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関数の片側連続性

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点において右側連続な関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)が有限な右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)へ収束するかどうかを検討する際に、\(f\)は点\(a\)よりも大きい周辺の任意の点において定義されていればよく、\(f\)は必ずしも点\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、\(f\)が点\(a\)において定義されていなくても\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)が有限な右側極限へ収束する状況は起こり得ます。また、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)が有限な右側極限へ収束する場合、この右側極限は点\(a\)における\(f\)の値である\(f\left( a\right) \)と一致するとは限りません。

一方、関数\(f\)が点\(a\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)は有限な右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)へ収束し、さらにこの右側極限が\(f\left( a\right) \)と一致する場合、\(f\)は点\(a\)において右側連続である(right-hand continuous at \(a\))であると言います。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において右側連続であることとは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。関数の右側極限の定義より、条件\(\left( b\right) \)が成り立つためには\(f\)が点\(a\)よりも大きい周辺の任意の点において定義されている必要があります。これと条件\(\left( a\right) \)を踏まえると、点\(a\)において右側連続な関数\(f\)は点\(a\)を含めそれ以上の周辺の任意の定義において定義されていることになります。

上の3つの条件の中でも\(\left( a\right) \)が成り立つ一方で\(\left( b\right) \)と\(\left( c\right) \)の少なくとも一方が成り立たない場合、\(f\)は点\(a\)において右側不連続である(right-hand discontinuous at \(a\))と言います。また、そもそも\(\left( a\right) \)が成り立たない場合、つまり関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(a\)において右側連続と右側不連続のどちらでもありません。関数が点において右側連続もしくは右側不連続であるためには、その点が関数の定義域に含まれている必要があります。

例(点において右側連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -a+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -a+}3x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&3\lim_{x\rightarrow -a+}x\quad \because \text{右側収束する関数の定数倍の右側極限} \\
&=&3a\quad \because \text{恒等関数の右側極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -a+}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において右側連続であることが明らかになりました。
例(点において右側連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -2,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -2,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{4-x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定義域の端点\(-2\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -2+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -2+}\sqrt{4-x^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\lim_{x\rightarrow -2+}\left( 4-x^{2}\right) }\quad \because \text{ベキ関数の右側極限} \\
&=&\sqrt{\lim_{x\rightarrow -2+}4-\left( \lim_{x\rightarrow -2+}x\right) ^{2}}\quad \because \text{多項式関数の右側極限} \\
&=&\sqrt{4-2^{2}}\quad \because \text{定数関数および恒等関数の右側極限} \\
&=&0 \\
&=&f\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -2+}f\left( x\right) =f\left( 2\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(-2\)において右側連続であることが明らかになりました。一方、定義域のもう一方の端点\(2\)に注目したとき、\(f\)は\(x>2\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)において定義されていないため、\(x\rightarrow 2+\)のときに\(f\)が有限な右側極限へ収束するか検討できません。したがって、\(x\rightarrow 2+\)のときに\(f\)は有限な実数へ右側収束しないため、\(f\)は点\(2\)において右側連続ではありません。
例(点において右側連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \text{定数関数の右側極限} \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =f\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)において右側連続であることが明らかになりました。
例(点において右側連続でも右側不連続でもない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(0\)において定義されていないため、点\(0\)において右側連続と右側不連続のどちらでもありません。

 

点において左側連続な関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)が有限な左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \)へ収束するかどうかを検討する際に、\(f\)は点\(a\)よりも小さい周辺の任意の点において定義されていればよく、\(f\)は必ずしも点\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、\(f\)が点\(a\)において定義されていなくても\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)が有限な左側極限へ収束する状況は起こり得ます。また、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)が有限な左側極限へ収束する場合、この左側極限は点\(a\)における\(f\)の値である\(f\left( a\right) \)と一致するとは限りません。

一方、関数\(f\)が点\(a\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)は有限な左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \)へ収束し、さらにこの左側極限が\(f\left( a\right) \)と一致する場合、\(f\)は点\(a\)において左側連続である(left-hand continuous at \(a\))であると言います。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において左側連続であることとは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。関数の左側極限の定義より、条件\(\left( b\right) \)が成り立つためには\(f\)が点\(a\)よりも小さい周辺の任意の点において定義されている必要があります。これと条件\(\left( a\right) \)を踏まえると、点\(a\)において左側連続な関数\(f\)は点\(a\)を含めそれ以下の周辺の任意の定義において定義されていることになります。

上の3つの条件の中でも\(\left( a\right) \)が成り立つ一方で\(\left( b\right) \)と\(\left( c\right) \)の少なくとも一方が成り立たない場合、\(f\)は点\(a\)において左側不連続である(left-hand discontinuous at \(a\))と言います。また、そもそも\(\left( a\right) \)が成り立たない場合、つまり関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(a\)において左側連続と左側不連続のどちらでもありません。関数が点において左側連続もしくは左側不連続であるためには、その点が関数の定義域に含まれている必要があります。

例(点において左側連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -a-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -a-}3x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&3\lim_{x\rightarrow -a-}x\quad \because \text{左側収束する関数の定数倍の左側極限} \\
&=&3a\quad \because \text{恒等関数の左側極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -a-}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において左側連続であることが明らかになりました。
例(点において左側連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -2,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -2,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{4-x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定義域の端点\(2\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2-}\sqrt{4-x^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\lim_{x\rightarrow 2-}\left( 4-x^{2}\right) }\quad \because \text{ベキ関数の左側極限} \\
&=&\sqrt{\lim_{x\rightarrow 2-}4-\left( \lim_{x\rightarrow 2-}x\right) ^{2}}\quad \because \text{多項式関数の左側極限} \\
&=&\sqrt{4-2^{2}}\quad \because \text{定数関数および恒等関数の左側極限} \\
&=&0 \\
&=&f\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) =f\left( 2\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(2\)において左側連続であることが明らかになりました。一方、定義域のもう一方の端点\(-2\)に注目したとき、\(f\)は\(x<-2\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)において定義されていないため、\(x\rightarrow -2-\)のときに\(f\)が有限な左側極限へ収束するか検討できません。したがって、\(x\rightarrow -2-\)のときに\(f\)は有限な実数へ左側収束しないため、\(f\)は点\(-2\)において左側連続ではありません。
例(点において左側連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されている一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}0\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{定数関数の左側極限} \\
&\not=&1 \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) \not=f\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)において左側連続ではないことが明らかになりました。
例(点において左側連続でも左側不連続でもない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は点\(0\)において定義されていないため、点\(0\)において左側連続と左側不連続のどちらでもありません。

 

点において片側連続な関数

右側連続性と左側連続性を総称して片側連続性(one-sided continuity)と呼びます。

例(点において片側連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続です。
例(点において片側連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -2,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -2,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{4-x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数\(f\)は定義域の端点\(-2\)において右側連続である一方で左側連続ではありません。また、定義域のもう一方の端点\(2\)において左側連続である一方で右側連続ではありません。
例(点において片側連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。先に示したように、この関数\(f\)は点\(0\)において右側連続である一方で左側連続ではありません。
例(点において片側連続ではない関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数は点\(0\)において右側連続と左側連続のどちらでもありません。

 

集合上で片側連続な関数

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であることとは、\(f\)が点\(a\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a+\)のときに有限な右側極限へ収束し、さらに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先に例を通じて確認したように、一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において右側連続であるとは限りません。そこで、\(f\)が右側連続な点からなる集合が\(Y\subset X\)であるとき、\(f\)は\(Y\)上で右側連続である(right-hand continuous on \(Y\))と言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において右側連続である場合、\(f\)は右側連続である(right-hand continuous)と言います。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において左側連続であることとは、\(f\)が点\(a\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a-\)のときに有限な左側極限へ収束し、さらに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先に例を通じて確認したように、一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において左側連続であるとは限りません。そこで、\(f\)が左側連続な点からなる集合が\(Y\subset X\)であるとき、\(f\)は\(Y\)上で左側連続である(left-hand continuous on \(Y\))と言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において左側連続である場合、\(f\)は左側連続である(left-hand continuous)と言います。

先に例を通じて確認したように、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続である一方で左側連続ではない状況は起こり得ます。その逆も真です。したがって、関数\(f\)が右側連続であるような点集合と左側連続であるような点集合は一致するとは限りません。

例(集合上で片側連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続であるため、\(f\)は定義域上で右側連続かつ左側連続な関数です。
例(集合上で片側連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -2,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -2,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{4-x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数\(f\)は定義域の端点\(-2\)において右側連続である一方で左側連続ではありません。また、定義域のもう一方の端点\(2\)において左側連続である一方で右側連続ではありません。また、定義域の内点\(a\in \left(-2,2\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続です。したがって、\(f\)は点集合\([-2,2)\)上で右側連続であり、点集合\((-2,2]\)上で左側連続です。
例(集合上で片側連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。先に示したように、この関数\(f\)は点\(0\)において右側連続である一方で左側連続ではありません。また、\(0\)とは異なる点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続です。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で右側連続であり、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で左側連続です。
例(集合上で片側連続な関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数は点\(0\)において右側連続と左側連続のどちらでもありません。また、\(0\)とは異なる点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続です。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で右側連続かつ左側連続です。

 

演習問題

問題(関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x-2
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が右側連続な点、左側連続な点をそれぞれすべて明らかにしてください。
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問題(関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が右側連続な点、左側連続な点をそれぞれすべて明らかにしてください。
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問題(関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\leq 2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が右側連続な点、左側連続な点をそれぞれすべて明らかにしてください。
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問題(関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-2\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x-1}{x^{2}+2x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が右側連続な点、左側連続な点をそれぞれすべて明らかにしてください。
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次回は関数が片側連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて判定する方法を解説します。

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