点において収束する関数の商の極限
定義域を共有する2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }
\end{equation*}を値として定める新たな関数\begin{equation*}
\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。実数をゼロで割ることはできないため、関数\(g\)は値として非ゼロをとることに注意してください。
関数\(f,g\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に関数\(f,g\)がともに有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、関数\(\frac{f}{g}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。
したがって、何らかの関数\(f,g\)の商の形をしている関数\(\frac{f}{g}\)の収束可能性を検討する際には、関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。
\end{equation*}であるならば、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\frac{f}{g}\)もまた有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。\(0\)とは異なる点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}1}{\lim\limits_{x\rightarrow a}x}\quad
\because \text{商の法則} \\
&=&\frac{1}{a}\quad \because \text{定数関数および恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{2x-1}{x^{2}+1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( 2x-1\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( x^{2}+1\right) }\quad \because \text{商の法則} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( 2x\right)
-\lim\limits_{x\rightarrow a}1}{\lim\limits_{x\rightarrow
a}x^{2}+\lim\limits_{x\rightarrow a}1}\quad \because \text{和の法則、差の法則} \\
&=&\frac{2\lim\limits_{x\rightarrow a}x-\lim\limits_{x\rightarrow a}1}{\left( \lim\limits_{x\rightarrow a}x\right) ^{2}+\lim\limits_{x\rightarrow
a}1}\quad \because \text{定数倍の法則、積の法則} \\
&=&\frac{2a-1}{a^{2}+1}\quad \because \text{定数関数および恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
点において片側収束する関数の商の片側極限
片側極限についても同様の命題が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。
右側極限をとるために、点\(a\in \mathbb{R} \)が以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\}
\end{equation*}の集積点である状況を想定します。\(x\rightarrow a+\)の場合に関数\(f,g\)がともに有限な実数へ右側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}g\left( x\right) \not=0
\end{equation*}であるならば、関数\(\frac{f}{g}\)もまた\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束するとともに、これらの右側極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a+}g\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。
左側極限をとるために、点\(a\in \mathbb{R} \)が以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\}
\end{equation*}の集積点である状況を想定します。\(x\rightarrow a-\)の場合に関数\(f,g\)がともに有限な実数へ左側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}g\left( x\right) \not=0
\end{equation*}であるならば、関数\(\frac{f}{g}\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束するとともに、これらの左側極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a-}g\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。
したがって、何らかの関数\(f,g\)の商の形をしている関数\(fg\)の片側収束可能性を検討する際には、関数の片側収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが片側収束することを確認すればよいということになります。
- 点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点であるものとする。\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f,g\)がともに有限な実数へ右側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}g\left( x\right) \not=0 \end{equation*}であるならば、\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\frac{f}{g}\)もまた有限な実数へ右側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a+}g\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立つ。 - 点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点であるものとする。\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f,g\)がともに有限な実数へ左側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}g\left( x\right) \not=0\end{equation*}であるならば、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\frac{f}{g}\)もまた有限な実数へ左側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a-}g\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立つ。
\begin{array}{cc}
-\frac{1}{x+1} & \left( if\ x>0\right) \\
\frac{1}{x+1} & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{x+1}\right) \quad \because x>0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x+1}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0+}1}{\lim\limits_{x\rightarrow
0+}\left( x+1\right) }\quad \because \text{商の法則}
\\
&=&-\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0+}1}{\lim\limits_{x\rightarrow
0+}x+\lim\limits_{x\rightarrow 0+}1}\quad \because \text{和の法則} \\
&=&-\frac{1}{0+1} \\
&=&-1
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x+1}\quad \because x<0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x+1}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0-}1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0-}\left(
x+1\right) }\quad \because \text{商の法則} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0-}1}{\lim\limits_{x\rightarrow
0-}x+\lim\limits_{x\rightarrow 0-}1}\quad \because \text{和の法則} \\
&=&\frac{1}{0+1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
無限大において収束する関数の商の極限
無限大において収束する関数についても同様の命題が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。
正の無限大における極限をとるために、関数\(f,g\)が以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}を満たす状況を想定します。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に関数\(f,g\)が有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) \not=0
\end{equation*}であるならば、関数\(\frac{f}{g}\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束するとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。
負の無限大における極限をとるために、関数\(f,g\)が以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}を満たす状況を想定します。\(x\rightarrow -\infty \)の場合に関数\(f,g\)が有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) \not=0
\end{equation*}であるならば、関数\(\frac{f}{g}\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束するとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。
- 以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つものとする。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f,g\)がともに有限な実数へ右側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) \not=0
\end{equation*}であるならば、\(x\rightarrow+\infty \)の場合に\(\frac{f}{g}\)もまた有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立つ。 - 以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つものとする。\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)がともに有限な実数へ右側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) \not=0
\end{equation*}であるならば、\(x\rightarrow-\infty \)の場合に\(\frac{f}{g}\)もまた有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{\frac{1}{x}}{\frac{2}{x}+3}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{2}{x}+3\right) }\quad
\because \text{商の法則} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) }{2\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
+\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }3}\quad \because \text{定数倍の法則、和の法則} \\
&=&\frac{0}{2\cdot 0+3}\quad \because \lim\limits_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{1}{x}\right) =0\text{および定数関数の極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)の一方は有限な実数へ収束し、他方は正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)へ発散するとともに、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) \not=0
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right)
=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。
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