関数の商の連続性

連続関数の商の連続性

定義域を共有する2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数をゼロで割ることはできないため、関数\(g\)は値として非ゼロをとることに注意してください。関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において連続であるならば、関数\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。

つまり、定義域上の点\(a\)において連続な関数\(f,g\)の商の形をしている関数\(\frac{f}{g}\)が与えられたとき、\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において連続であることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の商の形をしている関数\(\frac{f}{g}\)の連続性を検討する際には、関数の連続性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それぞれが連続であることを確認すればよいということになります。ただし、ここで問題にしている関数\(g\)は非ゼロのみを値としてとる関数である必要があります。

片側連続関数の商の片側連続性

片側連続性についても同様の命題が成り立ちます。