関数の片側連続性

関数が閉区間上に定義された場合などには、定義域の端点において通常の意味での極限を考えることができないため、通常の意味での連続性を考えることができません。そこで、そのような場合には片側連続性と呼ばれる概念の下で連続性を考えます。

点における関数の片側連続性

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)における右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f(x)\)について考える際には、\(f\)は必ずしも\(\alpha \)において定義されている必要はありません。また、\(f\)が\(a\)において定義されている場合においても、\(f\)の\(\alpha \)における右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f(x)\)と\(f\)の\(\alpha \)における値\(f\left( \alpha \right) \)は一致するとは限りません。

一方、\(f\)が\(\alpha \)において定義されており、なおかつ\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f(x)\)と\(f(\alpha )\)が一致する場合には、\(f\)は\(\alpha \)において右側連続である(right-hand continuous at \(\alpha \))であると言います。より正確には、関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ a\in I \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f(x)\in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f(x)=f(\alpha )
\end{eqnarray*}という条件がすべて成り立つとき、\(f\)は\(\alpha \)において右側連続であると言います。

上の 3 つの条件の中でも\(\left( a\right) \)は成り立つが、\(\left( b\right) ,\left( c\right) \)の少なくとも一方が成り立たない場合には、\(f\)は\(\alpha \)において右側不連続(right-hand discontinuous at \(\alpha \))であると言います。一方、そもそも\(\left( a\right) \)が成り立たない場合には、すなわち関数\(f\)が点\(\alpha \)において定義されていない場合には、\(f\)は\(\alpha \)において右側から連続でも不連続でもありません。関数が点において右側から連続もしくは不連続であるためには、そもそもその点が関数の定義域に含まれている必要があるということです。

例(関数の右側連続性)
\(f\left( x\right) =\sqrt{x}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}\)は点\(0\in \mathbb{R} _{+}\)において、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0+}\sqrt{x}=0
\end{equation*}を満たすとともに、\begin{equation*}
f\left( 0\right) =\sqrt{x}=0
\end{equation*}が成り立ちます。両者が一致するため、\(f\)は\(0\)において右側連続です。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)における左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f(x)\)について考える際には、\(f\)は必ずしも\(\alpha \)において定義されている必要はありません。また、\(f\)が\(a\)において定義されている場合においても、\(f\)の\(\alpha \)における左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f(x)\)と\(f\)の\(\alpha \)における値\(f\left( \alpha \right) \)は一致するとは限りません。一方、\(f\)が\(\alpha \)において定義されており、なおかつ\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f(x)\)と\(f(\alpha )\)が一致する場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ a\in I \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f(x)\in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f(x)=f(\alpha )
\end{eqnarray*}という条件がすべて成り立つとき、\(f\)は\(\alpha \)において左側連続である(left-hand continuous at \(\alpha \))であると言います。

上の 3 つの条件の中でも\(\left( a\right) \)は成り立つが、\(\left( b\right) ,\left( c\right) \)の少なくとも一方が成り立たない場合には、\(f\)は\(\alpha \)において左側不連続(left-hand discontinuous at \(\alpha \))であると言います。一方、そもそも\(\left( a\right) \)が成り立たない場合には、すなわち関数\(f\)が点\(\alpha \)において定義されていない場合には、\(f\)は\(\alpha \)において左側から連続でも不連続でもありません。関数が点において左側から連続もしくは不連続であるためには、そもそもその点が関数の定義域に含まれている必要があるということです。

例(関数の左側連続性)
\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)は点\(3\in \)において、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 3-}x^{2}=9
\end{equation*}を満たすとともに、\begin{equation*}
f\left( 3\right) =3^{2}=9
\end{equation*}が成り立ちます。両者が一致するため、\(f\)は\(9\)において右側連続です。

右側連続性と左側連続性を総称して片側連続性(one-sided continuity)と呼びます。

 

関数が点において片側連続であることの厳密な定義

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)が点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において実数\(\beta \in \mathbb{R}\)へ右側から収束することは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in I:\left( 0<x-\alpha <\delta \ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして表現されます。今、この関数\(f\)が点\(\alpha \)において右側連続であるならば、\(f\)の\(\alpha \)における右側極限である\(\beta \)は\(f\left( \alpha \right) \)と一致するため、上の論理式において\(\beta \)を\(f\left( \alpha \right) \)で置き換えることができます。さらに、\(f\)が\(\alpha \)において右側連続であるためには\(f\)はそもそも\(\alpha \)において定義されている必要があるため、上の論理式において\(x=\alpha \)の場合を除外する必要はありません。言い換えると、上の論理式中の\(0<x-\alpha \)の部分を\(0\leq x-\alpha\)に入れ替えても問題ありません。以上を踏まえると、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)が点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において右側連続であることは、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in I:\left( 0\leq x-\alpha <\delta \ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -f\left( \alpha \right) \right\vert <\varepsilon \right) \end{equation*}が成り立つこととして表現可能です。 左側連続性についても同様に考えます。つまり、関数\(f\)が点\(\alpha \)において実数\(\beta \)へ左側から収束することは、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in I:\left( -\delta <x-\alpha <0\ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon \right) \end{equation*}が成り立つこととして表現されますが、\(f\)が\(\alpha \)において右側連続である場合には\(\beta \)と\(f\left( \alpha \right) \)と一致するとともに、\(f\)は\(\alpha \)において定義されています。以上を踏まえると、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)が点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において右側連続であることは、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in I:\left( -\delta <x-\alpha \leq 0\ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -f\left( \alpha \right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして表現可能です。

次回は関数の片側連続性と収束列の関係について解説します。
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