数列を用いた関数の片側連続性の判定

関数の右側連続性と数列の極限の関係

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。このような関数が定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。ただ、以上の定義にもとづいて関数が右側連続であることを証明するのは面倒です。関数の右側連続性は数列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用したほうが関数が右側連続であることを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であるものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :\left( x_{n}\in X\wedge x_{n}\geq a\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(a\)以上の\(X\)上の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。

この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の項\(x_{n}\)は関数\(f\)の定義域\(X\)の要素であるため、それに対して関数\(f\)は像\(f\left( x_{n}\right) \)を定めます。\(f\left( x_{n}\right) \)は実数であるため、これを項とする新たな数列\begin{equation*}\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\}
\end{equation*}を構成できます。関数\(f\)は点\(a\)において定義されているため\(f\left(a\right) \)は有限な実数ですが、先の数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)は\(f\left( a\right) \)へ収束することが保証されます。

先の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :\left( x_{n}\in X\wedge x_{n}\geq a\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を定義します。このようにして得られた任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right)\right\} \)が\(f\left( a\right) \)へ収束する場合には、関数\(f\)は点\(a\)において右側連続であることが保証されます。

以上の2つの命題により、関数の右側連続性という概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

この命題が要求していることは、\(a\)以上の\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(f\left( a\right) \)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、関数\(f\)が点\(a\)において右側連続であることを示したことにはなりません。

関数の左側連続性と数列の極限の関係

左側連続性についても同様の議論が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。このような関数が定義域上の点\(a\in X\)において左側連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。ただ、以上の定義にもとづいて関数が左側連続であることを証明するのは面倒です。関数の左側連続性は数列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用したほうが関数が左側連続であることを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において左側連続であるものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :\left( x_{n}\in X\wedge x_{n}\leq a\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(a\)以下の\(X\)上の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。

この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の項\(x_{n}\)は関数\(f\)の定義域\(X\)の要素であるため、それに対して関数\(f\)は像\(f\left( x_{n}\right) \)を定めます。\(f\left( x_{n}\right) \)は実数であるため、これを項とする新たな数列\begin{equation*}\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\}
\end{equation*}を構成できます。関数\(f\)は点\(a\)において定義されているため\(f\left(a\right) \)は有限な実数ですが、先の数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)は\(f\left( a\right) \)へ収束することが保証されます。

先の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :\left( x_{n}\in X\wedge x_{n}\leq a\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を定義します。このようにして得られた任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right)\right\} \)が\(f\left( a\right) \)へ収束する場合には、関数\(f\)は点\(a\)において左側連続であることが保証されます。

以上の2つの命題により、関数の左側連続性という概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

この命題が要求していることは、\(a\)以下の\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(f\left( a\right) \)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、関数\(f\)が点\(a\)において左側連続であることを示したことにはなりません。

関数が片側連続であることの証明

先の諸命題より、関数の片側連続性に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :\left( x_{n}\in X\wedge x_{n}\geq a\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、それに対して、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを示せば、先の命題より\(f\)が点\(a\)において右側連続であることを示したことになります。

左側連続性についても同様です。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :\left( x_{n}\in X\wedge x_{n}\leq a\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、それに対して、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを示せば、先の命題より\(f\)が点\(a\)において左側連続であることを示したことになります。

関数が片側連続ではないことの証明

先の諸命題は、関数が片側連続ではないことを示す際にも有用です。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :\left( x_{n}\in X\wedge x_{n}\geq a\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす何らかの具体的な数列\(\left\{x_{n}\right\} \)を選んだ上で、それに対して、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) \not=f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを示せば、\(f\)が点\(a\)において右側連続ではないことを示したことになります。

左側連続性についても同様です。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :\left( x_{n}\in X\wedge x_{n}\leq a\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす何らかの具体的な数列\(\left\{x_{n}\right\} \)を選んだ上で、それに対して、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) \not=f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを示せば、\(f\)が点\(a\)において左側連続ではないことを示したことになります。

演習問題