イプシロン・デルタ論法による関数の右側連続性の定義
復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であることとは、\(f\)が点\(a\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a+\)のときに有限な右側極限へ収束し、なおかつ、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。以上の定義では「関数の右側極限」という概念が前提となっていますが、「関数の右側極限」の概念を経由せず、イプシロン・デルタ論法を用いて関数の右側連続性を定義することもできます。以下で解説します。
復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)が有限な右側極限\(b\in \mathbb{R} \)へ収束することは、\(f\)が点\(a\)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。では、関数\(f\)が点\(a\)において右側連続であることを、同じくイプシロン・デルタ論法を用いてどのように表現できるでしょうか。
上の関数\(f\)が点\(a\)において右側連続であるものとします。この場合、\(f\)は点\(a\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)は有限な右側極限へ収束し、なおかつその右側極限が\(f\left( a\right) \)と一致するため、上の主張における\(b\)を\(f\left( a\right) \)に置き換えることができます。また、\(f\)が\(a\)において右側連続である場合には\(f\)は\(a\)において定義されていることが前提になるため、上の論理式中の\(0<x-a\)を\(0\leq x-a\)に置き換えることができます。以上を踏まえると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であることを、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と表現できそうです。実際、これは正しい主張です。
x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において右側連続であるための必要十分条件である。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、\(f\)は点\(2\)以上の周辺の任意の点において定義されています。そこで、\(f\)が点\(2\)において右側連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて証明します。具体的には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0\leq x-2<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
2\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0\leq x-2<\delta \Rightarrow \left\vert 3x-6\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0\leq x-2<\delta \Rightarrow 3\left\vert x-2\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}を示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{3}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\delta \)を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}0\leq x-2<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}3\left\vert x-2\right\vert &<&3\delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、\(f\)は点\(1\)以上の周辺の任意の点において定義されています。そこで、\(f\)が点\(1\)において右側連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて証明します。具体的には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0\leq x-1<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
1\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0\leq x-1<\delta \Rightarrow \left\vert x^{2}-1\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。まず、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &=&\left\vert \left( x-1\right) \left(
x+1\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left\vert x+1\right\vert \\
&\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left( \left\vert x\right\vert
+1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x^{2}-1\right\vert \leq \left\vert x-1\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。また、\(0\leq x-1<1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対しては、\begin{eqnarray*}\left\vert x\right\vert -1 &\leq &\left\vert x-1\right\vert \\
&=&x-1\quad \because 0\leq x-1 \\
&<&1\quad \because x-1<1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x\right\vert <2 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(0\leq x-1<1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&<&\left\vert x-1\right\vert \cdot \left( 2+1\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&3\left\vert x-1\right\vert
\end{eqnarray*}を得ます。これまでの議論の結論を整理すると、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{R} :\left( 0\leq x-1<1\Rightarrow \left\vert x^{2}-1\right\vert <3\left\vert
x-1\right\vert \right) \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだときに、それに対して、\begin{equation}\delta <\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{3}\right\} \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たす\(\delta >0\)を選ぶと、\begin{equation}0\leq x-1<\delta \quad \cdots (5)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &<&3\left\vert x-1\right\vert \quad \because
\left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&<&3\cdot \delta \quad \because \left( 5\right) \\
&<&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because \left( 4\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
イプシロン・デルタ論法による関数の左側連続性の定義
復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において左側連続であることとは、\(f\)が点\(a\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a-\)のときに有限な左側極限へ収束し、なおかつ、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。以上の定義では「関数の左側極限」という概念が前提となっていますが、「関数の左側極限」の概念を経由せず、イプシロン・デルタ論法を用いて関数の右側連続性を定義することもできます。以下で解説します。
復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)が有限な左側極限\(b\in \mathbb{R} \)へ収束することは、\(f\)が点\(a\)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。では、関数\(f\)が点\(a\)において左側連続であることを、同じくイプシロン・デルタ論法を用いてどのように表現できるでしょうか。
上の関数\(f\)が点\(a\)において左側連続であるものとします。この場合、\(f\)は点\(a\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)は有限な左側極限へ収束し、なおかつその左側極限が\(f\left( a\right) \)と一致するため、上の主張における\(b\)を\(f\left( a\right) \)に置き換えることができます。また、\(f\)が\(a\)において左側連続である場合には\(f\)は\(a\)において定義されていることが前提になるため、上の論理式において中の\(x-a<0\)を\(x-a\leq 0\)に置き換えることができます。以上を踏まえると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において左側連続であることを、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と表現できそうです。実際、これは正しい主張です。
<x-a\leq 0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において左側連続であるための必要十分条件である。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、\(f\)は点\(2\)以下の周辺の任意の点において定義されています。そこで、\(f\)が点\(2\)において左側連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて証明します。具体的には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( -\delta <x-2\leq 0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
2\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( -\delta <x-2\leq 0\Rightarrow \left\vert 3x-6\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( -\delta <x-2\leq 0\Rightarrow 3\left\vert x-2\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{3}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\delta \)を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}-\delta <x-2\leq 0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}3\left\vert x-2\right\vert &=&3\left( 2-x\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&<&3\delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、\(f\)は点\(1\)以下の周辺の任意の点において定義されています。そこで、\(f\)が点\(1\)において左側連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて証明します。具体的には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( -\delta <x-1\leq 0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
1\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( -\delta <x-1\leq 0\Rightarrow \left\vert x^{2}-1\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。まず、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &=&\left\vert \left( x-1\right) \left(
x+1\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left\vert x+1\right\vert \\
&\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left( \left\vert x\right\vert
+1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x^{2}-1\right\vert \leq \left\vert x-1\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。また、\(-1<x-1\leq 0\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対しては、\begin{eqnarray*}\left\vert x\right\vert -1 &\leq &\left\vert x-1\right\vert \\
&=&1-x\quad \because x-1\leq 0 \\
&<&1\quad \because -1<x-1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x\right\vert <2 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(-1<x-1\leq 0\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &\leq &\left\vert x-1\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&<&\left\vert x-1\right\vert \cdot \left( 2+1\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&3\left\vert x-1\right\vert
\end{eqnarray*}を得ます。これまでの議論の結論を整理すると、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{R} :\left( -1<x-1\leq 0\Rightarrow \left\vert x^{2}-1\right\vert <3\left\vert
x-1\right\vert \right) \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだときに、それに対して、\begin{equation}\delta >\max \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{3}\right\} \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たす\(\delta >0\)を選ぶと、\begin{equation}-\delta <x-1\leq 0 \quad \cdots (5)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-1\right\vert &<&3\left\vert x-1\right\vert \quad \because
\left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&3\left( 1-x\right) \quad \because \left( 5\right) \\
&<&3\cdot \delta \quad \because \left( 5\right) \\
&<&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because \left( 4\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
関数が片側連続でないことの証明
繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つのであれば\(f\)は点\(a\)において右側連続です。\(f\)がそもそも点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は点において右側連続と右側不連続のどちらでもありません。また、\(f\)が点\(a\)において定義されている場合でも、点\(a\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されていないのであれば、\(f\)は点\(a\)において右側連続ではありません。加えて、\(f\)が点\(a\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されている場合、上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \wedge \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert
\geq \varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つのであれば、やはり\(f\)は点\(a\)において右側連続ではありません。つまり、点\(a\)以上でなおかつ点\(a\)にいくらでも近い場所にある点\(x\)について\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離が正の実数になってしまうということです。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されていますが、そこでの右側極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =1
\end{equation*}である一方で、\begin{equation*}
f\left( 0\right) =0
\end{equation*}であり、両者は一致しません。したがって\(x\rightarrow 0+\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないため、\(f\)は点\(0\)において右側連続ではありません。同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明します。具体的には、\begin{equation}1>\varepsilon >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\varepsilon \)を適当に選びます。さらに、\(\delta >0\)を任意に選んだ上で、\(0<x<\delta \)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( x\right) -f\left( 0\right) \right\vert &=&\left\vert
f\left( x\right) -0\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert 1-0\right\vert \quad \because 0<x \\
&=&1 \\
&>&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の議論より、\(f\)は点\(0\)において右側連続ではないことが明らかになりました。
繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つのであれば\(f\)は点\(a\)において左側連続です。\(f\)がそもそも点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は点において左側連続と左側不連続のどちらでもありません。また、\(f\)が点\(a\)において定義されている場合でも、点\(a\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されていないのであれば、\(f\)は点\(a\)において左側連続ではありません。加えて、\(f\)が点\(a\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されている場合、上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\wedge \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert
\geq \varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つのであれば、やはり\(f\)は点\(a\)において左側連続ではありません。つまり、点\(a\)以下でなおかつ点\(a\)にいくらでも近い場所にある点\(x\)について\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離が正の実数になってしまうということです。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されていますが、そこでの左側極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =0
\end{equation*}である一方で、\begin{equation*}
f\left( 0\right) =1
\end{equation*}であり、両者は一致しません。したがって\(x\rightarrow 0-\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないため、\(f\)は点\(0\)において左側連続ではありません。同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明します。具体的には、\begin{equation}1>\varepsilon >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\varepsilon \)を適当に選びます。さらに、\(\delta >0\)を任意に選んだ上で、\(-\delta <x<0\)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( x\right) -f\left( 0\right) \right\vert &=&\left\vert
f\left( x\right) -1\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert 0-1\right\vert \quad \because 0<x \\
&=&1 \\
&>&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の議論より、\(f\)は点\(0\)において左側連続ではないことが明らかになりました。
次回は関数が片側連続であることを数列を用いて判定する方法を解説します。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】