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片側極限を用いた関数の収束判定

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極限と片側極限の関係

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に近づく場合、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記しました。\(x\)が\(a\)に限りなく近づく際の経路としては、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}a\text{より小さい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}a\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}などが存在しますが、\(x\)がどのような経路で\(a\)へ限りなく近づいていく場合においてもそれに応じて\(f\left( x\right) \)が必ず同一の実数\(b\)へ限りなく近づくのであれば、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記するということです。一方、\(x\)が\(a\)より大きい値をとりながら\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を右側極限と定義し、\(x\)が\(a\)より小さい値をとりながら\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を左側極限と定義しました。したがって、通常の極限は右側極限や左側極限を特殊例として含んでいます。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において通常の極限を持つ場合、\(f\)はその点\(a\)において右側極限と左側極限をともに持つとともに、それらの極限はいずれも一致することが予想されます。実際、これは正しい主張です。

命題(極限と片側極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するものとする。この場合、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)のときに有限な実数へ収束し、なおかつ\(f\)は\(x\rightarrow a-\)のときに有限な実数へ収束するとともに、これらの極限の間には、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明

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上の命題の逆は成立するでしょうか。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)のときに有限な実数へ収束するとともに、\(x\rightarrow a-\)のときにも有限な実数へ収束するものとします。つまり、\(f\)の点\(a\)における右側極限と左側極限がそれぞれ有限な実数として定まるということです。一般に、関数の右側極限と左側極限がともに存在する場合、それらは一致するとは限りません。一方、\(f\)の点\(a\)における右側極限と左側極限がそれぞれ有限な実数として定まり、なおかつそれらが一致する場合、\(f\)は点\(a\)において通常の極限を持つことが保証されます。

命題(極限と片側極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)のときに有限な実数へ収束し、なおかつ\(f\)は\(x\rightarrow a-\)のときに有限な実数へ収束し、なおかつ片側極限の間に、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つものとする。この場合、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するとともに、これらの極限の間には、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明

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以上の2つの命題より、関数が通常の意味において収束することは、その関数が左右の両側から収束するとともに左右の片側極限が一致することとして特徴づけられることが明らかになりました。

命題(極限と片側極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(f\)が\(x\rightarrow a+\)のときに有限な実数へ収束し、なおかつ\(f\)が\(x\rightarrow a-\)のときに有限な実数へ収束し、なおかつ片側極限の間に、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことは、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するための必要十分である。さらにこのとき、これらの極限の間には、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

以上の命題より、関数の収束に関する議論を片側収束に関する議論に置き換えて考えることができます。

例(極限と片側極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(0\)より大きい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left\vert x_{n}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\quad \because \left( a\right) \\
&=&0\quad \because \left( b\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =0
\end{equation*}であることが示されました。\(0\)より小さい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}<0 \\
&&\left( d\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left\vert x_{n}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -x_{n}\right) \quad \because \left(
c\right) \\
&=&-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\quad \because \text{収束する数列の定数倍} \\
&=&-0\quad \because \left( d\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =0
\end{equation*}であることが示されました。以上で\(f\)の点\(0\)における左右の片側極限が存在し、それらが\(0\)で一致することが明らかになりました。したがって先の命題より、\(f\)は\(x\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =0
\end{equation*}であることが明らかになりました。

 

関数が収束しないことの証明

関数\(f\)の点\(a\)における右側極限と左側極限がともに有限な実数として定まり、なおかつそれらが一致する場合、そしてその場合にのみ、\(f\)は点\(a\)において通常の極限を持つことが明らかになりました。したがって、\(f\)の点\(a\)における右側極限と左側極限の少なくとも一方が存在しない場合(有限な実数として定まらない)、\(f\)は点\(a\)において通常の極限を持ちません。

例(関数が収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(x\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束するでしょうか。一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}として与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に注目します。この数列は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}をともに満たします。その一方で、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\frac{1}{\left( \frac{1}{n}\right) ^{3}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n^{3} \\
&=&\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(x\rightarrow 0+\)のときに有限な実数へ収束しません。したがって、\(f\)は\(x\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。

関数\(f\)は点\(a\)において右側極限と左側極限の両方を持つ(有限な実数として定まる)ものの、それらの値が一致しない場合にも、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において通常の極限を持たないことが保証されます。

例(関数が収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束するでしょうか。\(0\)より大きい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }1\quad \because \left( a\right) \\
&=&1\quad \because \text{定数数列の極限}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =1
\end{equation*}であることが示されました。\(0\)より小さい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}<0 \\
&&\left( d\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }0\quad \because \left( c\right) \\
&=&0\quad \because \text{定数数列の極限}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =0
\end{equation*}であることが示されました。\(f\)の点\(0\)における左右の片側極限が一致しないため、\(f\)は\(x\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。

 

演習問題

問題(片側極限を用いた関数の収束判定)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x^{2}+x}{\left\vert x\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(x\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束するでしょうか。理由とともに答えてください。
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次回は無限大における関数の極限について解説します。

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