多項式関数を定義します。多項式関数は任意の点において収束するとともに、連続です。

多項式関数

関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値\(f\left( x\right) \in \mathbb{R}\)が単項式の和として表されるならば、つまり、自然数\(n\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k} \\
&=&c_{0}x^{0}+c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n} \\
&=&c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{eqnarray*}という形で表すことができる場合には、\(f\)を多項式関数(polynomials function)と呼びます。

多項式関数\(f\)がそれぞれの\(x\)に対して定める値\(f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)を多項式(polynomials)と呼びます。多項式の次数としては、そこに含まれる単項式の次数の中で最大のものを採用します。

多項式関数\(f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)が与えられたとき、ある自然数\(m\)以外の任意の自然数\(k\)に対して\(c_{k}=0\)である場合には\(f\left( x\right) =c_{m}x^{m}\)となり、これは単項式関数です。つまり、単項式関数は多項式関数の特殊ケースです。

例(多項式関数)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =3x^{2}+5x-9
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は多項式関数であり、その次数は\(2\)です。
例(多項式関数)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\sqrt{2}x^{3}-\frac{x}{3}-\pi
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は多項式関数であり、その次数は\(3\)です。

 

多項式関数の極限

多項式関数は単項式関数の和として表されますが、単項式関数が任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において収束することはすでに明らかです。また、一般に、関数\(f,g\)が点\(\alpha \)において収束する場合には関数\(f+g\)もまた点\(\alpha \)において収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow \alpha
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立します。以上の事実を利用すると、多項式関数の極限に関する以下の命題を証明できます。

単項式関数について復習する 収束する関数の和について復習する
命題(多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)が多項式関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}
\end{equation*}という形で表すことができるものとする。この\(f\)は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}c_{k}\alpha ^{k}
\end{equation*}となる。
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例(多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =8x^{3}+2x^{2}-x+1
\end{equation*}であるならば、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3}\left(
8x^{3}+2x^{2}-x+1\right) \\
&=&8\cdot 3^{3}+2\cdot 3^{2}-3+1 \\
&=&232
\end{eqnarray*}となり、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -1}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -1}\left(
8x^{3}+2x^{2}-x+1\right) \\
&=&8\cdot \left( -1\right) ^{3}+2\cdot \left( -1\right) ^{2}-\left(
-1\right) +1 \\
&=&-4
\end{eqnarray*}となります。

 

多項式関数の連続性

多項式関数は単項式関数の和として表されますが、単項式関数が任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において連続であることはすでに明らかです。また、一般に、関数\(f,g\)が点\(\alpha \)において連続である場合には関数\(f+g\)も連続です。以上の事実を利用すると、多項式関数の連続性に関する以下の命題を証明できます。

連続関数の和について復習する
命題(多項式関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)が多項式関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}
\end{equation*}という形で表すことができるものとする。この\(f\)は\(\mathbb{R}\)上で連続である。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =8x^{3}+2x^{2}-x+1
\end{equation*}であるならば、任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( 8x^{3}+2x^{2}-x+1\right) \\
&=&8\alpha ^{3}+2\alpha ^{2}-\alpha +1 \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(\mathbb{R}\)上で連続です。

次回は有理関数について学びます。

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