イプシロン・デルタ論法を用いた関数の片側連続性の判定

集積点における関数の右側連続性をイプシロン・デルタ論法を用いて定義する

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、関数\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より大きく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

関数\(f\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)において右側連続であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義されます。つまり、\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f\)が有限な実数へ右側収束し、さらにその右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)が\(f\left( a\right) \)と一致する場合には、\(f\)は点\(a\)において右側連続です。

以上の定義では「関数の右側極限」という概念が前提となっていますが、「関数の右側極限」概念を経由せず、イプシロン・デルタ論法を用いて関数の右側連続性を定義することもできます。以下で順番に解説します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f\)が有限な実数へ右側収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義すると、\begin{equation}
\exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。

では、関数\(f\)が集合\(\left\{x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\)において右側連続であることを、同じくイプシロン・デルタ論法を用いてどのように表現できるでしょうか。この場合、関数\(f\)は\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f\left( a\right) \)へ右側収束するため、\(\left( 1\right) \)中の\(b\)を\(f\left( a\right) \)に置き換えることができます。また、\(f\)が点\(a\)において右側連続である場合には\(f\)は\(a\)において定義されていることが前提になるため、\(\left( 1\right) \)において\(x=a\)の場合を除外する必要はありません。つまり、\(\left( 1\right) \)中の\(0<x-a\)は\(0\leq x-a\)に置き換え可能です。以上を踏まえると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)において右側連続であることを、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と表現できそうです。実際、これは正しい主張です。

集積点における関数の左側連続性をイプシロン・デルタ論法を用いて定義する

左側連続性についても同様に考えます。具体的には以下の通りです。

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、関数\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より小さく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

関数\(f\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)において左側連続であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義されます。つまり、\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f\)が有限な実数へ左側収束し、さらにその左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \)が\(f\left( a\right) \)と一致する場合には、\(f\)は点\(a\)において左側連続です。

以上の定義では「関数の左側極限」という概念が前提となっていますが、「関数の左側極限」概念を経由せず、イプシロン・デルタ論法を用いて関数の左側連続性を定義することもできます。以下で順番に解説します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f\)が有限な実数へ左側収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義すると、\begin{equation}
\exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
-\delta <x-a<0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。

では、関数\(f\)が集合\(\left\{x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\)において左側連続であることを、同じくイプシロン・デルタ論法を用いてどのように表現できるでしょうか。この場合、関数\(f\)は\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f\left( a\right) \)へ左側収束するため、\(\left( 1\right) \)中の\(b\)を\(f\left( a\right) \)に置き換えることができます。また、\(f\)が点\(a\)において左側連続である場合には\(f\)は\(a\)において定義されていることが前提になるため、\(\left( 1\right) \)において\(x=a\)の場合を除外する必要はありません。つまり、\(\left( 1\right) \)中の\(x-a<0\)は\(x-a\leq 0\)に置き換え可能です。以上を踏まえると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)において左側連続であることを、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と表現できそうです。実際、これは正しい主張です。

右側孤立点における関数の右側連続性をイプシロン・デルタ論法で定義する

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a\in X\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点ではない場合には、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:X\cap \left( a,a+\varepsilon \right) =\phi
\end{equation*}が成り立ちます。この場合、\(a\)は\(X\)の右側孤立点であると言うこととします。\(a\in X\)が\(X\)の右側孤立点である場合には\(f\)は点\(a\)において右側連続であるものと定めましたが、その根拠を以下で解説します。

先ほど示したように、関数\(f\)の定義域上の点\(a\in X\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点である場合には、関数\(f\)が点\(a\)において右側連続であることと、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことは必要十分です。ただし、ここでは点\(a\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点であることが前提となっています。では、点\(a\in X\)が\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点ではない場合、すなわち点\(a\)が\(X\)の右側孤立点である場合にも、点\(a\)における右側連続性の定義として\(\left( 1\right) \)をそのまま採用できるでしょうか。右側孤立点\(a\)における右側連続性の定義として\(\left( 1\right) \)を採用するためには、右側孤立点\(a\)に対して\(\left( 1\right) \)が必ず真になることを確認しておく必要があります。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(X\)の右側孤立点\(a\in X\)が与えられた状況を想定します。つまり、\begin{equation}\exists \delta >0:X\cap \left( a,a+\delta \right) =\phi \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つということです。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。その上で、\(\left( 2\right) \)において存在が保証される\(\delta >0\)に注目します。さらに、\(0\leq x-a<\delta \)を満たす\(x\in X\)を任意に選びます。\(\left(2\right) \)より、そのような条件を満たす点\(x\)は\(a\)だけであるため、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert &=&\left\vert
f\left( a\right) -f\left( a\right) \right\vert \\
&=&0 \\
&<&\varepsilon
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことの証明が完了しました。

左側孤立点における関数の右側連続性をイプシロン・デルタ論法で定義する

左側連続性についても同様に考えます。具体的には以下の通りです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a\in X\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点ではない場合には、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:X\cap \left( a-\varepsilon ,a\right) =\phi
\end{equation*}が成り立ちます。この場合、\(a\)は\(X\)の左側孤立点であると言うこととします。\(a\in X\)が\(X\)の左側孤立点である場合には\(f\)は点\(a\)において左側連続であるものと定めましたが、その根拠を以下で解説します。

先ほど示したように、関数\(f\)の定義域上の点\(a\in X\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点である場合には、関数\(f\)が点\(a\)において左側連続であることと、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことは必要十分です。ただし、ここでは点\(a\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点であることが前提となっています。では、点\(a\in X\)が\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点ではない場合、すなわち点\(a\)が\(X\)の左側孤立点である場合にも、点\(a\)における左側連続性の定義として\(\left( 1\right) \)をそのまま採用できるでしょうか。左側孤立点\(a\)における左側連続性の定義として\(\left( 1\right) \)を採用するためには、左側孤立点\(a\)に対して\(\left( 1\right) \)が必ず真になることを確認しておく必要があります。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(X\)の左側孤立点\(a\in X\)が与えられた状況を想定します。つまり、\begin{equation}\exists \delta >0:X\cap \left( a-\delta ,a\right) =\phi \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つということです。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。その上で、\(\left( 2\right) \)において存在が保証される\(\delta >0\)に注目します。さらに、\(-\delta <x-a\leq 0\)を満たす\(x\in X\)を任意に選びます。\(\left(2\right) \)より、そのような条件を満たす点\(x\)は\(a\)だけであるため、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert &=&\left\vert
f\left( a\right) -f\left( a\right) \right\vert \\
&=&0 \\
&<&\varepsilon
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことの証明が完了しました。

イプシロン・デルタ論法を用いた関数の片側連続性の定義

これまでの議論から明らかになったように、イプシロン・デルタ論法を用いた関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の右側連続性の定義は、点\(a\in X\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点である場合だけでなく、\(a\in X\)が\(X\)の右側孤立点である場合にも有効です。\(f\)の定義域上の点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\(a\)は集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点であるか\(X\)の右側孤立点であるかのどちらか一方です。したがって、イプシロン・デルタ論法を用いた右側連続性の定義は、関数の定義域上に存在するすべての点に対して有効です。

左側連続性についても同様の主張が成り立ちます。

関数が片側連続でないことの証明

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分であり、\(f\)が点\(a\in X\)において左側連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分であることが明らかになりました。

一方、関数\(f\)がそもそも点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(a\not\in X\)である場合、\(f\)は点\(a\)において右側連続ではなく、左側連続でもありません。また、\(a\in X\)である場合においても、上の命題が成り立たない場合には、すなわち、上の命題の否定である、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \wedge \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert
\geq \varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には\(f\)は点\(a\)において右側連続ではなく、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\wedge \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert
\geq \varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には\(f\)は点\(a\)において左側連続ではありません。

演習問題