関数の積の連続性（積の法則）

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(fg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において連続であるならば、\(fg\)もまた点\(a\)において連続である。

関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)から関数\(fg:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに連続関数であるものとします。つまり、\(f,g\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であるということです。すると先の命題より\(fg\)もまた点\(a\)において連続であるため、\(fg\)もまた連続関数です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}-x+1
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)は連続であるため、積の法則より\(x^{2}\)は連続です。すると差の法則より\(x^{2}-x\)は連続です。定数関数\(1\)は連続であるため、和の法則より\(x^{2}-x+1\)すなわち\(f\)は連続です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}+1\right) \left( 2x-1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)は連続であるため、積の法則より\(x^{2}\)は連続です。定数関数\(1\)は連続であるため、和の法則より\(x^{2}+1\)は連続です。その一方で、定数倍の法則より\(2x\)は連続であり、差の法則より\(2x-1\)は連続です。したがって、積の法則より\(\left( x^{2}+1\right) \left( 2x-1\right) \)すなわち\(f\)は連続です。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(fg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であるならば、\(fg\)もまた点\(a\)において右側連続である。また、\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において左側連続であるならば、\(fg\)もまた点\(a\)において左側連続である。

関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)から関数\(fg:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに右側連続関数であるものとします。つまり、\(f,g\)はともに任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において右側連続であるということです。すると先の命題より\(fg\)もまた点\(a\)において右側連続であるため、\(fg\)もまた右側連続関数です。同様に、\(f,g\)がともに左側連続であるならば\(fg\)もまた左側連続関数です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-x^{2} & \left( if\ x\geq 0\right) \\
x^{2} & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =-x^{2}\)となります。恒等関数\(x\)は連続であり、積の法則より\(x^{2}\)は連続であり、定数倍の法則より\(-x^{2}\)すなわち\(f\)は連続です。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =x^{2}\)となります。恒等関数\(x\)は連続であり、積の法則より\(x^{2}\)すなわち\(f\)は連続です。点\(0\in \mathbb{R} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
-x^{2}\right) \quad \because x>0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow 0+}x^{2}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\left( \lim_{x\rightarrow 0+}x\cdot \lim_{x\rightarrow 0+}x\right) \quad
\because \text{積の法則} \\
&=&-\left( 0\cdot 0\right) \\
&=&0 \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。また、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}x^{2}\quad
\because x<0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&\lim_{x\rightarrow 0-}x\cdot \lim_{x\rightarrow 0-}x\quad \because \text{積の法則} \\
&=&0\cdot 0 \\
&=&0 \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において左側連続です。以上より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right) =f\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(f\)は点\(0\)において連続です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 6x^{3}-x\right) \left( 10-20x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。

有限\(n\)個の関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f_{1}\cdot \cdots \cdot f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。ただし、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f_{1}\cdot \cdots \cdot f_{n}\right) \left( x\right) =f_{1}\left(
x\right) \cdot \cdots \cdot f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)がいずれも連続関数である場合、関数\(f_{1}\cdot \cdots \cdot f_{n}\)もまた連続であることを証明してください。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(fg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において連続であるならば、\(fg\)もまた点\(a\)において連続です。本文中では関数の極限を用いて以上の命題を証明しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。