次数が自然数の逆数であるようなベキ関数を無理関数と呼びます。無理関数は定義域上で連続です。この事実を利用すると、無理関数との合成関数として表される関数の連続性を容易に示すことができます。

無理関数

指数が自然数\(n\)であるようなベキ関数\(f\left( x\right) =x^{n}\)の定義域を\(\mathbb{R} _{+}\)に制限した関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}\)について考えます。すでに示したように、自然数ベキ関数\(x^{n}\)は\(\mathbb{R} \)上で連続であるため、その部分集合である\(\mathbb{R} _{+}\)上でも連続です。また、この\(f\)は明らかに\(\mathbb{R} _{+}\)において狭義単調増加な関数です。したがって、\(f\)の終集合を値域\(f\left( \mathbb{R}_{+}\right) =\mathbb{R} _{+}\)に制限して\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)とすれば、その逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)が存在します。そこで、この逆関数\(f^{-1}\)がそれぞれの\(y\in \mathbb{R}_{+}\)に対して定める像\(f^{-1}\left( y\right) \)を\(\sqrt[n]{y}\)または\(y^{\frac{1}{n}}\)で表記します。つまり、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}_{+}\times \mathbb{R}_{+}\)に対して、\begin{equation*}
y=x^{n}\Leftrightarrow x=y^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

自然数ベキ関数について復習する 逆関数について復習する

こうして得た逆関数\(f^{-1}\left( y\right) =y^{\frac{1}{n}}\)の独立変数を\(y\)から\(x\)に書き換えて得られる関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)を、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}で表し、これを無理関数(radical function)と呼びます。無理関数は指数が自然数の逆数であるようなベキ関数です。定義より、無理関数の逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)は自然数ベキ関数であり、それぞれの\(y\in \mathbb{R}_{+}\)に対して\(f^{-1}\left( y\right) =y^{n}\)を定めます。さらに、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}_{+}\times \mathbb{R}_{+}\)に対して、\begin{equation*}
y=x^{\frac{1}{n}}\Leftrightarrow x=y^{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

例(無理関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は無理数関数です。\(f\left( \mathbb{R}_{+}\right) =\mathbb{R} _{+}\)であり、その逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)はそれぞれの\(y\in \mathbb{R}_{+}\)に対して\(f^{-1}\left( y\right) =y^{3}\)を定めます。

 

無理関数の連続性

復習になりますが、一般に、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow f\left( I\right) \)が連続な狭義単調増加関数であるならば、その逆関数\(f^{-1}:f\left( I\right) \rightarrow X\)が存在して、\(f^{-1}\)もまた連続な狭義単調増加関数となります。

狭義単調な連続関数の逆関数について復習する

無理関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)は自然数\(n\)を用いて\(f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}\)と定義されますが、その逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\)は自然数ベキ関数\(f^{-1}\left( y\right) =y^{n}\)です。すでに示したように、この\(f^{-1}\)を含む自然数ベキ関数はいずれも連続な狭義単調増加関数であるため、その逆関数である\(f\)もまた連続な狭義単調増加となります。

命題(無理関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}\)が無理数関数であるものとする。つまり、それぞれの\(x\in \mathbb{R}_{+}\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}として表されるものとする。この\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続である。
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例(無理関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}_{+}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は無理数関数です。したがって、この\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続です。以下にこの関数のグラフを描きました。
図:無理関数のグラフ
図:無理関数のグラフ

 

無理関数の極限

無理関数\(f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}\)は定義域\(\mathbb{R} _{+}\)上の任意の点において連続であることが示されました。したがって、連続性の定義より、定義域上の点\(\alpha \in \mathbb{R}_{+}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =f\left( \alpha \right) =\alpha
^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}を満たします。

命題(無理関数の極限)
数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}\)が無理数関数であるものとする。つまり、それぞれの\(x\in \mathbb{R}_{+}\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}として表されるものとする。この\(f\)は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}_{+}\)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\alpha ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}となる。
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例(無理関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}_{+}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{\frac{1}{7}}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上の任意の点\(\alpha \)において\(\alpha ^{\frac{1}{7}}\)に収束します。

 

無理関数との合成関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を任意に選びます。ただし、\(X=\{x\in X\ |\ f\left( x\right) \geq 0\}\)です。また、\(g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R}\)を無理関数とします。つまり、\(g\left( x\right) =x^{\frac{1}{n}}\)です。\(f\)の値域\(f\left( X\right) \)は\(g\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)の部分集合であるため、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義可能です。この合成関数\(g\circ f\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{1}{n}}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を値として定めます。ただし、\(n\)は正の整数です。

関数\(f\)が点\(\alpha \)において収束するものとします。無理関数\(g\)は定義域\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるため、点\(f\left( \alpha \right) \)においても連続です。したがって、合成関数の極限に関する命題より、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&g\left( \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right) \quad
\because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{\frac{1}{n}}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。

命題(無理関数との合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を任意に選ぶ。\(X=\{x\in X\ |\ f\left( x\right) \geq 0\}\)である。このとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を考える。ただし、\(n\)は正の整数である。\(f\)が点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において収束するならば、\(g\)もまた\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) =\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}となる。
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関数\(f\)が点\(\alpha \in X\)において収束するだけでなく、連続であるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) &=&\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{\frac{1}{n}}\quad \because
\text{上の命題} \\
&=&\left[ f\left( \alpha \right) \right] ^{\frac{1}{n}}\quad \because f\text{の連続性} \\
&=&g\left( \alpha \right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は\(\alpha \)において連続です。ただし、\(\alpha \)が\(X\)の内点ではなく境界点である場合には、連続性の代わりに片側連続性を採用します。

命題(無理関数との合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を任意に選ぶ。\(X=\{x\in X\ |\ f\left( x\right) \geq 0\}\)である。このとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を考える。\(f\)が点\(\alpha \in X\)において連続ならば、\(g\)もまた\(\alpha \)において連続である。
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例(単項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(m,n\)と実数\(c\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( cx^{n}\right) ^{\frac{1}{m}}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\{x\in \mathbb{R}\ |\ cx^{n}\geq 0\}
\end{equation*}です。これは単項式関数\(cx^{n}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{m}}\)の合成関数です。単項式関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において収束するだけでなく連続でもあるため、上の命題より、この関数\(f\)は\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。ちなみに、それぞれの点\(\alpha \in X\)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( cx^{n}\right) ^{\frac{1}{m}}=\left( c\alpha ^{n}\right) ^{\frac{1}{m}}=f\left( \alpha \right)
\end{equation*}を満たします。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( 2x^{2}\right) ^{\frac{1}{5}}
\end{equation*}は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}\backslash \{0\}\)において、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( 2x^{2}\right) ^{\frac{1}{5}}=\left( 2\alpha ^{2}\right) ^{\frac{1}{5}}=f\left( \alpha \right)
\end{equation*}を満たします。
単項式関数について復習する
例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(m,n\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\frac{1}{m}} \\
&=&\left( c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}\right) ^{\frac{1}{m}}
\end{eqnarray*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R}\ |\ \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\geq 0\right\}
\end{equation*}です。これは多項式関数\(\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)と無理関数\(x^{\frac{1}{m}}\)の合成関数です。多項式関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において収束するだけでなく連続でもあるため、上の命題より、この関数\(f\)は\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。ちなみに、それぞれの点\(\alpha \in X\)における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\frac{1}{m}} \\
&=&\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}\alpha ^{k}\right) ^{\frac{1}{m}} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{\frac{1}{5}}
\end{equation*}は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{\frac{1}{5}} \\
&=&\left( \sqrt{2}\alpha ^{4}+2\alpha ^{2}+1\right) ^{\frac{1}{5}} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。
多項式関数について復習する
例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)と多項式関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R}\ |\ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }>0\right\}
\end{equation*}です。これは有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)と無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の合成関数です。有理関数は定義域\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく連続でもあるため、上の命題より、この関数\(f\)もまた\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。ちなみに、それぞれの点\(\alpha \in X\)における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha }
\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\left[ \frac{g\left( \alpha \right) }{h\left( \alpha \right) }\right] ^{\frac{1}{n}} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( \frac{x^{2}+7}{x-5}\right) ^{\frac{1}{5}}
\end{equation*}は任意の点\(\alpha \in (5,+\infty )\)において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( \frac{x^{2}+7}{x-5}\right) ^{\frac{1}{5}} \\
&=&\left( \frac{\alpha ^{2}+7}{\alpha -5}\right) ^{\frac{1}{5}} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。
有理関数について復習する

次回は有理ベキ関数について学びます。

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