連続関数の商の連続性
定義域を共有する2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数をゼロで割ることはできないため、関数\(g\)は値として非ゼロをとることに注意してください。
関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において連続であるならば、関数\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。
したがって、何らかの関数\(f,g\)の商の形をしている関数\(\frac{f}{g}\)の連続性を検討する際には、関数の連続性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それぞれが連続であることを確認すればよいということになります。
命題(点において連続な関数の商の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であるならば、\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において連続である。
例(連続関数の商の連続性)
関数である\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)から関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに連続関数であるものとします。つまり、\(f,g\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であるということです。すると先の命題より\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において連続であるため、\(\frac{f}{g}\)もまた連続関数です。
例(連続関数の商の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。定数関数\(1\)と恒等関数\(x\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続であるため、商の法則より\(\frac{1}{x}\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続すなわち\(f\)は連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。定数関数\(1\)と恒等関数\(x\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続であるため、商の法則より\(\frac{1}{x}\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続すなわち\(f\)は連続です。
例(連続関数の商の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2x-1}{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)と定数関数\(1\)は連続であるため、定数倍の法則と差の法則より\(2x-1\)は連続であり、積の法則と和の法則より\(x^{2}+1\)は連続です。したがって、商の法則より\(\frac{2x-1}{x^{2}+1}\)すなわち\(f\)は連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)と定数関数\(1\)は連続であるため、定数倍の法則と差の法則より\(2x-1\)は連続であり、積の法則と和の法則より\(x^{2}+1\)は連続です。したがって、商の法則より\(\frac{2x-1}{x^{2}+1}\)すなわち\(f\)は連続です。
片側連続関数の商の片側連続性
片側連続性についても同様の命題が成り立ちます。
命題(点において片側連続な関数の商の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)において右側連続であるならば、\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において右側連続である。また、\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in \mathbb{R} \)において左側連続であるならば、\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において左側連続である。
例(片側連続関数の商の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)および\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)から関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに右側連続関数であるものとします。つまり、\(f,g\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において右側連続であるということです。すると先の命題より\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において右側連続であるため、\(\frac{f}{g}\)もまた右側連続関数です。同様に、\(f,g\)がともに左側連続であるならば\(\frac{f}{g}\)もまた左側連続です。
例(片側連続関数の商の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-\frac{1}{x+1} & \left( if\ x\geq 0\right) \\
\frac{1}{x+1} & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =-\frac{1}{x+1}\)となります。定数関数\(1\)と恒等関数\(x\)は連続であるため、和の法則より\(x+1\)は連続であり、商の法則より\(\frac{1}{x+1}\)は連続であり、定数倍の法則より\(-\frac{1}{x+1}\)すなわち\(f\)は連続です。\(a<0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =\frac{1}{x+1}\)となります。定数関数\(1\)と恒等関数\(x\)は連続であるため、和の法則より\(x+1\)は連続であり、商の法則より\(\frac{1}{x+1}\)すなわち\(f\)は連続です。点\(0\in \mathbb{R} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{x+1}\right) \quad \because x>0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x+1}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0+}1}{\lim\limits_{x\rightarrow
0+}\left( x+1\right) }\quad \because \text{商の法則}
\\
&=&-\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0+}1}{\lim\limits_{x\rightarrow
0+}x+\lim\limits_{x\rightarrow 0+}1}\quad \because \text{和の法則} \\
&=&-\frac{1}{0+1} \\
&=&-1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x+1}\quad \because x<0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x+1}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0-}1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0-}\left(
x+1\right) }\quad \because \text{商の法則} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0-}1}{\lim\limits_{x\rightarrow
0-}x+\lim\limits_{x\rightarrow 0-}1}\quad \because \text{和の法則} \\
&=&\frac{1}{0+1} \\
&=&1 \\
&\not=&-1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において左側連続ではありません。したがって、\(f\)は点\(0\)において連続でもありません。
\begin{array}{cc}
-\frac{1}{x+1} & \left( if\ x\geq 0\right) \\
\frac{1}{x+1} & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =-\frac{1}{x+1}\)となります。定数関数\(1\)と恒等関数\(x\)は連続であるため、和の法則より\(x+1\)は連続であり、商の法則より\(\frac{1}{x+1}\)は連続であり、定数倍の法則より\(-\frac{1}{x+1}\)すなわち\(f\)は連続です。\(a<0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =\frac{1}{x+1}\)となります。定数関数\(1\)と恒等関数\(x\)は連続であるため、和の法則より\(x+1\)は連続であり、商の法則より\(\frac{1}{x+1}\)すなわち\(f\)は連続です。点\(0\in \mathbb{R} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{x+1}\right) \quad \because x>0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x+1}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0+}1}{\lim\limits_{x\rightarrow
0+}\left( x+1\right) }\quad \because \text{商の法則}
\\
&=&-\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0+}1}{\lim\limits_{x\rightarrow
0+}x+\lim\limits_{x\rightarrow 0+}1}\quad \because \text{和の法則} \\
&=&-\frac{1}{0+1} \\
&=&-1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x+1}\quad \because x<0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x+1}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0-}1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0-}\left(
x+1\right) }\quad \because \text{商の法則} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0-}1}{\lim\limits_{x\rightarrow
0-}x+\lim\limits_{x\rightarrow 0-}1}\quad \because \text{和の法則} \\
&=&\frac{1}{0+1} \\
&=&1 \\
&\not=&-1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において左側連続ではありません。したがって、\(f\)は点\(0\)において連続でもありません。
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