片側収束関数と収束列の関係

関数の極限を収束する数列を用いて表現できるのと同様に、関数の片側極限もまた収束数列を用いて表現することができます。

右側収束関数と収束列の関係

収束関数の概念を収束列を用いて特徴づけたように、片側収束関数もまた収束列を用いて特徴づけることができます。具体的には、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(\alpha ,\beta \in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>\alpha \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\alpha
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選びます。つまり、\(\alpha \)よりも大きい\(X\)の点を項とし、\(\alpha \)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選ぶということです。このような数列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、その任意の項\(x_{n}\)は\(X\)の要素であることから\(f\)による\(x_{n}\)の像\(f\left( x_{n}\right) \)が定まるため、これを第\(n\)項とする新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)を構成できます。

上の条件を満たすどのような収束列\(\{x_{n}\}\)に対しても、そこから上のように構成される数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(\beta \)へ収束することは、すなわち\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) =\beta \)が成り立つことは、関数\(f\)について\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f\left( x\right) =\beta \)が成り立つための必要十分条件になります。

命題(右側極限と収束列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(\alpha ,\beta \in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(\alpha \)よりも大きい\(X\)の点をとりながら\(\alpha \)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このような任意の\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) =\beta \)が成り立つことは、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f\left( x\right) =\beta \)が成り立つための必要十分条件である。
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左側収束関数と収束列の関係

左側極限に関しても同様の命題が成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(\alpha ,\beta \in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}<\alpha \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\alpha
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選びます。つまり、\(\alpha \)よりも小さい\(X\)の点を項とし、\(\alpha \)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選ぶということです。このような数列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、その任意の項\(x_{n}\)は\(X\)の要素であることから\(f\)による\(x_{n}\)の像\(f\left( x_{n}\right) \)が定まるため、これを第\(n\)項とする新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)を構成できます。

上の条件を満たすどのような収束列\(\{x_{n}\}\)に対しても、そこから上のように構成される数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(\beta \)へ収束することは、すなわち\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) =\beta \)が成り立つことは、関数\(f\)について\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f\left( x\right) =\beta \)が成り立つための必要十分条件になります。

命題(左側極限と収束列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(\alpha ,\beta \in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(\alpha \)よりも小さい\(X\)の点をとりながら\(\alpha \)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このような任意の\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) =\beta \)が成り立つことは、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f\left( x\right) =\beta \)が成り立つための必要十分条件である。
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次回は関数の片側無限極限について解説します。
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