点における関数の右側連続性
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、関数\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より大きく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。
関数\(f\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)より大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合に\(f\left( x\right) \)の値が必ず何らかの有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことを意味しますが、そのことをイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。
集積点の定義より、関数\(f\)は点\(a\)より大きい周辺の点において定義されている一方で、点\(a\)自身において定義されているとは限りません。ただ、\(x\rightarrow a+\)の場合に関数\(f\)が有限な実数へ右側収束するかを検討する際には、\(f\)は点\(a\)より大きい周辺の点において定義されていればよく、点\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合においても、\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f\)が有限な実数へ右側収束する状況は起こり得ます。また、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束する場合、その右側極限は点\(a\)における\(f\)の値である\(f\left( a\right) \)と一致するとは限りません。
一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f\)が有限な実数へ右側収束し、さらにその右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)が\(f\left(a\right) \)と一致する場合には、すなわち、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(f\)は点\(a\)において右側連続である（right-hand continuous at \(a\)）であると言います。逆に、以上の3つの条件の中の少なくとも1つが成り立たない場合、関数\(f\)は点\(a\)において右側不連続である（right-hand discontinuous at \(a\)）と言います。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -a+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -a+}3x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&3\lim_{x\rightarrow -a+}x\quad \because \text{右側収束する関数の定数倍の右側極限} \\
&=&3a\quad \because \text{恒等関数の右側極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -a+}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において右側連続であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定義域の端点\(-2\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -2+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -2+}\sqrt{4-x^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\lim_{x\rightarrow -2+}\left( 4-x^{2}\right) }\quad \because \text{ベキ関数の右側極限} \\
&=&\sqrt{\lim_{x\rightarrow -2+}4-\left( \lim_{x\rightarrow -2+}x\right) ^{2}}\quad \because \text{多項式関数の右側極限} \\
&=&\sqrt{4-2^{2}}\quad \because \text{定数関数および恒等関数の右側極限} \\
&=&0 \\
&=&f\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -2+}f\left( x\right) =f\left( 2\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(-2\)において右側連続であることが明らかになりました。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)を含めそれ以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \text{定数関数の右側極限} \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =f\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)において右側連続であることが明らかになりました。
点における関数の左側連続性
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、関数\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より小さく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。
関数\(f\)が\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)より小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合に\(f\left( x\right) \)の値が必ず何らかの有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことを意味しますが、そのことをイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。
集積点の定義より、関数\(f\)は点\(a\)より小さい周辺の点において定義されている一方で、点\(a\)自身において定義されているとは限りません。ただ、\(x\rightarrow a-\)の場合に関数\(f\)が有限な実数へ左側収束するかを検討する際には、\(f\)は点\(a\)より小さい周辺の点において定義されていればよく、点\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合においても、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f\)が有限な実数へ左側収束する状況は起こり得ます。また、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束する場合、その左側極限は点\(a\)における\(f\)の値である\(f\left( a\right) \)と一致するとは限りません。
一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f\)が有限な実数へ左側収束し、さらにその左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \)が\(f\left(a\right) \)と一致する場合には、すなわち、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(f\)は点\(a\)において左側連続である（left-hand continuous at \(a\)）であると言います。逆に、以上の3つの条件の中の少なくとも1つが成り立たない場合、関数\(f\)は点\(a\)において左側不連続である（left-hand discontinuous at \(a\)）と言います。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -a-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -a-}3x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&3\lim_{x\rightarrow -a-}x\quad \because \text{左側収束する関数の定数倍の左側極限} \\
&=&3a\quad \because \text{恒等関数の左側極限} \\
&=&f\left( a\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -a-}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(a\)において左側連続であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定義域の端点\(2\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2-}\sqrt{4-x^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\lim_{x\rightarrow 2-}\left( 4-x^{2}\right) }\quad \because \text{ベキ関数の左側極限} \\
&=&\sqrt{\lim_{x\rightarrow 2-}4-\left( \lim_{x\rightarrow 2-}x\right) ^{2}}\quad \because \text{多項式関数の左側極限} \\
&=&\sqrt{4-2^{2}}\quad \because \text{定数関数および恒等関数の左側極限} \\
&=&0 \\
&=&f\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) =f\left( 2\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(2\)において左側連続であることが明らかになりました。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)を含めそれ以下の周辺の任意の点において定義されている一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}0\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{定数関数の左側極限} \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =f\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)において左側連続であることが明らかになりました。
関数は片側連続であるとは限らない
右側連続性と左側連続性を総称して片側連続性（one-sided continuity）と呼びます。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続です。
関数は点において片側連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は点\(-2\)において右側連続であるとともに点\(2\)において左側連続です。その一方で、\(f\)は\(x<-2\)を満たす任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において定義されていないため、\(x\rightarrow -2-\)の場合に\(f\)が左側収束するか検討できません。したがって、\(x\rightarrow -2-\)の場合に\(f\)は左側収束しないため、\(f\)は点\(-2\)において左側連続ではありません。同様の理由により、\(f\)は点\(2\)において右側連続ではありません。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。先に示したように\(f\)は点\(0\)において右側連続です。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}0\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{定数関数の左側極限} \\
&\not=&1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(0\)において左側連続ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において定義されていないため、\(f\)は点\(0\)において右側連続と左側連続のどちらでもありません。
集合上で片側連続な関数
先に例を通じて確認したように、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域\(X\)上のすべての点において片側連続であるとは限りません。
そこで、関数\(f\)が右側連続な点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(f\)は\(Y\)上で右側連続である（right-hand continuous on \(Y\)）と言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において右側連続である場合、\(f\)は右側連続である（right-hand continuous）と言います。
また、関数\(f\)が左側連続な点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(f\)は\(Y\)上で左側連続である（left-hand continuous on \(Y\)）と言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において左側連続である場合、\(f\)は左側連続である（left-hand continuous）と言います。
先に例を通じて確認したように、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続である一方で左側連続ではない状況は起こり得ます。その逆も真です。したがって、関数\(f\)が右側連続であるような点集合と左側連続であるような点集合は一致するとは限りません。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続であるため、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \)上で右側連続かつ左側連続な関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数\(f\)は定義域の端点\(-2\)において右側連続である一方で左側連続ではありません。また、定義域のもう一方の端点\(2\)において左側連続である一方で右側連続ではありません。また、定義域の内点\(a\in \left(-2,2\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続です。したがって、\(f\)は集合\([-2,2)\)上で右側連続であり、集合\((-2,2]\)上で左側連続です。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。先に示したように、この関数\(f\)は点\(0\)において右側連続である一方で左側連続ではありません。また、\(0\)とは異なる点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続です。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で右側連続であり、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で左側連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数は点\(0\)において右側連続と左側連続のどちらでもありません。また、\(0\)とは異なる点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続です。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で右側連続かつ左側連続です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が右側連続な点、左側連続な点をそれぞれすべて明らかにしてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が右側連続な点、左側連続な点をそれぞれすべて明らかにしてください。
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\leq 2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が右側連続な点、左側連続な点をそれぞれすべて明らかにしてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が右側連続な点、左側連続な点をそれぞれすべて明らかにしてください。
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