連続関数の積の連続性
定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f\cdot g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) \cdot g\left(
x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において連続であるならば、関数\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。
命題（点において連続な関数の積の連続性）
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されており、なおかつ点\(a\)において連続であるならば、関数\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において連続である。
つまり、定義域上の点\(a\)において連続な関数\(f,g\)の積の形をしている関数\(f\cdot g\)が与えられたとき、\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において連続であることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の積の形をしている関数\(f\cdot g\)の連続性を検討する際には、関数の連続性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それぞれが連続であることを確認すればよいということになります。
例（連続関数の積の連続性）
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)から関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに連続関数であるものとします。つまり、\(f,g\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であるということです。すると先の命題より\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において連続であるため、\(f\cdot g\)もまた連続関数です。
例（連続関数の積の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}-x+1
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)と定数関数\(1\)は連続です。\(x^{2}\)は連続な関数どうしの積であるため連続です。\(x^{2}-x+1\)は連続な関数どうしの和および差であるため連続です。したがって\(f\)は連続関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)と定数関数\(1\)は連続です。\(x^{2}\)は連続な関数どうしの積であるため連続です。\(x^{2}-x+1\)は連続な関数どうしの和および差であるため連続です。したがって\(f\)は連続関数です。
例（連続関数の積の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}+1\right) \left( 2x-1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)と定数関数\(1\)は連続です。\(x^{2}\)は連続な関数どうしの積であるため連続です。\(x^{2}+1\)は連続な関数どうしの和であるため連続です。\(2x\)は連続な関数の定数倍であるため連続です。\(2x-1\)は連続な関数どうしの差であるため連続です。\(\left( x^{2}+1\right) \left( 2x-1\right) \)は連続な関数どうしの積であるため連続です。したがって\(f\)は連続関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)と定数関数\(1\)は連続です。\(x^{2}\)は連続な関数どうしの積であるため連続です。\(x^{2}+1\)は連続な関数どうしの和であるため連続です。\(2x\)は連続な関数の定数倍であるため連続です。\(2x-1\)は連続な関数どうしの差であるため連続です。\(\left( x^{2}+1\right) \left( 2x-1\right) \)は連続な関数どうしの積であるため連続です。したがって\(f\)は連続関数です。
片側連続関数の積の片側連続性
片側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます。
命題（点において片側連続な関数の積の片側連続性）
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)およびそれ以上の周辺の任意の点において定義されており、なおかつ点\(a\)において右側連続であるならば、\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において右側連続である。また、\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)およびそれ以下の周辺の任意の点において定義されており、なおかつ点\(a\)において左側連続であるならば、\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において左側連続である。
例（片側連続関数の積の片側連続性）
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)から関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに右側連続関数であるものとします。つまり、\(f,g\)はともに任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において右側連続であるということです。すると先の命題より\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において右側連続であるため、\(f\cdot g\)もまた右側連続関数です。同様に、\(f,g\)がともに左側連続であるならば\(f\cdot g\)もまた左側連続関数です。
例（片側連続関数の和の片側連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x+1\right) \left( x-1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)と定数関数\(1\)は点\(0\)において右側連続です。\(x+1\)は点\(0\)において右側連続な関数の和であるため点\(0\)において右側連続です。\(x-1\)は点\(0\)において右側連続な関数の差であるため点\(0\)において右側連続です。\(\left( x+1\right) \left( x-1\right) \)点\(0\)において右側連続な関数の積であるため点\(0\)において右側連続です。したがって\(f\)は点\(0\)において右側連続です。恒等関数\(x\)と定数関数\(1\)は点\(1\)において左側連続であることから、\(f\)が点\(1\)において左側連続であることが同様にして示されます。また、恒等関数\(x\)と定数関数\(1\)は\(\left(0,1\right) \)上の任意の点において連続であることから、\(f\)が\(\left( 0,1\right) \)上の任意の点において連続であることが示されます。したがって\(f\)は連続関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)と定数関数\(1\)は点\(0\)において右側連続です。\(x+1\)は点\(0\)において右側連続な関数の和であるため点\(0\)において右側連続です。\(x-1\)は点\(0\)において右側連続な関数の差であるため点\(0\)において右側連続です。\(\left( x+1\right) \left( x-1\right) \)点\(0\)において右側連続な関数の積であるため点\(0\)において右側連続です。したがって\(f\)は点\(0\)において右側連続です。恒等関数\(x\)と定数関数\(1\)は点\(1\)において左側連続であることから、\(f\)が点\(1\)において左側連続であることが同様にして示されます。また、恒等関数\(x\)と定数関数\(1\)は\(\left(0,1\right) \)上の任意の点において連続であることから、\(f\)が\(\left( 0,1\right) \)上の任意の点において連続であることが示されます。したがって\(f\)は連続関数です。
演習問題
問題（関数の積の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 6x^{3}-x\right) \left( 10-20x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて明らかにしてください。
問題（関数の積の連続性）
有限\(n\)個の関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f_{1}\cdot \cdots \cdot f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。ただし、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f_{1}\cdot \cdots \cdot f_{n}\right) \left( x\right) =f_{1}\left(
x\right) \cdot \cdots \cdot f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)がいずれも連続関数である場合、関数\(f_{1}\cdot \cdots \cdot f_{n}\)もまた連続であることを証明してください。
x\right) \cdot \cdots \cdot f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)がいずれも連続関数である場合、関数\(f_{1}\cdot \cdots \cdot f_{n}\)もまた連続であることを証明してください。
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