関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において連続であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において連続である。

関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)から関数\(f+g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに連続関数であるものとします。つまり、\(f,g\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であるということです。すると先の命題より\(f+g\)もまた点\(a\)において連続であるため、\(f+g\)もまた連続関数です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍（\(2\)倍）と定数関数\(1\)の和として定義されています。恒等関数は連続であるため、定数倍の法則より\(2x\)は連続です。また、定数関数\(1\)は連続です。したがって先の命題より\(2x+1\)すなわち\(f\)は連続関数です。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において右側連続である。また、\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において左側連続であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において左側連続である。

関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)から関数\(f+g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに右側連続関数であるものとします。つまり、\(f,g\)はともに任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において右側連続であるということです。すると先の命題より\(f+g\)もまた点\(a\)において右側連続であるため、\(f+g\)もまた右側連続関数です。同様に、\(f,g\)がともに左側連続であるならば\(f+g\)もまた左側連続関数です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-x+1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
x+1 & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =-x+1\)となります。恒等関数\(x\)は連続であり、定数倍の法則より\(-x\)は連続であり、和の法則より\(-x+1\)すなわち\(f\)は連続です。\(a<0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =x+1\)となります。恒等関数\(x\)は連続であり、和の法則より\(x+1\)すなわち\(f\)は連続です。点\(0\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
-x+1\right) \quad \because x>0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -x\right) +\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad
\because \text{和の法則} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow 0+}x+\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-0+1\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため\(f\)は点\(0\)において右側連続であり、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\left(
x+1\right) \quad \because x<0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0-}x+\lim_{x\rightarrow 0-}1\quad \because \text{和の法則} \\
&=&0+1\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため\(f\)は点\(0\)において左側連続です。さらに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right) =f\left( 0\right)
\end{equation*}であるため\(f\)は点\(0\)において連続です。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)から関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f+g\)が連続関数である場合、\(f\)と\(g\)の少なくとも一方が連続であると言えるでしょうか。議論してください。

有限\(n\)個の関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f_{1}+\cdots +f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。ただし、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f_{1}+\cdots +f_{n}\right) \left( x\right) =f_{1}\left( x\right)
+\cdots +f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)がいずれも連続関数である場合、関数\(f_{1}+\cdots +f_{n}\)もまた連続であることを証明してください。

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において連続であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において連続です。本文中では関数の極限を用いて以上の命題を証明しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。