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1変数関数

数列を用いた関数の片側連続性の判定

目次

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関数の片側連続性と数列の極限の関係

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であることとは、\(f\)が点\(a\)以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a+\)のときに有限な極限へ収束し、さらに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。同じことをイプシロンデルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。ただ、関数の右側連続性は数列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が関数が右側連続であることを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)が有限な極限\(b\in \mathbb{R} \)へ右側収束することは数列を用いて表現することもできます。具体的には、点\(a\)よりも大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだときに、それに対して数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)が点\(b\)へ収束することは、\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)が\(b\)へ右側収束するための必要十分条件です。では、関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であることは、数列を用いてどのように表現できるでしょうか。

上の関数\(f\)が点\(a\)において右側連続であるものとします。\(f\)が\(a\)において右側連続であることは\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の右側極限が\(f\left(a\right) \)と一致することを意味するため、上の主張における\(b\)を\(f\left( a\right) \)に置き換えることができます。また、\(f\)が\(a\)において右側連続である場合には\(f\)が点\(a\)において定義されていることが前提になるため、上の主張における数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(a\)を項として持つ可能性を排除する必要はありません。以上を踏まえると、関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であることは、\(X\)以上の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだときに、それに対して数列\(\left\{f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(f\left( a\right) \)へ収束することとして表現できそうです。実際、これは正しい主張です。以下で順番に示します。

命題(関数の右側連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているものとする。このとき、点\(a\)以上の\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。関数\(f\)が点\(a\)において右側連続であるならば、先のように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(a\)以上の\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)を構成します。このように定義される数列\(\left\{f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(f\left( a\right) \)へ収束する場合には、関数\(f\)が点\(a\)において右側連続であることが保証されます。

命題(関数の右側連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているものとする。このとき、点\(a\)以上の\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つならば、関数\(f\)は点\(a\)において右側連続である。
証明

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この命題について注意しなければならないのは、点\(a\)以上の\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(f\left( a\right) \)へ収束することが前提条件になっているという点です。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、上の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。

以上の2つの命題により、関数の右側連続性という概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(数列を用いた右側連続関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているものとする。このとき、点\(a\)以上の\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left(x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が点\(a\)において右側連続であるための必要十分条件である。

同様の議論により、関数の左側連続性という概念は数列の収束を用いて以下のように特徴づけられます(演習問題)。

命題(数列を用いた左側連続関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域上の点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているものとする。このとき、点\(a\)以下の\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left(x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が点\(a\)において左側連続であるための必要十分条件である。

以上の命題より、関数の片側連続性に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

例(数列を用いた関数の片側連続性の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\leq 2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定義域上の点\(2\)において左側連続であることを数列を用いて示します。具体的には、\(2\)以下の実数を項とするとともに\(2\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq 2 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( x_{n}+1\right) \quad \because \left( a\right) \text{および}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }1\quad
\because \text{収束する数列の和} \\
&=&2+1\quad \because \left( a\right) \text{および定数数列の極限} \\
&=&f\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)が点\(2\)において左側連続であることが示されました。

 

関数が片側連続ではないことの証明

先の諸命題は、関数が片側連続ではないことを示す際にも有用です。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in X\)が与えられたとき、\(a\)以上の\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{x_{n}\right\} \)を適当に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が点\(f\left( a\right) \)へ収束しないのであれば、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において右側連続ではありません。同様に、\(a\)以下の\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を適当に選んだ場合、数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)が点\(f\left( a\right) \)へ収束しないのであれば、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において左側連続ではありません。

例(数列が片側連続ではないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\leq 2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定義域上の点\(2\)において右側連続ではないことを示します。具体的には、一般項が\begin{equation*}x_{n}=2+\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\{x_{n}\}\)に注目します。この数列の任意の項は\(2\)以上の実数であり、なおかつこの数列は\(2\)へ収束します。さて、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(x_{n}>2\)であるため、数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)の一般項は、\begin{equation*}f\left( x_{n}\right) =\left( 2+\frac{1}{n}\right) +3=5+\frac{1}{n}
\end{equation*}であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }\left( 5+\frac{1}{n}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&5 \\
&\not=&3 \\
&=&f\left( 2\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。先の命題より、このような数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在することは\(f\)が点\(2\)において右側連続でないことを意味します。

 

演習問題

問題(数列と片側連続関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(0\)において右側連続かつ左側連続であることを数列を用いて証明してください。
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