点において収束する関数の積の極限
定義域を共有する2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( fg\right) \left( x\right) =f\left( x\right) \cdot g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな関数\begin{equation*}
fg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(f,g\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に関数\(f,g\)がともに有限な実数へ収束するならば、関数\(fg\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( fg\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
したがって、何らかの関数\(f,g\)の積の形をしている関数\(fg\)の収束可能性を検討する際には、関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。
a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、恒等関数\(x\)に関しては、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}x=a \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}2x^{2}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&2\lim_{x\rightarrow a}x^{2}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&2\lim_{x\rightarrow a}x\cdot \lim_{x\rightarrow a}x\quad \because \text{積の法則} \\
&=&2aa\quad \because \left( 1\right) \\
&=&2a^{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
点において片側収束する関数の積の片側極限
片側極限についても同様の命題が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(fg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。
右側極限をとるために、点\(a\in \mathbb{R} \)が以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\}
\end{equation*}の集積点である状況を想定します。\(x\rightarrow a+\)の場合に関数\(f,g\)がともに有限な実数へ右側収束するならば、関数\(fg\)もまた\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束するとともに、これらの右側極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( fg\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a+}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
左側極限をとるために、点\(a\in \mathbb{R} \)が以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\}
\end{equation*}の集積点である状況を想定します。\(x\rightarrow a-\)の場合に関数\(f,g\)がともに有限な実数へ左側収束するならば、関数\(fg\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束するとともに、これらの左側極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( fg\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a-}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
したがって、何らかの関数\(f,g\)の積の形をしている関数\(fg\)の片側収束可能性を検討する際には、関数の片側収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが片側収束することを確認すればよいということになります。
- 点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点であるものとする。\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f,g\)がともに有限な実数へ右側収束するならば、\(x\rightarrow a+\)の場合に\(fg\)もまた有限な実数へ右側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( fg\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a+}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。 - 点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点であるものとする。\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f,g\)がともに有限な実数へ左側収束するならば、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(fg\)もまた有限な実数へ左側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( fg\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a-}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\begin{array}{cc}
-x^{2} & \left( if\ x\geq 0\right) \\
x^{2} & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)について、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}x=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
-x^{2}\right) \quad \because x>0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow 0+}x^{2}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\left( \lim_{x\rightarrow 0+}x\cdot \lim_{x\rightarrow 0+}x\right) \quad
\because \text{積の法則} \\
&=&-\left( 0\cdot 0\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0-}x=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}x^{2}\quad
\because x<0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&\lim_{x\rightarrow 0-}x\cdot \lim_{x\rightarrow 0-}x\quad \because \text{積の法則} \\
&=&0\cdot 0\quad \because \left( 2\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right) =0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、関数の極限と片側極限の関係より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =0
\end{equation*}もまた成り立ちます。
無限大において収束する関数の積の極限
無限大における極限についても同様の命題が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(fg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。
正の無限大における極限をとるために、関数\(f,g\)が以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}を満たす状況を想定します。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に関数\(f,g\)が有限な実数へ収束するならば、関数\(fg\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束するとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( fg\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
負の無限大における極限をとるために、関数\(f,g\)が以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}を満たす状況を想定します。\(x\rightarrow -\infty \)の場合に関数\(f,g\)が有限な実数へ収束するならば、関数\(f+g\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束するとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( fg\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
-\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
- 以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つものとする。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f,g\)がともに有限な実数へ収束するならば、\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(fg\)もまた有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( fg\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。 - 以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つものとする。\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)がともに有限な実数へ収束するならば、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(fg\)もまた有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( fg\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
-\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。関数\(\frac{1}{x}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \cdot
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because \text{積の法則} \\
&=&0\cdot 0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、関数\(\frac{1}{x}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right) =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \cdot
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because \text{積の法則} \\
&=&0\cdot 0\quad \because \left( 2\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
点において発散する関数の積の極限
発散する関数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(fg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。
関数\(f,g\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に関数\(f,g\)がそれぞれ正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、関数\(fg\)の極限に関して以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( fg\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算ルール\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right)
=+\infty \\
&&\left( b\right) \ \left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right)
=+\infty \\
&&\left( c\right) \ \left( +\infty \right) \cdot \left( -\infty \right)
=-\infty \\
&&\left( d\right) \ \left( -\infty \right) \cdot \left( +\infty \right)
=-\infty
\end{eqnarray*}が前提になっています。
a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には、関数\(fg\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\left( fg\right) \left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \quad
\because \text{和の法則} \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \quad \because \left(
1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&-\infty \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}が成り立つ場合には、関数\(fg\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\left( fg\right) \left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \quad
\because \text{和の法則} \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
=-\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には、関数\(fg\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\left( fg\right) \left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \quad
\because \text{和の法則} \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \quad \because \left(
1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)において、関数\(\frac{1}{x}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
0}\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because \text{積の法則} \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \quad \because \left(
1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
無限大において発散する関数の積の極限
無限大において発散する関数についても同様の命題が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(fg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。
正の無限大における極限をとるために、関数\(f,g\)が以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}を満たす状況を想定します。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に関数\(f,g\)がそれぞれ正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、関数\(fg\)の極限に関して以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( fg\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算ルール\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right)
=+\infty \\
&&\left( b\right) \ \left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right)
=+\infty \\
&&\left( c\right) \ \left( +\infty \right) \cdot \left( -\infty \right)
=-\infty \\
&&\left( d\right) \ \left( -\infty \right) \cdot \left( +\infty \right)
=-\infty
\end{eqnarray*}が前提になっています。
負の無限大における極限をとるために、関数\(f,g\)が以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}を満たす状況を想定します。\(x\rightarrow -\infty \)の場合に関数\(f,g\)がそれぞれ正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、関数\(fg\)の極限に関して以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( fg\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
-\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算ルール\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right)
=+\infty \\
&&\left( b\right) \ \left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right)
=+\infty \\
&&\left( c\right) \ \left( +\infty \right) \cdot \left( -\infty \right)
=-\infty \\
&&\left( d\right) \ \left( -\infty \right) \cdot \left( +\infty \right)
=-\infty
\end{eqnarray*}が前提になっています。
- 以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つものとする。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に関数\(f,g\)がそれぞれ正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( fg\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。 - 以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つものとする。\(x\rightarrow -\infty \)の場合に関数\(f,g\)がそれぞれ正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( fg\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
-\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
}g\left( x\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には、関数\(fg\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( fg\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right) \quad \because \text{積の法則} \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \quad \because \left(
1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) &=&-\infty \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}が成り立つ場合には、関数\(fg\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( fg\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right) \quad \because \text{積の法則} \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
}g\left( x\right) =-\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には、関数\(fg\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( fg\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right) \quad \because \text{和の法則} \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \quad \because \left(
1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( -x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{2}\right) \quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\left( \lim_{x\rightarrow +\infty }x\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty
}x\right) \quad \because \text{積の法則} \\
&=&-\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。
a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では数列の極限を用いて以上の命題を証明しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)の一方が\(0\)とは異なる有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( fg\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
-\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】