関数の片側連続性

関数が閉区間上に定義された場合などには、定義域の端点において通常の意味での極限を考えることができないため、通常の意味での連続性を考えることができません。そこで、そのような場合には片側連続性と呼ばれる概念の下で連続性を考えます。
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点における関数の片側連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)が有限な実数へ右側から収束するかどうかを検討する際には、\(f\)は\(a\)より大きい周辺の任意の点において定義されていればよく、\(f\)は必ずしも\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、\(f\)が\(a\)において定義されていない場合でも、\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の右側極限に相当する有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)が存在する可能性があります。また、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)が有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)へ収束する場合、この極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)は\(f\left( a\right) \)と一致するとは限りません。一方、関数\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)は有限な実数へ右側収束し、さらに右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)が\(f\left( a\right) \)と一致する場合には、\(f\)は\(a\)において右側連続である(right-hand continuous at \(a\))であると言います。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において右側連続であることとは以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \in
\mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。

上の3つの条件の中でも\(\left( a\right) \)が成り立つ一方で\(\left( b\right) \)と\(\left( c\right) \)の少なくとも一方が成り立たない場合、\(f\)は\(a\)において右側不連続である(right-hand discontinuous at \(a\))と言います。また、そもそも\(\left( a\right) \)が成り立たない場合、つまり関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は\(a\)において右側連続でも右側不連続でもありません。関数が点において右側連続もしくは右側不連続であるためには、その点が関数の定義域に含まれている必要があるということです。

例(関数の点における右側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -2,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -2,2\right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\sqrt{4-x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は定義域上の点\(-2\in \mathbb{R} \)において右側連続でしょうか。\(f\)は\(-2\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されており、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -2+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -2+}\sqrt{4-x^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&f\left( -1\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は\(-2\)において右側連続です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)が有限な実数へ左側から収束するかどうかを検討する際には、\(f\)は\(a\)より小さい周辺の任意の点において定義されていればよく、\(f\)は必ずしも\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、\(f\)が\(a\)において定義されていない場合でも、\(x\rightarrow a-\)のときの\(f\)の左側極限に相当する有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \)が存在する可能性があります。また、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)が有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \)へ収束する場合、この極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \)は\(f\left( a\right) \)と一致するとは限りません。一方、関数\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)は有限な実数へ左側収束し、さらに左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \)が\(f\left( a\right) \)と一致する場合には、\(f\)は\(a\)において左側連続である(left-hand continuous at \(a\))であると言います。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において左側連続であることとは以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \in
\mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。

上の3つの条件の中でも\(\left( a\right) \)が成り立つ一方で\(\left( b\right) \)と\(\left( c\right) \)の少なくとも一方が成り立たない場合、\(f\)は\(a\)において左側不連続である(left-hand discontinuous at \(a\))と言います。また、そもそも\(\left( a\right) \)が成り立たない場合、つまり関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は\(a\)において左側連続でも右側不連続でもありません。関数が点において左側連続もしくは右側不連続であるためには、その点が関数の定義域に含まれている必要があるということです。

例(関数の点における左側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -2,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -2,2\right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\sqrt{4-x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は定義域上の点\(2\in \mathbb{R} \)において右側連続でしょうか。\(f\)は\(2\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されており、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2-}\sqrt{4-x^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&f\left( 2\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は\(2\)において左側連続です。

右側連続性と左側連続性を総称して片側連続性(one-sided continuity)と呼びます。

 

イプシロン・デルタ論法による関数の片側連続性の定義

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)が有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束することは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。では、関数\(f\)が点\(a\)において右側連続であることもイプシロン・デルタ論法を用いて表現できるでしょうか。

今、この関数\(f\)が点\(a\)において右側連続であるならば、\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の極限\(b\)は\(f\left( a\right) \)と一致するため、上の論理式中の\(b\)を\(f\left( a\right) \)に置き換えることができます。さらに、\(f\)が\(a\)において連続であるためには\(f\)は\(a\)において定義されている必要があるため、上の論理式において\(x=a\)の場合を除外する必要はありません。言い換えると、上の論理式中の\(0<x-a\)の部分は不要です。以上を踏まえると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であることは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義できます。

関数の左側連続性についても同様に考えます。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)が有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束することは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、\(f\)が\(a\)において左側連続である場合には\(x\rightarrow a-\)のときの\(f\)の極限が\(f\left( a\right) \)であるとともに\(f\)は\(a\)において定義されているため、上の論理式中の\(b\)を\(f\left( a\right) \)に置き換えることができるとともに\(x=a\)の場合を除外する必要はありません。以上を踏まえると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において左側連続であることは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義できます。

 

数列を用いた関数の片側連続性の定義

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだとき、それと\(f\)から作った数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(b\)へ収束することは\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに\(b\)へ収束するための必要十分条件です。では、関数\(f\)が点\(a\)において右側連続であることも数列を用いて表現できるでしょうか。

今、この関数\(f\)が点\(a\)において右側連続であるならば、\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の極限\(b\)は\(f\left( a\right) \)と一致するため、上の主張中の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限を\(b\)を\(f\left( a\right) \)に置き換えることができます。さらに、\(f\)が\(a\)において右側連続であるためには\(f\)は\(a\)において定義されている必要があるため、上の主張中の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項が\(a\)をとる場合を除外する必要はありません。以上を踏まえると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であることは、\(a\)以上の\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだとき、それと\(f\)から作った数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(f\left( a\right) \)へ収束することとして表現できそうです。実際、これは正しい主張です(証明は演習問題にします)。

命題(数列を用いた関数の右側連続性の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(a\)以上の\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が点\(a\)において右側連続であるための必要十分条件である。
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例(数列を用いた関数の右側連続性の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\leq 2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定義域上の点\(2\)において右側連続でしょうか。一般項が\begin{equation*}
x_{n}=2+\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\{x_{n}\}\)に注目します。この数列の任意の項は\(2\)以上の実数であり、なおかつこの数列は\(2\)へ収束します。さて、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(x_{n}>2\)であるため、数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)の一般項は、\begin{equation*}
f\left( x_{n}\right) =\left( 2+\frac{1}{n}\right) +3=5+\frac{1}{n}
\end{equation*}となり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }\left( 5+\frac{1}{n}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&5 \\
&\not=&3 \\
&=&f\left( 2\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。先の命題より、このような数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在することは\(f\)が\(a\)において右側連続でないことを意味します。

左側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(数列を用いた関数の左側連続性の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(a\)以下の\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が点\(a\)において左側連続であるための必要十分条件である。
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連続性と片側連続性の関係

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であったり左側連続であるとは限りません。一方、関数\(f\)が定義域上の点\(a\)において右側連続かつ左側連続であることは、\(f\)が\(a\)において連続であるための必要十分条件です。証明は以下の通りです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において右側連続であることは、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right) \in
\mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことを意味し、点\(a\)において左側連続であることは、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =f\left( a\right) \in
\mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことを意味します。以上の条件を総合すると、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}f\left(
x\right) =f\left( a\right) \in
\mathbb{R} \end{equation*}となります。一般に、関数\(f\)が点\(a\)に関して右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)と左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \)を持つと同時に両者が等しいことは通常の極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)が存在するための必要十分条件であるとともに、そのときこれらの極限は一致します。したがって、先の条件は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right) \in
\mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことと必要十分ですが、これは\(f\)が\(a\)において連続であることの定義に他なりません。

命題(連続性と片側連続性の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右側連続かつ左側連続であることは、\(f\)が\(a\)において連続であるための必要十分条件である。
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関数が定義域上の点において右側連続や左側連続でない場合、上の命題より、その関数はその点において連続ではありません。

例(連続性と片側連続性の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) \in \left\{ m\in \mathbb{Z} \ |\ m\leq x<m+1\right\}
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\left( x\right) \)は実数\(x\)を超えない最大の整数です。整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選ぶと\(f\)の定義より、\begin{equation}
f\left( z\right) =z \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。\(x\rightarrow z+\)のときの右側極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow z+}f\left( x\right) &=&z \\
&=&f\left( z\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を満たすため\(f\)は点\(z\)において右側連続です。一方、\(x\rightarrow z-\)のときの左側極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow z-}f\left( x\right) &=&z-1 \\
&\not=&f\left( z\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を満たすため\(f\)は点\(z\)において左側連続ではありません。したがって、上の命題より\(f\)は点\(z\)において連続ではありません。実際、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow z+}f\left( x\right) \not=\lim_{x\rightarrow z-}f\left(
x\right)
\end{equation*}であるため\(f\)は点\(z\)において有限な実数へ収束せず、したがって\(f\)は点\(z\)において連続ではありません。

次回は位相(開集合)を用いて関数の連続性を表現します。

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