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無理関数

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無理関数

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、自然数ベキ関数\begin{equation}x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定義します。\(n\)が奇数である場合には、\(x^{n}\)は\(\mathbb{R} \)上で狭義単調増加関数になるとともに値域は\(\mathbb{R} \)であるため、\(\left( 1\right) \)は全単射になります。すると、\(\left( 1\right) \)の逆関数が存在することが保証されるとともに、その逆関数もまた狭義単調増加関数になります。そこで、\(\left( 1\right) \)の逆関数を、\begin{equation*}y^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
\sqrt[n]{y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記し、これを無理関数(radical function)と呼びます。逆関数の定義より、順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}y=x^{n} &\Leftrightarrow &x=y^{\frac{1}{n}} \\
&\Leftrightarrow &x=\sqrt[n]{y}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(y^{\frac{1}{n}}\)もしくは\(\sqrt[n]{y}\)とは\(n\)乗すると\(y\)と一致するような実数です。

変数\(x,y\)の記号を入れ替えることにより、\(n\)が奇数である場合の無理関数を、\begin{equation*}x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
\sqrt[n]{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表現することもできます。無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の逆関数は自然数ベキ関数\begin{equation*}y^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるため、逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x=y^{n} &\Leftrightarrow &y=x^{\frac{1}{n}} \\
&\Leftrightarrow &y=\sqrt[n]{x}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(x^{\frac{1}{n}}\)もしくは\(\sqrt[n]{x}\)とは\(n\)乗すると\(x\)と一致するような実数です。

例(無理関数)
\(3\)は奇数であるため、以下の無理関数\begin{equation*}x^{\frac{1}{3}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

図:無理関数
図:無理関数

無理関数の定義より、無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)は自然数ベキ関数\begin{equation*}y^{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}の逆関数であるため、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}y=x^{\frac{1}{3}}\Leftrightarrow x=y^{3}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
27^{\frac{1}{3}} &=&3\quad \because 3^{3}=3 \\
0^{\frac{1}{3}} &=&0\quad \because 0^{3}=0 \\
\left( -27\right) ^{\frac{1}{3}} &=&-3\quad \because \left( -3\right)
^{3}=-27
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

繰り返しになりますが、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(n\)が偶数である場合には、\(x^{n}\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で狭義単調増加関数になるとともに、その範囲における\(x^{n}\)の値域は\(\mathbb{R} _{+}\)となるため、\(x^{n}\)の定義域と値域を制限して、\begin{equation}x^{n}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+} \quad \cdots (1)
\end{equation}とすれば、\(\left( 1\right) \)は全単射になります。すると、\(\left( 1\right) \)の逆関数が存在することが保証されるとともに、その逆関数もまた狭義単調増加関数になります。そこで、\(\left(1\right) \)の逆関数を、\begin{equation*}y^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
\sqrt[n]{y}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}で表記し、これを無理関数と呼びます。逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}\times \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}y=x^{n} &\Leftrightarrow &x=y^{\frac{1}{n}} \\
&\Leftrightarrow &x=\sqrt[n]{y}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(y^{\frac{1}{n}}\)もしくは\(\sqrt[n]{y}\)とは\(n\)乗すると\(y\)と一致するような非負の正の実数です。

変数\(x,y\)の記号を入れ替えることにより、\(n\)が偶数である場合の無理関数を、\begin{equation*}x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
\sqrt[n]{x}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}と表現することもできます。無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の逆関数は自然数ベキ関数\begin{equation*}y^{n}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}であるため、逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}\times \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x=y^{n} &\Leftrightarrow &y=x^{\frac{1}{n}} \\
&\Leftrightarrow &y=\sqrt[n]{x}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。つまり、\(x^{\frac{1}{n}}\)もしくは\(\sqrt[n]{x}\)とは\(n\)乗すると\(x\)と一致するような非負の実数です。

例(無理関数)
\(2\)は偶数であるため、以下の無理関数\begin{equation*}x^{\frac{1}{2}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

図:無理関数
図:無理関数

無理関数の定義より、無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)は自然数ベキ関数\begin{equation*}y^{2}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}の逆関数であるため、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}y=x^{\frac{1}{2}}\Leftrightarrow x=y^{2}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
16^{\frac{1}{2}} &=&4\quad \because 4^{2}=16 \\
4^{\frac{1}{2}} &=&2\quad \because 2^{2}=4 \\
1^{\frac{1}{2}} &=&1\quad \because 1^{2}=1 \\
0^{\frac{1}{2}} &=&0\quad \because 0^{2}=0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

無理関数との合成関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。また、無理関数を\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。\(g\left( x\right)=x^{\frac{1}{n}}\)かつ\(n\in \mathbb{N} \)です。\(n\)が奇数である場合の\(g\)の定義域は\(Y=\mathbb{R} \)であり、\(n\)が偶数である場合の\(g\)の定義域は\(Y=\mathbb{R} _{+}\)です。あり、\(n\)が奇数の場合の\(g\)の定義域は\(Y=\mathbb{R} \)です。以上を踏まえた上で、関数\(f\)の値域と無理関数\(g\)の定義域\(Y\)の間に、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{1}{n}}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\sqrt[n]{f\left( x\right) }
\end{eqnarray*}を定めます。

例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{m}x^{m}
\end{equation*}で表されるということです。先の議論より、奇数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\left( c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{m}x^{m}\right) ^{\frac{1}{n}}
\end{eqnarray*}を値として定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは多項式関数\(f\left( x\right) \)と無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-3x+1\right) ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は非負の実数を値としてとる多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{m}x^{m}\geq 0
\end{equation*}で表されるということです。先の議論より、偶数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\left( c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{m}x^{m}\right) ^{\frac{1}{n}}
\end{eqnarray*}を値として定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは多項式関数\(f\left( x\right) \)と無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 2x^{2}+x+9\right) ^{\frac{1}{4}}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 3x-4\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。これは多項式関数\(3x-4\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数です。\(2\)は偶数であるため\(x^{\frac{1}{2}}\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、したがって関数\(f\)の定義域となり得る最大の集合は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 3x-4\geq 0\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\geq \frac{4}{3}\right\} \\
&=&\left[ \frac{4}{3},+\infty \right)
\end{eqnarray*}となります。

例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)はともに多項式関数であるものとします。先の議論より、奇数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\left[ \frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\right] ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}を定める関数\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは有理関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)と無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)はともに多項式関数であるとともに、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\geq 0
\end{equation*}が成り立つものとします。先の議論より、偶数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\left[ \frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\right] ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}を定める関数\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは有理関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)と無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{x^{2}+1}{\left( x+1\right) ^{2}}\right] ^{\frac{1}{4}}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{4}{x+3}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。これは有理関数\(\frac{4}{x+3}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数です。\(2\)は偶数であるため\(x^{\frac{1}{2}}\)の定義域は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、したがって関数\(f\)の定義域となり得る最大の集合は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{4}{x+3}\geq 0\wedge x\not=-3\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x>-3\right\} \\
&=&\left( -3,+\infty \right)
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x-1\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -x-1\right) ^{\frac{1}{7}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-1\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}+10\right) ^{\frac{1}{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{\left( x+2\right) \left( x-3\right) }{x-1}\right] ^{\frac{1}{4}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
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次回は指数が有理数であるようなベキ関数について学びます。

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