点において収束する関数の積の極限
定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f\cdot g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) \cdot g\left(
x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するならば、関数\(f\cdot g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、これらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
命題（点において収束する関数の積の極限）
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(f\cdot g\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。
=\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。
つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束する関数\(f,g\)の積の形をしている関数\(f\cdot g\)が与えられたとき、\(f\cdot g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限と\(g\)の極限の積をとれば\(f\cdot g\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の積の形をしている関数\(f\cdot g\)の収束可能性を検討する際には、関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。
例（点において収束する関数の積の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)どうしの積の定数倍（\(2\)倍）の積として定義されていますが、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}x=a \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}2x^{2}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&2\lim_{x\rightarrow a}x^{2}\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&2\lim_{x\rightarrow a}x\lim_{x\rightarrow a}x\quad \because \text{収束する関数の積の極限} \\
&=&2aa\quad \because \left( 1\right) \\
&=&2a^{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)どうしの積の定数倍（\(2\)倍）の積として定義されていますが、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}x=a \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}2x^{2}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&2\lim_{x\rightarrow a}x^{2}\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&2\lim_{x\rightarrow a}x\lim_{x\rightarrow a}x\quad \because \text{収束する関数の積の極限} \\
&=&2aa\quad \because \left( 1\right) \\
&=&2a^{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
点において片側収束する関数の積の片側極限
片側極限についても同様の命題が成り立ちます。
命題（点において片側収束する関数の積の片側極限）
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(f\cdot g\)もまた\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ収束し、それらの右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a+}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。また、\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(f\cdot g\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ収束し、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a-}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。
=\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a+}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。また、\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(f\cdot g\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ収束し、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a-}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。
例（点において片側収束する関数の積の片側極限）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{x^{2}}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)どうしの積の定数倍（\(-\frac{1}{2}\)倍）として定義されています。定義域の端点\(0\)に注目したとき、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}x=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -\frac{x^{2}}{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0+}x^{2}\because \text{右側収束する関数の定数倍の右側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0+}x\lim_{x\rightarrow 0+}x\quad \because
\text{右側収束する関数の積の右側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 0\cdot 0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。定義域のもう一方の端点\(1\)に注目したとき、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 1-}x=1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1-}\left( -\frac{x^{2}}{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 1-}x^{2}\quad \because \text{左側収束する関数の定数倍の左側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 1-}x\lim_{x\rightarrow 1-}x\quad \because
\text{左側収束する関数の積の左側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\quad \because \left( 2\right) \\
&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)どうしの積の定数倍（\(-\frac{1}{2}\)倍）として定義されています。定義域の端点\(0\)に注目したとき、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}x=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -\frac{x^{2}}{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0+}x^{2}\because \text{右側収束する関数の定数倍の右側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0+}x\lim_{x\rightarrow 0+}x\quad \because
\text{右側収束する関数の積の右側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 0\cdot 0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。定義域のもう一方の端点\(1\)に注目したとき、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 1-}x=1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1-}\left( -\frac{x^{2}}{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 1-}x^{2}\quad \because \text{左側収束する関数の定数倍の左側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 1-}x\lim_{x\rightarrow 1-}x\quad \because
\text{左側収束する関数の積の左側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\quad \because \left( 2\right) \\
&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。
無限大において収束する関数の積の極限
無限大において収束する関数についても同様の命題が成り立ちます。
命題（無限大において収束する関数の積の極限）
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数へ収束するならば、\(f\cdot g\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数へ収束するならば、\(f\cdot g\)もまた\(x\rightarrow-\infty \)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
-\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数へ収束するならば、\(f\cdot g\)もまた\(x\rightarrow-\infty \)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
-\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。
例（無限大において収束する関数の積の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\pi }{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。関数\(\frac{1}{x}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{\pi }{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\pi \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \quad
\because \text{正の無限大において収束する関数の定数倍} \\
&=&\pi \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because \text{正の無限大において収束する関数の積} \\
&=&\pi \cdot 0\cdot 0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、関数\(\frac{1}{x}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right) =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( \frac{\pi }{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\pi \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \quad
\because \text{負の無限大において収束する関数の定数倍} \\
&=&\pi \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because \text{負の無限大において収束する関数の積} \\
&=&\pi \cdot 0\cdot 0\quad \because \left( 2\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。関数\(\frac{1}{x}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{\pi }{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\pi \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \quad
\because \text{正の無限大において収束する関数の定数倍} \\
&=&\pi \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because \text{正の無限大において収束する関数の積} \\
&=&\pi \cdot 0\cdot 0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、関数\(\frac{1}{x}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right) =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( \frac{\pi }{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\pi \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \quad
\because \text{負の無限大において収束する関数の定数倍} \\
&=&\pi \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because \text{負の無限大において収束する関数の積} \\
&=&\pi \cdot 0\cdot 0\quad \because \left( 2\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
点において発散する関数の積の極限
関数\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているものとします。\(x\rightarrow a\)の場合に\(f,g\)がそれぞれ正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、関数\(f\cdot g\)の極限に関して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係がなり耐tます。ただし、ここでは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right)
=+\infty \\
&&\left( b\right) \ \left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right)
=+\infty \\
&&\left( c\right) \ \left( +\infty \right) \cdot \left( -\infty \right)
=-\infty \\
&&\left( d\right) \ \left( -\infty \right) \cdot \left( +\infty \right)
=-\infty
\end{eqnarray*}が前提になっています。
命題（点において発散する関数の積の極限）
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(f,g\)がそれぞれ正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
=\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
例（点において発散する関数の積の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\pi }{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)において、関数\(\frac{1}{x}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{\pi }{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\pi \lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because
\text{発散する関数の定数倍} \\
&=&\pi \lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}\right) \lim_{x\rightarrow
0}\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because \text{発散する関数の積} \\
&=&\pi \cdot \left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)において、関数\(\frac{1}{x}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{\pi }{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\pi \lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because
\text{発散する関数の定数倍} \\
&=&\pi \lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}\right) \lim_{x\rightarrow
0}\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because \text{発散する関数の積} \\
&=&\pi \cdot \left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。
無限大において発散する関数の積の極限
無限大において発散するような関数についても同様の命題が成り立ちます。
命題（無限大において発散する関数の積の極限）
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f,g\)がそれぞれ正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)が正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
-\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)が正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
-\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
例（無限大において発散する関数の積の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{2}\right) \quad \because \text{発散する関数の定数倍} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow +\infty }x\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }x\quad
\because \text{発散する関数の積} \\
&=&-\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{2}\right) \quad \because \text{発散する関数の定数倍} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow +\infty }x\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }x\quad
\because \text{発散する関数の積} \\
&=&-\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
問題（関数の積の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。
問題（関数の積の極限）
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(f,g\)の一方が\(0\)とは異なる有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
=\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
問題（関数の積の極限）
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f,g\)の一方が\(0\)とは異なる有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)の一方が\(0\)とは異なる有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
-\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)の一方が\(0\)とは異なる有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
-\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
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