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多項式関数

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多項式関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k} \\
&=&c_{0}x^{0}+c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n} \\
&=&c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{eqnarray*}という形で表すことができる場合には\(f\)を多項式関数(polynomials function)と呼びます。多項式関数\(f\)がそれぞれの\(x\)に対して定める値\(f\left(x\right) =\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)を多項式(polynomials)と呼びます。\(c_{n}\not=0\)の場合、\(f\)を次数\(n\)の多項式関数と呼びます。

例(多項式関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}
\end{equation*}という形で表すことができるとき、この\(f\)は多項式関数です。つまり、多項式関数は\(\mathbb{R} \)上に定義可能です。
例(多項式関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x^{2}+5x-9
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は多項式関数です。
例(多項式関数)
繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数であることとは、それぞれの\(x\in X\)に対して定める\(f\)が定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}
\end{equation*}という形で表すことができることを意味します。ここで、非負の実数\(l\in \mathbb{Z} _{+}\)を任意に選んだ上で、\(k\not=l\)を満たす任意の\(k\)に対して\(c_{k}=0\)と定めれば、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{l}x^{l}
\end{equation*}となりますが、このような\(f\)を単項式関数(monomial function)と呼びます。単項式関数は特別な多項式関数です。また、次数が\(1\)で\(c_{0}=0\)かつ\(c_{1}=1\)の場合の多項式関数は、\begin{equation*}f\left( x\right) =0\cdot x^{0}+1\cdot x^{1}=x
\end{equation*}となりますが、これは恒等関数です。恒等関数は特別な多項式関数です。また、次数が\(0\)の多項式関数は、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}x^{0}=c_{0}
\end{equation*}となりますが、これは定数関数です。定数関数は特別な多項式関数です。
例(多項式関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\sqrt{2}x^{3}-\frac{x}{3}-\pi & \left( if\ x\leq 0\right) \\
x^{2} & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。この関数\(f\)は定数関数ではありませんが、\(f\)の定義域を縮小して得られる関数\begin{eqnarray*}f &:&(-\infty ,0]\rightarrow \mathbb{R} \\
f &:&\left( 0,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれも多項式関数です。

 

次数0の多項式関数(定数関数)

次数\(0\)の多項式関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表すことができますが、これは定数関数です。\(f\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=c\right\}
\end{equation*}となります。特に、定義域が\(X=\mathbb{R} \)である場合には、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=c\right\}
\end{equation*}となりますが、これは平面上において\(\left(0,c\right) \)を通過する水平線として描かれます(下図)。

図:定数関数のグラフ
図:定数関数のグラフ

逆に、平面上の水平線が与えられたとき、それをグラフとして持つ定数関数をどのように特定すればよいでしょうか。与えられた水平線上の少なくとも1つの点の座標\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)が与えられれば、その水平線をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =y_{0}
\end{equation*}を定める定数関数です。

 

次数1の多項式関数(1次関数)

次数\(1\)の多項式関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、定数\(a,b\in \mathbb{R} \ \left( a\not=0\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax+b
\end{equation*}と表すことができます。これを1次関数(linear function)と呼びます。1次関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=ax+b\right\}
\end{equation*}となります。特に、定義域が\(X=\mathbb{R} \)である場合には、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=ax+b\right\}
\end{equation*}となります。点\(0\in \mathbb{R} \)については、\begin{equation*}f\left( 0\right) =a\cdot 0+b=b
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( 0,b\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}となるため、1次関数のグラフは点\(\left( 0,b\right) \)を通過します。この点は1次関数のグラフと\(y\)軸が交わる点の座標ですが、これを\(y\)切片(\(y\) intercept)と呼びます。また、\begin{equation*}f\left( -\frac{a}{b}\right) =a\left( -\frac{b}{a}\right) +b=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( -\frac{a}{b},0\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}となるため、1次関数のグラフは点\(\left( -\frac{a}{b},0\right) \)を通過します。この点は1次グラフのグラフと\(x\)軸が交わる点の座標ですが、これを\(x\)切片(\(x\) intercept)と呼びます。1次関数のグラフは\(y\)切片\(\left( 0,b\right) \)と\(x\)切片\(\left( \frac{a}{b},0\right) \)を通過する直線であり、変数\(x\)の係数\(a\)はこの直線の傾きの大きさを表しています。\(a>0\)ならばグラフは右上がりの直線、\(a<0\)ならば右下がりの直線になります。

図:1次関数のグラフ
図:1次関数のグラフ

逆に、平面上の直線が与えられたとき、それをグラフとして持つ1次関数をどのように特定すればよいでしょうか。仮に、その直線が通過する1つの点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)と傾き\(a\)が明らかである場合には、その直線の方程式は、\begin{equation*}y-y_{0}=a\left( x-x_{0}\right)
\end{equation*}として与えられます。したがって、この直線をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&a\left( x-x_{0}\right) +y_{0} \\
&=&ax+\left( y_{0}-ax_{0}\right)
\end{eqnarray*}を定める1次関数です。

別のパターンとして、直線が通過する2つの点\(\left( x_{0},y_{0}\right) ,\left( x_{1},y_{1}\right) \)が与えられている場合には、これを直線の方程式\(y=ax+b\)に代入することにより連立方程式\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
y_{0}=ax_{0}+b \\
y_{1}=ax_{1}+b\end{array}\right.
\end{equation*}が得られるため、これを解けば\(a\)と\(b\)を特定できます。\(a\)と\(b\)が特定できれば、この直線をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax+b
\end{equation*}を定める1次関数であることが明らかになります。

 

次数2の多項式関数(2次関数)

次数\(2\)の多項式関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、定数\(a,b,c\in \mathbb{R} \ \left( a\not=0\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c
\end{equation*}と表すことができます。これを2次関数(quadratic function)と呼びます。2次関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=ax^{2}+bx+c\right\}
\end{equation*}となります。特に、定義域が\(X=\mathbb{R} \)である場合には、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=ax^{2}+bx+c\right\}
\end{equation*}となります。2次関数のグラフは放物線であり、\(a>0\)ならば上向き(上に開いた形)になり、\(a<0\)ならば下向き(下に開いた形)になります。2次関数を変形すると、\begin{equation*}y=a\left( x+\frac{b}{2a}\right) ^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}
\end{equation*}を得るため、点\(-\frac{b}{2a}\in \mathbb{R} \)については、\begin{equation*}f\left( -\frac{b}{2a}\right) =-\frac{b^{2}-4ac}{4a}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( -\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}となるため、2次関数のグラフは点\(\left( -\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\right) \)を通過します。この点を2次関数のグラフの頂点(vertex)と呼びます。

図:2次関数のグラフ
図:2次関数のグラフ

逆に、平面上の放物線が与えられたとき、それをグラフとして持つ2次関数をどのように特定すればよいでしょうか。仮に、その放物線の頂点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)が明らかである場合には、その放物線の方程式は、\begin{equation*}y=a\left( x-x_{0}\right) ^{2}+y_{0}
\end{equation*}となります。放物線上のもう1つの点\(\left(x_{1},y_{1}\right) \)が明らかである場合、これを上の方程式に代入すれば、\begin{equation*}y_{1}=a\left( x_{1}-x_{0}\right) ^{2}+y_{0}
\end{equation*}を得ますが、これを解けば\(a\)を特定できます。\(a\)を特定できれば、この放物線をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =a\left( x-x_{0}\right) ^{2}+y_{0}
\end{equation*}を定める2次関数であることが明らかになります。

別のパターンとして、放物線の2つの\(x\)切片\(\left( x_{0},0\right) ,\left( x_{1},0\right) \)が与えられている場合には、この放物線の方程式は、\begin{equation*}y=a\left( x-x_{0}\right) \left( x-x_{1}\right)
\end{equation*}となります。放物線上のもう1つの点\(\left(x_{2},y_{2}\right) \)が明らかである場合、これを上の方程式に代入すれば、\begin{equation*}y_{2}=a\left( x_{2}-x_{0}\right) \left( x_{2}-x_{1}\right)
\end{equation*}を得ますが、これを解けば\(a\)を特定できます。\(a\)を特定できれば、この放物線をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =a\left( x-x_{0}\right) \left( x-x_{1}\right)
\end{equation*}を定める2次関数であることが明らかになります。

 

演習問題

問題(多項式関数)
以下のように定義される関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数ですか。理由とともに答えてください。
  1. \(f\left( x\right) =4x^{2}+2\)
  2. \(f\left( x\right) =3x^{3}-2x+\sqrt{x}\)
  3. \(f\left( x\right) =12-3x^{5}+x^{2}\)
  4. \(f\left( x\right) =\sin x+1\)
  5. \(f\left( x\right) =3x^{4}-\frac{2}{x}\)
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問題(1次関数)
平面上の直線が2つの点\(\left( 3,2\right) ,\left( 5,4\right) \)を通過することが分かっているものとします。この直線をグラフとして持つ関数を特定してください。
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問題(1次関数)
平面上の放物線が頂点\(\left( 2,1\right) \)を持つとともに点\(\left( 0,5\right) \)を通過することが分かっているものとします。この放物線をグラフとして持つ関数を特定してください。
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問題(1次関数の逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(a,b\in \mathbb{R} \ \left( a\not=0\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax+b
\end{equation*}で表されるものとします。この関数\(f\)の逆関数\(f^{-1}\)は存在するでしょうか。議論してください。
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次回は有理関数について学びます。

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