連続関数の和の連続性
定義域を共有する2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において連続であるならば、関数\(f+g\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。
したがって、何らかの関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)の連続性を検討する際には、関数の連続性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それぞれが連続であることを確認すればよいということになります。
命題(点において連続な関数の和の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において連続であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において連続である。
例(連続関数の和の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)から関数\(f+g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに連続関数であるものとします。つまり、\(f,g\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であるということです。すると先の命題より\(f+g\)もまた点\(a\)において連続であるため、\(f+g\)もまた連続関数です。
例(連続関数の和の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(2\)倍)と定数関数\(1\)の和として定義されています。恒等関数は連続であるため、定数倍の法則より\(2x\)は連続です。また、定数関数\(1\)は連続です。したがって先の命題より\(2x+1\)すなわち\(f\)は連続関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(2\)倍)と定数関数\(1\)の和として定義されています。恒等関数は連続であるため、定数倍の法則より\(2x\)は連続です。また、定数関数\(1\)は連続です。したがって先の命題より\(2x+1\)すなわち\(f\)は連続関数です。
片側連続関数の和の片側連続性
片側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます。
命題(点において片側連続な関数の和の片側連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において右側連続である。また、\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において左側連続であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において左側連続である。
例(片側連続関数の和の片側連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)から関数\(f+g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに右側連続関数であるものとします。つまり、\(f,g\)はともに任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において右側連続であるということです。すると先の命題より\(f+g\)もまた点\(a\)において右側連続であるため、\(f+g\)もまた右側連続関数です。同様に、\(f,g\)がともに左側連続であるならば\(f+g\)もまた左側連続関数です。
例(片側連続関数の和の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-x+1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
x+1 & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =-x+1\)となります。恒等関数\(x\)は連続であり、定数倍の法則より\(-x\)は連続であり、和の法則より\(-x+1\)すなわち\(f\)は連続です。\(a<0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =x+1\)となります。恒等関数\(x\)は連続であり、和の法則より\(x+1\)すなわち\(f\)は連続です。点\(0\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
-x+1\right) \quad \because x>0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -x\right) +\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad
\because \text{和の法則} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow 0+}x+\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-0+1\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため\(f\)は点\(0\)において右側連続であり、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\left(
x+1\right) \quad \because x<0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0-}x+\lim_{x\rightarrow 0-}1\quad \because \text{和の法則} \\
&=&0+1\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため\(f\)は点\(0\)において左側連続です。さらに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right) =f\left( 0\right)
\end{equation*}であるため\(f\)は点\(0\)において連続です。
\begin{array}{cc}
-x+1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
x+1 & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =-x+1\)となります。恒等関数\(x\)は連続であり、定数倍の法則より\(-x\)は連続であり、和の法則より\(-x+1\)すなわち\(f\)は連続です。\(a<0\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =x+1\)となります。恒等関数\(x\)は連続であり、和の法則より\(x+1\)すなわち\(f\)は連続です。点\(0\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
-x+1\right) \quad \because x>0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -x\right) +\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad
\because \text{和の法則} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow 0+}x+\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-0+1\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため\(f\)は点\(0\)において右側連続であり、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\left(
x+1\right) \quad \because x<0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0-}x+\lim_{x\rightarrow 0-}1\quad \because \text{和の法則} \\
&=&0+1\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&1 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため\(f\)は点\(0\)において左側連続です。さらに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right) =f\left( 0\right)
\end{equation*}であるため\(f\)は点\(0\)において連続です。
演習問題
問題(関数の和の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)から関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f+g\)が連続関数である場合、\(f\)と\(g\)の少なくとも一方が連続であると言えるでしょうか。議論してください。
問題(関数の和の連続性)
有限\(n\)個の関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f_{1}+\cdots +f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。ただし、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f_{1}+\cdots +f_{n}\right) \left( x\right) =f_{1}\left( x\right)
+\cdots +f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)がいずれも連続関数である場合、関数\(f_{1}+\cdots +f_{n}\)もまた連続であることを証明してください。
+\cdots +f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)がいずれも連続関数である場合、関数\(f_{1}+\cdots +f_{n}\)もまた連続であることを証明してください。
問題(イプシロン・デルタ論法と和の法則)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)において連続であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において連続です。本文中では関数の極限を用いて以上の命題を証明しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
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