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関数の商の極限

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点において収束する関数の商の極限

定義域を共有する2つの関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める新たな関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)において有限な実数へ収束するとともに\(g\)の極限が\(0\)ではない場合、関数\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)について有限な実数へ収束するものとします。つまり、\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに成り立つということです。これは、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とし、なおかつ\(a\)へ収束する任意の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだとき、それに対して数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)と\(\left\{ g\left( x_{n}\right) \right\} \)がそれぞれ有限な実数である\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)と\(\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \)へそれぞれ収束すること、すなわち、\begin{eqnarray}
\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right)
&=&\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \quad\cdots (1) \\
\lim_{n\rightarrow \infty }g\left( x_{n}\right)
&=&\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \quad\cdots (2)
\end{eqnarray}がともに成り立つことと必要十分です。ここで、先の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)と\(\left\{ g\left( x_{n}\right) \right\} \)から新たな数列\(\left\{ \left( \frac{f}{g}\right) \left( x_{n}\right) \right\} \)を、\begin{equation}
\left\{ \left( \frac{f}{g}\right) \left( x_{n}\right) \right\} =\left\{
\frac{f\left( x_{n}\right) }{g\left( x_{n}\right) }\right\} \quad\cdots (3)
\end{equation}を定義します。一般に、収束する数列どうしの商として定義される数列もまた収束するため先の数列\(\left\{ \left( \frac{f}{g}\right) \left( x_{n}\right) \right\} \)は収束し、その極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \left( \frac{f}{g}\right) \left(
x_{n}\right) \right] &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \frac{f\left(
x_{n}\right) }{g\left( x_{n}\right) }\right] \quad \because \left( 3\right)
\\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }g\left( x_{n}\right) }\quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) }\quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上の議論により、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とし、なおかつ\(a\)へ収束する任意の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだとき、それに対して数列\(\left\{ \left( \frac{f}{g}\right) \left( x_{n}\right) \right\} \)が\(\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) }\)へ収束することが示されましたが、これは、関数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です

命題(点において収束する関数の商の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)において有限な実数へ収束するとともに\(\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \not=0\)が成り立つ場合、\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }
\end{equation*}を満たす。
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つまり、点\(a\)において収束する関数\(f,g\)の商の形をしている関数\(\frac{f}{g}\)が与えられたとき、\(\frac{f}{g}\)もまた\(a\)において収束することが保証されるとともに、\(a\)における\(f\)と\(g\)の極限の商をとれば、\(a\)における\(\frac{f}{g}\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の商の形をしている関数\(\frac{f}{g}\)の収束可能性を検討する際には、関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。

例(点において収束する関数の商の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{2x}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。この関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において収束するか否かを検討している状況を想定してください。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&x^{2} \\
h\left( x\right) &=&2x
\end{eqnarray*}を定める関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)に注目すると、任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、仮に\(g\)と\(h\)が\(a\)において収束するならば、先の命題より、\(f\)もまた\(a\)において収束することが保証され、なおかつ、そこでの極限が明らかになります。実際、\(g\)と\(h\)はともに\(a\)において収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&a^{2} \\
\lim_{x\rightarrow a}h\left( x\right) &=&2a
\end{eqnarray*}が成り立つため(確認してください)、先の命題より、\(f\)もまた\(a\)において収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\frac{g\left(
x\right) }{h\left( x\right) } \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) } \\
&=&\frac{a^{2}}{2a} \\
&=&\frac{a}{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

無限大において収束する関数の商の極限

無限大において収束する関数についても同様の命題が成り立ちます(長くなるため証明は「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(無限大において収束する関数の商の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに正の無限大\(+\infty \)において有限な実数へ収束するとともに\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) \not=0\)が成り立つ場合、\(\frac{f}{g}\)もまた\(+\infty \)において有限な実数へ収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}を満たす。また、\(f,g\)がともに負の無限大\(-\infty \)において有限な実数へ収束するとともに\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) \not=0\)が成り立つ場合、\(\frac{f}{g}\)もまた\(-\infty \)において有限な実数へ収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}を満たす。
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例(無限大において収束する関数の商の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-\frac{2}{3}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-\frac{2}{3}\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{\frac{1}{x}}{\frac{2}{x}+3}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。この関数\(f\)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するか否かを検討している状況を想定してください。それぞれの\(x\in \mathbb{R} /\left\{ 0,-\frac{2}{3}\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&\frac{1}{x} \\
h\left( x\right) &=&\frac{2}{x}+3
\end{eqnarray*}を定める関数\(g,h:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-\frac{2}{3}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)に注目すると、任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-\frac{2}{3}\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、仮に\(g\)と\(h\)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するならば、先の命題より、\(f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束することが保証され、なおかつ、そこでの極限が明らかになります。実際、\(g\)と\(h\)はともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow +\infty }h\left( x\right) &=&3
\end{eqnarray*}が成り立つため(確認してください)、先の命題より、\(f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty
}h\left( x\right) } \\
&=&\frac{0}{3} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

点において発散する関数の商の極限

一定の条件のもとでは、点において無限極限に発散するような関数との積についても同様の性質が成り立ちます(長くなるため証明は「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(点において発散する関数の商の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において有限な実数へ収束し、\(g\)が\(a\)において正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば、\(\frac{f}{g}\)の\(a\)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }
\end{equation*}を満たす。
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ただし、上の命題において、有限な実数と無限大どうしの商については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\dfrac{x}{+\infty }=\dfrac{x}{-\infty }=0
\end{equation*}にもとづいて計算を行います。ちなみに、無限大どうしの商である\(\frac{+\infty }{+\infty },\frac{+\infty }{-\infty },\frac{-\infty }{+\infty },\frac{-\infty }{-\infty }\)などはいずれも不定形として定義不可能であるため、例えば、\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty \)などの場合には、上の命題の要領で\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) \)を導出することはできません。

例(点において発散する関数の商の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{3x}{-\frac{1}{2x^{2}}}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。この関数\(f\)が\(x\rightarrow 0\)のときに収束するか否かを検討している状況を想定してください。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&3x \\
h\left( x\right) &=&-\frac{1}{2x^{2}}
\end{eqnarray*}を定める関数\(g,h:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)に注目すると、任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成立します。したがって、\(x\rightarrow 0\)のときの\(g\)と\(h\)の挙動が分かれば、先に提示した命題より、\(x\rightarrow 0\)のときの\(f\)の挙動も明らかになります。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}3x &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow 0}\left( -\frac{1}{2x^{2}}\right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}となるため(確認してください)、先の命題より、\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow
0}3x}{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( -\frac{1}{2x^{2}}\right) } \\
&=&\frac{0}{\left( -\infty \right) } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

 

無限大において発散する関数の商の極限

一定の条件のもとでは、無限大において無限極限に発散するような関数との積についても同様の性質が成り立ちます(長くなるため証明は「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(無限大において発散する関数の商の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が正の無限大\(+\infty \)において有限な実数へ収束し、\(g\)が\(+\infty \)において正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば、\(\frac{f}{g}\)の\(+\infty \)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}を満たす。また、\(f\)が負の無限大\(-\infty \)において有限な実数へ収束し、\(g\)が\(-\infty \)において正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散するならば、\(\frac{f}{g}\)の\(-\infty \)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) }
\end{equation*}を満たす。
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先の命題と同様、この命題においても、有限な実数と無限大どうしの商については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\dfrac{x}{+\infty }=\dfrac{x}{-\infty }=0
\end{equation*}にもとづいて計算を行います。ちなみに、無限大どうしの商である\(\frac{+\infty }{+\infty },\frac{+\infty }{-\infty },\frac{-\infty }{+\infty },\frac{-\infty }{-\infty }\)などはいずれも不定形として定義不可能であるため、例えば、\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty \)などの場合には、上の命題の要領で\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) \)を導出することはできません。

例(無限大において発散する関数の商の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{\frac{1}{x}}{2x}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。この関数\(f\)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するか否かを検討している状況を想定してください。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&\frac{1}{x} \\
h\left( x\right) &=&2x
\end{eqnarray*}を定める関数\(g,h:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)に注目すると、任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成立します。したがって、\(x\rightarrow +\infty \)のときの\(g\)と\(h\)の挙動が分かれば、先に提示した命題より、\(x\rightarrow +\infty \)のときの\(f\)の挙動も明らかになります。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x} &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow +\infty }2x &=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため(確認してください)、先の命題より、\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}}{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }2x} \\
&=&\frac{0}{\left( +\infty \right) } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

 

関数の商の極限

本節では関数の商の極限に関して4通りのケースを考えましたが、得られた4つの命題を一般化すると以下のようになります。

命題(関数の商の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。拡大実数\(a,c\in \mathbb{R} ^{\ast }\)と有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b,\quad \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right) =c
\end{equation*}がともに成り立つ場合、\(\frac{f}{g}\)については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }=\frac{b}{c}
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題において\(a,c\)が拡大実数であるとは、これらは有限の実数にもなり得るし、無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)にもなり得るということです。\(a,c\)がともに有限な実数の場合、この命題は本節において最初に提示した命題になります。また、\(a\)が\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)で\(c\)が有限な実数の場合、この命題は本節において2番目に提示した命題になります。また、\(a\)が有限な実数で\(c\)が\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)である場合、この命題は本節において3番目に提示した命題になります。また、\(a\)が\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)で\(b\)が有限な実数である場合、この命題は本節において4番目に提示した命題になります。このような意味において、この命題は本節における議論の集約です。

本文中でも度々指摘しましたが、関数\(f,g\)がともに無限大に発散する場合には、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) }=\frac{b}{c} \quad\cdots (1)
\end{equation}という関係は成り立ちません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は\begin{equation*}
\frac{+\infty }{+\infty },\ \frac{+\infty }{-\infty },\ \frac{-\infty }{+\infty },\ \frac{-\infty }{-\infty }
\end{equation*}のいずれかとなり、これらは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)において不定形とみなされ定義不可能だからです。関数の極限の商が不定形になる場合の対処法については場を改めて解説します。

次回は収束する関数と順序の関係について解説します。

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