片側連続関数と収束列の関係

関数が片側収束することを収束列を用いて表現できるのと同様に、関数が片側連続であることもまた収束列を用いて表現可能であることを説明し、いくつか例を提示します。
関数 片側連続性 数列 収束

収束列を用いた片側収束関数の表現

関数が片側収束することを収束列を用いて表現できるのと同様に、関数が片側連続であることもまた収束列を用いて表現可能です。そのことを確認する前に、片側収束関数と収束列の関係を復習します。

命題(右側収束関数と収束列)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\)が与えられたとき、\(\alpha \)よりも大きい\(I\)の点をとりながら\(\alpha \)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このような任意の\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) =\beta \)が成り立つことは、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f\left( x\right) =\beta \)が成り立つための必要十分条件である。
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左側収束関数についても同様の命題が成り立ちます。

命題(左側収束関数と収束列)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\)が与えられたとき、\(\alpha \)よりも小さい\(I\)の点をとりながら\(\alpha \)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このような任意の\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) =\beta \)が成り立つことは、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f\left( x\right) =\beta \)が成り立つための必要十分条件である。
上の命題について復習する

 

収束列を用いた片側連続関数の表現

関数\(f\)が点\(\alpha \)において右側連続であるものとしましょう。まず、\(f\)が\(\alpha \)において右側連続であることは\(f\)の\(\alpha \)における右側極限が\(f\left( \alpha \right) \)と一致することを意味するため、先の命題において\(\beta \)を\(f\left( \alpha \right) \)に置き換える必要があります。また、\(f\)が\(\alpha \)において右側連続である場合には\(f\)は\(\alpha \)において必ず定義されているため、\(x\)を\(\alpha \)に近づける際に\(x=\alpha \)の場合を除外する必要はありません。つまり、上の命題中の「\(\alpha \)よりも大きい\(I\)の点」を「\(\alpha \)以上の\(I\)の点」と言い換えても問題ありません。

以上を踏まえると、関数が点において右側連続であることを以下のように表現できます。

命題(右側連続関数と収束列)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(\alpha \in \mathbb{R}\)が与えられたとき、\(\alpha \)以上の\(I\)の点をとりながら\(\alpha \)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このような任意の\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( \alpha \right) \)が成り立つことは、\(f\)が\(\alpha \)において右側連続であるための必要十分条件である。
上の命題について復習する
例(片側連続関数と収束列)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\leq 2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義されるものとします。一般項が\begin{equation*}
x_{n}=2+\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\{x_{n}\}\)に注目します。この数列の任意の項は\(2\)以上の実数であり、なおかつこの数列は\(2\)へ収束します。さて、任意の\(n\in \mathbb{N}\)について\(x_{n}>2\)であるため、数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)の一般項は、\begin{equation*}
f\left( x_{n}\right) =\left( 2+\frac{1}{n}\right) +3=5+\frac{1}{n}
\end{equation*}となり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( 5+\frac{1}{n}\right) =5
\end{equation*}となります。一方、\(f\)の定義より、\begin{equation*}
f\left( 2\right) =2+1=3
\end{equation*}となるため、\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) \)と\(f\left( 2\right) \)は一致しません。上の命題より、このような性質を満たす数列\(\{x_{n}\}\)が存在することは\(f\)が\(2\)において右側連続ではないことを意味します。

左側連続に関しても同様に考えることで以下の命題を得ます。

命題(左側連続関数と収束列)
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(\alpha \in \mathbb{R}\)が与えられたとき、\(\alpha \)以下の\(I\)の点をとりながら\(\alpha \)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このような任意の\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( \alpha \right) \)が成り立つことは、\(f\)が\(\alpha \)において左側連続であるための必要十分条件である。
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次回は関数の連続性と片側連続性の関係について解説します。
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