点において収束する関数の商の極限
定義域を共有する2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数をゼロで割ることはできないため、関数\(g\)は値として非ゼロをとることに注意してください。関数\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するとともに\(\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \not=0\)であるならば、関数\(\frac{f}{g}\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、これらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
命題（点において収束する関数の商の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、なおかつ\(\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \not=0\)であるならば、\(\frac{f}{g}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成立する。
a}g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成立する。
つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束する関数\(f,g\)の商の形をしている関数\(\frac{f}{g}\)が与えられたとき、\(\frac{f}{g}\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限と\(g\)の極限の商をとれば\(\frac{f}{g}\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の商の形をしている関数\(\frac{f}{g}\)の収束可能性を検討する際には、関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。
例（点において収束する関数の商の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定数関数\(1\)と恒等関数\(x\)の商として定義されていますが、\(0\)とは異なる点\(a\)を任意に選んだとき、定数関数\(1\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}1=1\in \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たし、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}x=a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}1}{\lim\limits_{x\rightarrow a}x}\quad
\because \text{収束する関数の商の極限} \\
&=&\frac{1}{a}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定数関数\(1\)と恒等関数\(x\)の商として定義されていますが、\(0\)とは異なる点\(a\)を任意に選んだとき、定数関数\(1\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}1=1\in \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たし、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}x=a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}1}{\lim\limits_{x\rightarrow a}x}\quad
\because \text{収束する関数の商の極限} \\
&=&\frac{1}{a}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例（点において収束する関数の商の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2x-1}{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{2x-1}{x^{2}+1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( 2x-1\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( x^{2}+1\right) }\quad \because \text{収束する関数の商の極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( 2x\right)
-\lim\limits_{x\rightarrow a}1}{\lim\limits_{x\rightarrow
a}x^{2}+\lim\limits_{x\rightarrow a}1}\quad \because \text{収束する関数の和・差の極限} \\
&=&\frac{2\lim\limits_{x\rightarrow a}x-\lim\limits_{x\rightarrow a}1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow a}x\right) ^{2}+\lim\limits_{x\rightarrow
a}1}\quad \because \text{収束する関数の定数倍・積の極限} \\
&=&\frac{2a-1}{a^{2}+1}\quad \because \text{定数関数および恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{2x-1}{x^{2}+1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( 2x-1\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( x^{2}+1\right) }\quad \because \text{収束する関数の商の極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( 2x\right)
-\lim\limits_{x\rightarrow a}1}{\lim\limits_{x\rightarrow
a}x^{2}+\lim\limits_{x\rightarrow a}1}\quad \because \text{収束する関数の和・差の極限} \\
&=&\frac{2\lim\limits_{x\rightarrow a}x-\lim\limits_{x\rightarrow a}1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow a}x\right) ^{2}+\lim\limits_{x\rightarrow
a}1}\quad \because \text{収束する関数の定数倍・積の極限} \\
&=&\frac{2a-1}{a^{2}+1}\quad \because \text{定数関数および恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
点において片側収束する関数の商の片側極限
片側極限についても同様の命題が成り立ちます。
命題（点において片側収束する関数の商の片側極限）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束し、なおかつ\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}g\left(x\right) \not=0\)であるならば、\(\frac{f}{g}\)もまた\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束し、それらの右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a+}g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成立する。また、\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束し、なおかつ\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}g\left(x\right) \not=0\)であるならば、\(\frac{f}{g}\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束し、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a-}g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成立する。
a+}g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成立する。また、\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束し、なおかつ\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}g\left(x\right) \not=0\)であるならば、\(\frac{f}{g}\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束し、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a-}g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成立する。
例（点において片側収束する関数の商の片側極限）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x+1}{x-1}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)に注目したとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
\frac{x+1}{x-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\left( x+1\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\left( x-1\right) }\quad \because \text{右側収束する関数の商の右側極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0+}x+\lim\limits_{x\rightarrow 0+}1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0+}x-\lim\limits_{x\rightarrow 0+}1}\quad \because
\text{右側収束する関数の和・差の右側極限} \\
&=&\frac{0+1}{0-1}\quad \because \text{恒等関数および定数関数の右側極限} \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)に注目したとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
\frac{x+1}{x-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\left( x+1\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\left( x-1\right) }\quad \because \text{右側収束する関数の商の右側極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0+}x+\lim\limits_{x\rightarrow 0+}1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0+}x-\lim\limits_{x\rightarrow 0+}1}\quad \because
\text{右側収束する関数の和・差の右側極限} \\
&=&\frac{0+1}{0-1}\quad \because \text{恒等関数および定数関数の右側極限} \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。
無限大において収束する関数の商の極限
無限大において収束する関数についても同様の命題が成り立ちます。
命題（無限大において収束する関数の商の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束し、なおかつ\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left(x\right) \not=0\)であるならば、\(\frac{f}{g}\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成立する。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束し、なおかつ\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right)\not=0\)であるならば、\(\frac{f}{g}\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成立する。
\end{equation*}という関係が成立する。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束し、なおかつ\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right)\not=0\)であるならば、\(\frac{f}{g}\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成立する。
例（無限大において収束する関数の商の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-\frac{2}{3}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-\frac{2}{3}\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\frac{1}{x}}{\frac{2}{x}+3}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{\frac{1}{x}}{\frac{2}{x}+3}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{2}{x}+3\right) }\quad
\because \text{収束する関数の商の極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) }{2\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
+\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }3}\quad \because \text{収束する関数の定数倍・和の極限} \\
&=&\frac{0}{2\cdot 0+3}\quad \because \lim\limits_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{1}{x}\right) =0\text{および定数関数の極限} \\
&=&9
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{\frac{1}{x}}{\frac{2}{x}+3}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{2}{x}+3\right) }\quad
\because \text{収束する関数の商の極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) }{2\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
+\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }3}\quad \because \text{収束する関数の定数倍・和の極限} \\
&=&\frac{0}{2\cdot 0+3}\quad \because \lim\limits_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{1}{x}\right) =0\text{および定数関数の極限} \\
&=&9
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
問題（関数の商の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f,g\)の一方は有限な実数へ収束し、他方は正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)へ発散するとともに、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \not=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。
問題（関数の商の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに限りなく大きい任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f,g\)の一方は有限な実数へ収束し、他方は正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)へ発散するとともに、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) \not=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)の一方は有限な実数へ収束し、他方は正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)へ発散するとともに、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) \not=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right)
=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)の一方は有限な実数へ収束し、他方は正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)へ発散するとともに、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) \not=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right)
=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。
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