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多項式関数

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多項式関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k} \\
&=&c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{eqnarray*}という形で表すことができる場合には\(f\)を多項式関数(polynomials function)と呼びます。多項式関数\(f\)がそれぞれの\(x \)に対して定める値\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}を多項式(polynomials)と呼びます。\(c_{n}\not=0\)の場合、\(f\)を次数\(n\)の多項式関数と呼びます。

例(多項式関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}という形で表すことができるとき、この\(f\)は多項式関数です。つまり、多項式関数は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義可能です。
例(多項式関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x^{2}+5x-9
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は多項式関数です。
例(多項式関数)
繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数であることとは、それぞれの\(x\in X\)に対して定める\(f\)が定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}という形で表すことができることを意味します。ここで、非負の実数\(l\in \mathbb{Z} _{+}\)を任意に選んだ上で、\(k\not=l\)を満たす任意の\(k\in \mathbb{Z} _{+}\)に対して\(c_{k}=0\)と定めれば、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{l}x^{l}
\end{equation*}となりますが、このような\(f\)を単項式関数(monomial function)と呼びます。単項式関数は多項式関数の1つです。また、次数が\(1\)で\(c_{0}=0\)かつ\(c_{1}=1\)の場合の多項式関数は、\begin{equation*}f\left( x\right) =0\cdot x^{0}+1\cdot x^{1}=x
\end{equation*}となりますが、これは恒等関数です。恒等関数もまた多項式関数の1つです。また、次数が\(0\)の多項式関数は、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}x^{0}=c_{0}
\end{equation*}となりますが、これは定数関数です。定数関数もまた多項式関数です。

例(多項式関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\sqrt{2}x^{3}-\frac{x}{3}-\pi & \left( if\ x\leq 0\right) \\
x^{2} & \left( if\ x>0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。この関数\(f\)の定義域を縮小して得られる関数\begin{eqnarray*}f &:&(-\infty ,0]\rightarrow \mathbb{R} \\
f &:&\left( 0,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれも多項式関数です。

 

1次関数

次数\(1\)の多項式関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、定数\(a,b\in \mathbb{R} \ \left( a\not=0\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax+b
\end{equation*}と表すことができます。このような関数\(f\)を1次関数(linear function)や線型関数(linear function)などと呼びます。

例(1次関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(a,b\in \mathbb{R} \ \left( a\not=0\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax+b
\end{equation*}という形で表すことができるとき、この\(f\)は1次関数です。つまり、1次関数は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義可能です。
例(1次関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。これは1次関数であるとともに恒等関数でもあります。つまり、恒等関数は特別な1次関数です。

例(1次関数)
月の重力は地球の重力の\(\frac{1}{6}\)であるため、ある物の地球での重さが\(x\in \mathbb{R} _{+}\)であるとき、月での重さは、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{6}x
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は1次関数です。
例(1次関数)
物体が一定の速度\(10\)で同じ向きに移動する場合、時間が\(x\in \mathbb{R} _{+}\)だけ経過したときの移動距離は、\begin{equation*}f\left( x\right) =10x
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は1次関数です。
例(1次関数)
人間の身長と上腕骨(肩から肘までの腕の骨)の長さの間には比例関係があるため、考古学者や人類学者は発掘された上腕骨の長さから身長を推測することができます。具体的には、上腕骨の長さ(cm)が\(x\in \mathbb{R} _{+}\)であるとき、その人が男性である場合の身長(cm)は、\begin{equation*}f\left( x\right) =2.89x+70.64
\end{equation*}であり、その人が女性である場合の身長(cm)は、\begin{equation*}
g\left( x\right) =2.75x+71.48
\end{equation*}であることが推測されます。これらの関数\(f,g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は1次関数です。
例(1次関数)
ある商品を生産するために必要な固定費用(生産量に依存しない一定の費用)は\(1000\)であり、さらに、商品1個あたり費用\(7\)が追加的に必要であるものとします。商品の生産量が\(x\in \mathbb{Z} _{+}\)であるとき、必要な総費用は、\begin{equation*}f\left( x\right) =1000+7x
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{Z} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は1次関数です。

1次関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=ax+b\right\}
\end{equation*}となります。特に、定義域が全区間\(\mathbb{R} \)である場合には、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=ax+b\right\}
\end{equation*}となります。点\(0\in \mathbb{R} \)については、\begin{equation*}f\left( 0\right) =a\cdot 0+b=b
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( 0,b\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}となるため、1次関数のグラフは点\(\left( 0,b\right) \)を通過します。この点は1次関数のグラフと\(y\)軸が交わる点の座標ですが、これを\(y\)切片(\(y\) intercept)と呼びます。また、\begin{equation*}f\left( -\frac{a}{b}\right) =a\left( -\frac{b}{a}\right) +b=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( -\frac{a}{b},0\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}となるため、1次関数のグラフは点\(\left( -\frac{a}{b},0\right) \)を通過します。この点は1次グラフのグラフと\(x\)軸が交わる点の座標ですが、これを\(x\)切片(\(x\) intercept)と呼びます。1次関数のグラフは\(y\)切片\(\left( 0,b\right) \)と\(x\)切片\(\left( \frac{a}{b},0\right) \)を通過する直線であり、変数\(x\)の係数\(a\)はグラフの傾きの大きさを表しています。\(a>0\)ならばグラフは右上がりの直線であり、\(a<0\)ならばグラフは右下がりの直線になります。

図:1次関数のグラフ
図:1次関数のグラフ
例(1次関数のグラフ)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-5x+1
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは点\(\left( 0,1\right) \)を通過する傾き\(-5\)の直線です。

逆に、平面上の直線が与えられたとき、それをグラフとして持つ1次関数をどのように特定すればよいでしょうか。仮に、その直線が通過する1つの点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)と傾き\(a\)が明らかである場合には、その直線の方程式は、\begin{equation*}y-y_{0}=a\left( x-x_{0}\right)
\end{equation*}として与えられます。したがって、この直線をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&a\left( x-x_{0}\right) +y_{0} \\
&=&ax+\left( y_{0}-ax_{0}\right)
\end{eqnarray*}を定める1次関数です。

例(1次関数のグラフ)
傾きが\(3\)であり点\(\left(-1,-5\right) \)を通過する平面上の直線が与えられているものとします。この直線の方程式は、\begin{equation*}y-\left( -5\right) =3\left( x-\left( -1\right) \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
y=3\left( x+1\right) -5
\end{equation*}です。したがって、この直線をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&3\left( x+1\right) -5 \\
&=&3x-2
\end{eqnarray*}を値として定めます。

別のパターンとして、直線が通過する2つの点\(\left( x_{0},y_{0}\right) ,\left( x_{1},y_{1}\right) \)が与えられている場合には、これを直線の方程式\(y=ax+b\)に代入することにより連立方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
y_{0}=ax_{0}+b \\
y_{1}=ax_{1}+b\end{array}\right.
\end{equation*}が得られるため、これを解けば\(a\)と\(b\)を特定できます。\(a\)と\(b\)が特定できれば、この直線をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax+b
\end{equation*}を定める1次関数であることが明らかになります。

例(1次関数のグラフ)
2つの点\(\left( -2,6\right) \)と\(\left( -4,9\right) \)を通過する平面上の直線が与えられているものとします。これを直線の方程式\(y=ax+b\)に代入することにより連立方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
6=a\left( -2\right) +b \\
9=a\left( -4\right) +b\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
6=-2a+b \\
9=-4a+b\end{array}\right.
\end{equation*}を得るため、これを解くことにより、\begin{equation*}
a=-\frac{3}{2},\ b=3
\end{equation*}を得るため、問題としている直線の方程式は、\begin{equation*}
y=-\frac{3}{2}x+3
\end{equation*}です。したがって、この直線をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{3}{2}x+3
\end{equation*}を値として定めます。

 

2次関数

次数\(2\)の多項式関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、定数\(a,b,c\in \mathbb{R} \ \left( a\not=0\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c
\end{equation*}と表すことができます。これを2次関数(quadratic function)と呼びます。

例(2次関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(a,b,c\in \mathbb{R} \ \left( a\not=0\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c
\end{equation*}という形で表すことができるとき、この\(f\)は2次関数です。つまり、2次関数は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義可能です。
例(2次関数)
物体を初速度\(0\)で自由落下させます。経過時間(秒)が\(x\in \mathbb{R} _{+}\)であるときの物体の移動距離(メートル)は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}gx^{2}
\end{equation*}となります。ただし、\(g\)は重力加速度を表す定数であり、地球上の場所によってわずかに異なりますが、ほぼ\(9.8\)です。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は2次関数です。
例(2次関数)
ある商品が独占企業によって供給されているものとします。商品の供給量が\(x\in \mathbb{R} _{+}\)である場合、市場価格が\(120-\frac{x}{2}\)で均衡するものとします。つまり、供給量を増やすほど市場価格は下落します。この企業が商品を\(x\in \mathbb{R} _{+}\)だけ販売したときに得られる総売り上げは、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\left( 120-\frac{x}{2}\right)
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は2次関数です。

2次関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=ax^{2}+bx+c\right\}
\end{equation*}となります。特に、定義域が全区間\(\mathbb{R} \)である場合には、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=ax^{2}+bx+c\right\}
\end{equation*}となります。2次関数のグラフは放物線であり、\(a>0\)ならば上向き(上に開いた形)になり、\(a<0\)ならば下向き(下に開いた形)になります。2次関数を変形すると、\begin{equation*}y=a\left( x+\frac{b}{2a}\right) ^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}
\end{equation*}を得るため、\begin{equation*}
f\left( -\frac{b}{2a}\right) =-\frac{b^{2}-4ac}{4a}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( -\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}となります。つまり、2次関数のグラフは点\(\left( -\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\right) \)を通過します。この点を2次関数のグラフの頂点(vertex)と呼びます。

図:2次関数のグラフ
図:2次関数のグラフ
例(2次関数のグラフ)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-2x^{2}+10x-7
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフの頂点の\(x\)座標は、\begin{equation*}-\frac{10}{2\left( -2\right) }=\frac{5}{2}
\end{equation*}であり、頂点の\(y\)座標は、\begin{eqnarray*}f\left( \frac{5}{2}\right) &=&-2\left( \frac{5}{2}\right) ^{2}+10\left(
\frac{5}{2}\right) -7 \\
&=&-2\left( \frac{25}{4}\right) +25-7 \\
&=&\frac{11}{2}
\end{eqnarray*}です。つまり、この関数のグラフは頂点が\(\left( \frac{5}{2},\frac{11}{2}\right) \)の放物線であり、下に開いた形をしています。

逆に、平面上の放物線が与えられたとき、それをグラフとして持つ2次関数をどのように特定すればよいでしょうか。放物線の頂点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)が明らかである場合には、そのグラフの方程式は、\begin{equation*}y=a\left( x-x_{0}\right) ^{2}+y_{0}
\end{equation*}となります。放物線が通過するもう1つの点\(\left( x_{1},y_{1}\right) \)が明らかである場合、これを上の方程式に代入すれば、\begin{equation*}y_{1}=a\left( x_{1}-x_{0}\right) ^{2}+y_{0}
\end{equation*}を得るため、これを解くことにより\(a\)を特定できます。\(a\)を特定できれば、この放物線をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =a\left( x-x_{0}\right) ^{2}+y_{0}
\end{equation*}を定める2次関数であることが明らかになります。

例(2次関数のグラフ)
頂点が\(\left( 1,-4\right) \)であり点\(\left( 0,-3\right) \)を通過する放物線が与えられているものとします。頂点が\(\left( 1,-4\right) \)であることから、この放物線の方程式は、\begin{equation*}y=a\left( x-1\right) ^{2}-4
\end{equation*}となります。さらに、放物線が点\(\left( 0,-3\right) \)を通過することから、\begin{equation*}-3=a\left( 0-1\right) ^{2}-4
\end{equation*}が成り立つため、これを解いて、\begin{equation*}
a=1
\end{equation*}を得ます。したがって、この放物線をグラフとして持つ2次関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\left( x-1\right) ^{2}-4 \\
&=&x^{2}-2x-3
\end{eqnarray*}を定めます。

別のパターンとして、放物線上の2つの\(x\)切片\(\left( x_{0},0\right) ,\left( x_{1},0\right) \)が与えられている場合には、この放物線の方程式は、\begin{equation*}y=a\left( x-x_{0}\right) \left( x-x_{1}\right)
\end{equation*}となります。放物線上のもう1つの点\(\left(x_{2},y_{2}\right) \)が明らかである場合、これを上の方程式に代入すれば、\begin{equation*}y_{2}=a\left( x_{2}-x_{0}\right) \left( x_{2}-x_{1}\right)
\end{equation*}を得るため、これを解くことにより\(a\)を特定できます。\(a\)を特定できれば、この放物線をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =a\left( x-x_{0}\right) \left( x-x_{1}\right)
\end{equation*}を定める2次関数であることが明らかになります。

例(2次関数のグラフ)
\(x\)軸上の2つの点\(\left( -1,0\right),\left( 3,0\right) \)に加えて点\(\left(0,-3\right) \)を通過する放物線が与えられているものとします。\(x\)切片が\(\left( -1,0\right) ,\left( 3,0\right) \)であることから、この放物線の方程式は、\begin{equation*}y=a\left( x+1\right) \left( x-3\right)
\end{equation*}となります。さらに、放物線が点\(\left( 0,-3\right) \)を通過することから、\begin{equation*}-3=a\left( 0+1\right) \left( 0-3\right)
\end{equation*}が成り立つため、これを解いて、\begin{equation*}
a=1
\end{equation*}を得ます。したがって、この放物線をグラフとして持つ2次関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&1\left( x+1\right) \left( x-3\right) \\
&=&x^{2}-2x-3
\end{eqnarray*}を定めます。

 

演習問題

問題(多項式関数)
以下のように定義される関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数ですか。理由とともに答えてください。

  1. \(f\left( x\right) =4x^{2}+2\)
  2. \(f\left( x\right) =3x^{3}-2x+\sqrt{x}\)
  3. \(f\left( x\right) =12-3x^{5}+x^{2}\)
  4. \(f\left( x\right) =\sin \left( x\right) +1\)
  5. \(f\left( x\right) =3x^{4}-\frac{2}{x}\)
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問題(1次関数)
平面上の直線が2つの点\(\left( 3,2\right) ,\left( 5,4\right) \)を通過することが分かっているものとします。この直線をグラフとして持つ関数を特定してください。
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問題(1次関数の逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(a,b\in \mathbb{R} \ \left( a\not=0\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax+b
\end{equation*}で表されるものとします。この関数\(f\)の逆関数\(f^{-1}\)は存在するでしょうか。議論してください。
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問題(2次関数)
平面上の放物線が頂点\(\left( 2,1\right) \)を持つとともに点\(\left( 0,5\right) \)を通過することが分かっているものとします。この放物線をグラフとして持つ関数を特定してください。
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次回は有理関数について学びます。

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