多項式関数の定義と具体例

多項式関数

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}
\end{eqnarray*}という形で表される場合には\(f\)を多項式関数（polynomials function）と呼びます。多項式関数\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}を多項式（polynomials）と呼びます。\(c_{n}\not=0\)の場合、\(f\)を次数\(n\)の多項式関数と呼びます。

1次関数

次数\(1\)の多項式関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\(a\not=0\)を満たす定数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax+b
\end{equation*}と表されます。このような関数\(f\)を1次関数（linear function）や線型関数（linear function）などと呼びます。

1次関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ y=ax+b\right\}
\end{equation*}となります。特に、点\(0\in \mathbb{R} \)については、\begin{eqnarray*}f\left( 0\right) &=&a\cdot 0+b \\
&=&b
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( 0,b\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}が成り立つため、1次関数のグラフは点\(\left(0,b\right) \)を通過します。この点は1次関数のグラフと\(y\)軸が交わる点の座標ですが、これを\(y\)切片（\(y\) intercept）と呼びます。また、\begin{eqnarray*}f\left( -\frac{a}{b}\right) &=&a\left( -\frac{b}{a}\right) +b \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left( -\frac{a}{b},0\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}が成り立つため、1次関数のグラフは点\(\left( -\frac{a}{b},0\right) \)を通過します。この点は1次関数のグラフと\(x\)軸が交わる点の座標ですが、これを\(x\)切片（\(x\) intercept）と呼びます。

1次関数関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは\(y\)切片\(\left(0,b\right) \)と\(x\)切片\(\left( \frac{a}{b},0\right) \)を通過する直線であり、変数\(x\)の係数\(a\)はグラフの傾きの大きさを表しています。\(a>0\)ならばグラフは右上がりの直線であり、\(a<0\)ならばグラフは右下がりの直線になります。

逆に、平面上の直線が与えられたとき、それをグラフとして持つ1次関数をどのように特定すればよいでしょうか。仮に、その直線が通過する1つの点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)と傾き\(a\)が明らかである場合には、その直線の方程式は、\begin{equation*}y-y_{0}=a\left( x-x_{0}\right)
\end{equation*}として与えられます。したがって、この直線をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&a\left( x-x_{0}\right) +y_{0} \\
&=&ax+\left( y_{0}-ax_{0}\right)
\end{eqnarray*}を定める1次関数です。

直線が通過する2つの点\(\left( x_{0},y_{0}\right) ,\left( x_{1},y_{1}\right) \)が与えられている場合には、これを直線の方程式\(y=ax+b\)に代入することにより連立方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
y_{0}=ax_{0}+b \\
y_{1}=ax_{1}+b\end{array}\right.
\end{equation*}が得られるため、これを解けば\(a\)と\(b\)を特定できます。\(a\)と\(b\)が特定できれば、この直線をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax+b
\end{equation*}を定める1次関数であることが明らかになります。

2次関数

次数\(2\)の多項式関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\(a\not=0\)を満たす定数\(a,b,c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c
\end{equation*}と表されます。これを2次関数（quadratic function）と呼びます。

2次関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ y=ax^{2}+bx+c\right\}
\end{equation*}となります。2次関数のグラフは放物線であり、\(a>0\)ならば上向き（上に開いた形）になり、\(a<0\)ならば下向き（下に開いた形）になります。2次関数を変形すると、\begin{equation*}y=a\left( x+\frac{b}{2a}\right) ^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}
\end{equation*}を得るため、\begin{equation*}
f\left( -\frac{b}{2a}\right) =-\frac{b^{2}-4ac}{4a}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( -\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、2次関数のグラフは点\(\left( -\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\right) \)を通過します。この点を2次関数のグラフの頂点（vertex）と呼びます。

逆に、平面上の放物線が与えられたとき、それをグラフとして持つ2次関数をどのように特定すればよいでしょうか。放物線の頂点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)が明らかである場合には、そのグラフの方程式は、\begin{equation*}y=a\left( x-x_{0}\right) ^{2}+y_{0}
\end{equation*}となります。放物線が通過するもう1つの点\(\left( x_{1},y_{1}\right) \)が明らかである場合、これを上の方程式に代入すれば、\begin{equation*}y_{1}=a\left( x_{1}-x_{0}\right) ^{2}+y_{0}
\end{equation*}を得るため、これを解くことにより\(a\)を特定できます。\(a\)を特定できれば、この放物線をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =a\left( x-x_{0}\right) ^{2}+y_{0}
\end{equation*}を定める2次関数であることが明らかになります。

放物線上の2つの\(x\)切片\(\left( x_{0},0\right) ,\left( x_{1},0\right) \)が与えられている場合には、この放物線の方程式は、\begin{equation*}y=a\left( x-x_{0}\right) \left( x-x_{1}\right)
\end{equation*}となります。放物線上のもう1つの点\(\left(x_{2},y_{2}\right) \)が明らかである場合、これを上の方程式に代入すれば、\begin{equation*}y_{2}=a\left( x_{2}-x_{0}\right) \left( x_{2}-x_{1}\right)
\end{equation*}を得るため、これを解くことにより\(a\)を特定できます。\(a\)を特定できれば、この放物線をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =a\left( x-x_{0}\right) \left( x-x_{1}\right)
\end{equation*}を定める2次関数であることが明らかになります。

演習問題