rP\left( 1+r\right) \)がつくため、2年後の元本合計は、\begin{eqnarray*}P\left( 1+r\right) +rP\left( 1+r\right) &=&P\left( 1+r\right) \left(
1+r\right) \\
&=&P\left( 1+r\right) ^{2}
\end{eqnarray*}となります。3年後には、元本\(P\left( 1+r\right) ^{2}\)に対して利息\(rP\left( 1+r\right) ^{2}\)がつくため、3年後の元本合計は、\begin{eqnarray*}P\left( 1+r\right) ^{2}+rP\left( 1+r\right) ^{2} &=&P\left( 1+r\right)
^{2}\left( 1+r\right) \\
&=&P\left( 1+r\right) ^{3}
\end{eqnarray*}となります。以降についても同様に考えると、\(n\)年が経過した時点における元本合計は、\begin{equation*}P\left( 1+r\right) ^{n}
\end{equation*}となります。\(\left( 1+r\right) ^{n}\)は底が\(1+r\)であり指数が\(n\)であるような累乗です。
例(トーナメントの勝利者)
合計\(16\)人の男性が参加するテニスのトーナメントが開催されます。\(1\)回戦を突破するのは\(8\)人であり、彼らが全参加者数\(16\)に占める割合は、\begin{equation*}\left( \frac{1}{2}\right) ^{1}=\frac{1}{2}
\end{equation*}です。\(2\)回戦を突破するのは\(4\)人であり、彼らが全参加者数\(16\)に占める割合は、\begin{equation*}\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}
\end{equation*}です。準決勝を突破するのは\(2\)人であり、彼らが全参加者数\(16\)に占める割合は、\begin{equation*}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}
\end{equation*}です。決勝で勝利するのは\(1\)人であり、彼が全参加者数\(16\)に占める割合は、\begin{equation*}\left( \frac{1}{2}\right) ^{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{16}
\end{equation*}です。

 

累乗の符号

非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{n}\not=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、非ゼロの実数の累乗は非ゼロです。

命題(非ゼロの実数の自然数乗は非ゼロ)
非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}a^{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ。

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正の実数\(a>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{n}>0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、正の実数の累乗は正です。

命題(正の実数の自然数乗は正)
正の実数\(a>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}a^{n}>0
\end{equation*}が成り立つ。

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底を共有する累乗の積

実数\(a\in \mathbb{R} \)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する累乗\(a^{m},a^{n}\)が与えられたとき、それらの積\(a^{m}\cdot a^{n}\)を求めるためには指数どうしの和\(m+n\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{m+n}\)をとればよいということです。「累乗の積」に関する問題は「指数の和」に関する問題へと帰着させられます。

命題(底を共有する累乗の積)
実数\(a\in \mathbb{R} \)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(底を共有する累乗の積)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
2^{3}\cdot 2^{2} &=&2^{3+2}=2^{5} \\
3^{4}\cdot 3^{2} &=&3^{4+2}=3^{6} \\
\left( -2\right) ^{2}\cdot \left( -2\right) ^{3} &=&\left( -2\right)
^{2+3}=\left( -2\right) ^{5} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{2}\cdot \left( \frac{2}{3}\right) ^{4} &=&\left(
\frac{2}{3}\right) ^{2+4}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{6}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

底を共有する累乗の商

ゼロとは異なる実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{a^{m}}{a^{n}}=\left\{
\begin{array}{cc}
a^{m-n} & \left( if\ m>n\right) \\
\dfrac{1}{a^{n-m}} & \left( if\ m<n\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する累乗\(a^{m},a^{n}\)が与えられたとき、\(m>n\)の場合に商\(\frac{a^{m}}{a^{n}}\)を求めるためには指数どうしの差\(m-n\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{m-n}\)をとればよいということです。逆に、\(m<n\)の場合に商\(\frac{a^{m}}{a^{n}}\)を求めるためには指数どうしの差\(n-m\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{n-m}\)の逆数をとればよいということです。「累乗の商」に関する問題は「指数の差」に関する問題へと帰着させられます。

命題(底を共有する累乗の商)
非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と自然数\(n,m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\frac{a^{m}}{a^{n}}=\left\{
\begin{array}{cc}
a^{m-n} & \left( if\ m>n\right) \\
\dfrac{1}{a^{n-m}} & \left( if\ m<n\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ。

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例(底を共有する累乗の商)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\frac{2^{3}}{2^{2}} &=&2^{3-2}=2 \\
\frac{3^{4}}{3^{2}} &=&3^{4-2}=3^{2} \\
\frac{3^{2}}{3^{4}} &=&\frac{1}{3^{4-2}}=\frac{1}{3^{2}} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{4}/\left( \frac{2}{3}\right) ^{2} &=&\left(
\frac{2}{3}\right) ^{4-2}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{2}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

累乗の累乗

実数\(a\in \mathbb{R} \)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( a^{m}\right) ^{n}=a^{mn}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、累乗\(a^{m}\)が与えられたとき、さらにその累乗\(\left( a^{m}\right) ^{n}\)を求めるためには指数どうしの積\(mn\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{mn}\)をとればよいということです。「累乗の累乗」に関する問題は「指数の積」に関する問題へと帰着させられます。

命題(累乗の累乗)
実数\(a\in \mathbb{R} \)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( a^{m}\right) ^{n}=a^{mn}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(累乗の累乗)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( 2^{3}\right) ^{2} &=&2^{3\cdot 2}=2^{6} \\
\left( 3^{2}\right) ^{4} &=&3^{2\cdot 4}=3^{8} \\
\left[ \left( -2\right) ^{2}\right] ^{3} &=&\left( -2\right) ^{2\cdot
3}=\left( -2\right) ^{6} \\
\left( \left( \frac{2}{3}\right) ^{2}\right) ^{4} &=&\left( \frac{2}{3}\right) ^{2\cdot 4}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{8}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

積の累乗

実数\(a,b\in \mathbb{R} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( ab\right) ^{n}=a^{n}b^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、実数\(a,b\)が与えられたとき、それらの積の累乗\(\left( ab\right) ^{n}\)を求めるためには、\(a\)の累乗\(a^{n}\)と\(b\)の累乗\(b^{n}\)をそれぞれとり、それらの積をとればよいということです。「積の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

命題(積の累乗)
実数\(a,b\in \mathbb{R} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( ab\right) ^{n}=a^{n}b^{n}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(積の累乗)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( 2\cdot 3\right) ^{2} &=&2^{2}\cdot 3^{2} \\
\left( 3\cdot 2\right) ^{4} &=&3^{4}\cdot 2^{4} \\
\left[ \left( -2\right) \cdot \left( -3\right) \right] ^{2} &=&\left(
-2\right) ^{2}\cdot \left( -3\right) ^{2} \\
\left( \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}\right) ^{5} &=&\left( \frac{2}{3}\right)
^{5}\cdot \left( \frac{2}{5}\right) ^{5}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

商の累乗

実数\(a\in \mathbb{R} \)と非ゼロの実数\(b\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)および自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、実数\(a,b\)が与えられたとき、それらの商の累乗\(\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}\)を求めるためには、\(a\)の累乗\(a^{n}\)と\(b\)の累乗\(b^{n}\)をそれぞれとり、それらの商をとればよいということです。「商の累乗」に関する問題は「累乗の商」に関する問題へと帰着させられます。

命題(商の累乗)
実数\(a\in \mathbb{R} \)と非ゼロの実数\(b\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)および自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(積の累乗)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( \frac{2}{3}\right) ^{2} &=&\frac{2^{2}}{3^{2}} \\
\left( \frac{3}{2}\right) ^{4} &=&\frac{3^{4}}{2^{4}} \\
\left[ \frac{\left( -2\right) }{\left( -3\right) }\right] ^{2} &=&\frac{\left( -2\right) ^{2}}{\left( -3\right) ^{2}} \\
\left( \frac{2}{3}/\frac{2}{5}\right) ^{5} &=&\left( \frac{2}{3}\right)
^{5}/\left( \frac{2}{5}\right) ^{5}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

累乗の大きさ

正の実数\(a>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{n}>0
\end{equation*}が成り立つことを先に示しましたが、特に、\(a>1\)の場合には、\begin{equation*}a^{n}>1
\end{equation*}となり、\(1>a>0\)の場合には、\begin{equation*}1>a^{n}
\end{equation*}となります。

命題(累乗の大きさ)
正の実数\(a>0\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a>1\Rightarrow a^{n}>1 \\
&&\left( b\right) \ 1>a>0\Rightarrow a^{n}<1
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

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例(累乗の符号)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\left( 2\right) ^{7} &>&1 \\
1^{5} &=&1 \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{3} &<&1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

累乗の比較

累乗の大きさに関する上の命題を利用すると、底を共有する累乗の大小関係に関する以下の命題が得られます。

命題(累乗の比較)
正の実数\(a>0\)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(a>1\)の場合には、\begin{equation*}m>n\Leftrightarrow a^{m}>a^{n}
\end{equation*}が成り立ち、\(1>a>0\)の場合には、\begin{equation*}m>n\Leftrightarrow a^{m}<a^{n}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(累乗の符号)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
2^{2} &<&2^{5} \\
1^{2} &=&1^{5} \\
\left( \frac{2}{3}\right) ^{2} &>&\left( \frac{2}{3}\right) ^{5}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

累乗と底の関係

累乗の符号に関する先の命題を用いることにより以下を導くことができます。つまり、底を共有する2つの累乗が等しいことと、それらの指数が等しいことは必要十分です。

命題(累乗と底の関係)

正の実数\(a>0\)と自然数\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}a^{m}=a^{n}\Leftrightarrow m=n
\end{equation*}が成り立つ。

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自然数指数の累乗に関する指数法則

得られた結果をまとめます。まず、指数が自然数であるような累乗を計算する際には以下の関係式を利用できます。これらを総称して指数法則(laws of esponents)と呼びます。

命題(指数法則)
以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall m,n\in \mathbb{N} :a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\frac{a^{m}}{a^{n}}=\left\{
\begin{array}{cc}
a^{m-n} & \left( if\ m>n\right) \\
\dfrac{1}{a^{n-m}} & \left( if\ m<n\right)
\end{array}\right. \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left( a^{m}\right) ^{n}=a^{mn} \\
&&\left( d\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( ab\right) ^{n}=a^{n}b^{n} \\
&&\left( e\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall b\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}
\end{eqnarray*}

また、指数が自然数であるような累乗どうしを比較する際には以下の関係式を利用できます。

命題(累乗の比較)
以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall n\in \mathbb{N} :a^{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( a>1\Rightarrow a^{n}>1\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( 1>a>0\Rightarrow 1>a^{n}\right) \\
&&\left( d\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left[ a>1\Rightarrow \left( m>n\Leftrightarrow a^{m}>a^{n}\right) \right] \\
&&\left( e\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left[ 1>a>0\Rightarrow \left( m>n\Leftrightarrow a^{n}>a^{m}\right) \right] \\
&&\left( f\right) \ \forall a\in \mathbb{R} _{++},\ \forall m,n\in \mathbb{N} :\left( m=n\Leftrightarrow a^{m}=a^{n}\right)
\end{eqnarray*}

 

演習問題

問題(指数法則)
以下を計算してください。

  1. \(7^{10}\times 7^{12}\)
  2. \(\left( \frac{1}{2}\right) ^{4}\times \left( \frac{1}{2}\right) ^{3}\)
  3. \(\left( \frac{2}{3}\right) ^{7}\times \left( \frac{2}{3}\right) ^{2}\)
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問題(指数法則)
以下を計算してください。

  1. \(4^{4}/4^{2}\)
  2. \(5^{3}/5\)
  3. \(\left( \frac{2}{3}\right) ^{7}/\left( \frac{2}{3}\right) ^{2}\)
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問題(指数法則)
以下を計算してください。

  1. \(\left( 3^{2}\right) ^{4}\)
  2. \(\left( 4^{3}\right) ^{8}\)
  3. \(\left[ \left( \frac{2}{3}\right) ^{3}\right] ^{2}\)
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