無理関数の定義と具体例

無理関数

実数\(a\in \mathbb{R} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(n\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}
\end{equation*}と定義した上で、これが指数法則などの性質を満たすことを示しました。

以上を踏まえると、指数\(n\in \mathbb{N} \)を固定した上で底\(x\in \mathbb{R} \)を変数とみなすことにより、全区間上に関数\begin{equation*}x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを自然数ベキ関数と呼びました。以降では、指数\(n\)の偶奇によって場合を分けて議論を行います。

指数\(n\)が奇数である場合の自然数ベキ関数\begin{equation}x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}は定義域\(\mathbb{R} \)上において狭義単調増加関数であるとともに値域は\(\mathbb{R} \)であるため、\(\left( 1\right) \)は全単射です。全単射には逆関数が存在するため、\(\left( 1\right) \)の逆関数を、\begin{equation*}y^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}または、\begin{equation*}
\sqrt[n]{y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記し、これを無理関数（radical function）と呼びます。逆関数の定義より、順序対\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}y=x^{n} &\Leftrightarrow &x=y^{\frac{1}{n}} \\
&\Leftrightarrow &x=\sqrt[n]{y}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。逆関数は全単射であるため、無理関数\(\sqrt[n]{y}\)は全単射です。

2つの変数\(x,y\)の記号を入れ替えることにより、\(n\)が奇数である場合の無理関数を、\begin{equation*}x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
\sqrt[n]{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記することもできます。この場合、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の逆関数である自然数ベキ関数は、\begin{equation*}y^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記されます。逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}x=y^{n} &\Leftrightarrow &y=x^{\frac{1}{n}} \\
&\Leftrightarrow &y=\sqrt[n]{x}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(x^{\frac{1}{n}}\)とは\(n\)乗すると\(x\)になるような実数です。

例（無理関数）

\(3\)は奇数であるような自然数であるため、以下の無理関数\begin{equation*}x^{\frac{1}{3}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)の逆関数は自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x=y^{3}\Leftrightarrow y=x^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
27^{\frac{1}{3}} &=&3\quad \because 3^{3}=3 \\
0^{\frac{1}{3}} &=&0\quad \because 0^{3}=0 \\
\left( -27\right) ^{\frac{1}{3}} &=&-3\quad \because \left( -3\right)
^{3}=-27
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

指数\(n\)が偶数である場合の自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は\(\mathbb{R} _{+}\)上において狭義単調増加関数であるとともに、変数\(x\)がとり得る範囲を\(\mathbb{R} _{+}\)に制限した場合の\(x^{n}\)の値域は\(\mathbb{R} _{+}\)となるため、\(x^{n}\)の定義域と終集合を制限して、\begin{equation}x^{n}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+} \quad \cdots (1)
\end{equation}とすれば、これは全単射になります。全単射には逆関数が存在するため、\(\left( 1\right) \)の逆関数を、\begin{equation*}y^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
\sqrt[n]{y}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}で表記し、これを無理関数と呼びます。逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}\times \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}y=x^{n} &\Leftrightarrow &x=y^{\frac{1}{n}} \\
&\Leftrightarrow &x=\sqrt[n]{y}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。逆関数は全単射であるため、無理関数\(\sqrt[n]{y}\)は全単射です。

2つの変数\(x,y\)の記号を入れ替えることにより、\(n\)が偶数である場合の無理関数を、\begin{equation*}x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
\sqrt[n]{x}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}と表記することもできます。この場合、無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の逆関数である自然数ベキ関数は、\begin{equation*}y^{n}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}と表記されます。逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}\times \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}x=y^{n} &\Leftrightarrow &y=x^{\frac{1}{n}} \\
&\Leftrightarrow &y=\sqrt[n]{x}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\(x^{\frac{1}{n}}\)とは\(n\)乗すると\(x\)になるような実数です。

例（無理関数）

\(2\)は偶数であるような自然数であるため、以下の無理関数\begin{equation*}x^{\frac{1}{2}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の逆関数は自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{2}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}です。逆関数の定義より、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}\times \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x=y^{2}\Leftrightarrow y=x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
16^{\frac{1}{2}} &=&4\quad \because 4^{2}=16 \\
4^{\frac{1}{2}} &=&2\quad \because 2^{2}=4 \\
1^{\frac{1}{2}} &=&1\quad \because 1^{2}=1 \\
0^{\frac{1}{2}} &=&0\quad \because 0^{2}=0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

無理関数の定義域と値域

無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)の定義域と値域は\(n\)の偶奇によって以下のように定まります。

無理関数は狭義の単調増加関数

無理関数は狭義の単調増加関数です。

例（無理関数）

無理関数\(x^{\frac{1}{3}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(x^{\frac{1}{3}}\)の指数の分母\(3\)は奇数であるため、\(x^{\frac{1}{3}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} \)であるとともに、\(\mathbb{R} \)上において\(x^{\frac{1}{3}}\)は狭義単調増加関数です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例（無理関数）

無理関数\(x^{\frac{1}{2}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のグラフは以下の通りです。

この関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の指数の分母\(2\)は偶数であるため、\(x^{\frac{1}{2}}\)の定義域と値域はともに\(\mathbb{R} _{+}\)であるとともに、\(\mathbb{R} _{+}\)上において\(x^{\frac{1}{2}}\)は狭義単調増加関数です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

無理関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、無理関数\begin{equation*}x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)の値域が\(x^{\frac{1}{n}}\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
x^{\frac{1}{n}}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( x^{\frac{1}{n}}\circ f\right) \left( x\right) =\left[ f\left(
x\right) \right] ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}を値として定めます。

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、無理関数\begin{equation*}x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(x^{\frac{1}{n}}\)の値域が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\left( x^{\frac{1}{n}}\right) \left( Y\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ x^{\frac{1}{n}}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in Y\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ x^{\frac{1}{n}}\right) \left( x\right) =f\left( x^{\frac{1}{n}}\right)
\end{equation*}を定めます。

演習問題