教材一覧
教材一覧
教材検索
FUNCTION

関数の和の連続性

目次

< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

連続関数の和の連続性

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において連続であるならば、関数\(f+g\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(点において連続な関数の和の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されており、なおかつ点\(a\)において連続であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において連続である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

つまり、定義域上の点\(a\)において連続な関数\(f+g\)の和の形をしている関数\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)の連続性を検討する際には、関数の連続性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それぞれが連続であることを確認すればよいということになります。

例(連続関数の和の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)から関数\(f+g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに連続関数であるものとします。つまり、\(f,g\)は任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であるということです。すると先の命題より\(f+g\)もまた点\(a\)において連続であるため、\(f+g\)もまた連続関数です。
例(連続関数の和の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1+2x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定数関数\(1\)と恒等関数\(x\)の定数倍(\(2\)倍)の和として定義されています。定数関数\(1\)と恒等関数の定数倍\(2x\)はともに\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)上で連続です。つまり、\(\mathbb{R} \)の任意の点において\(1\)と\(2x\)はともに連続です。したがって、先の命題より、\(f\)もまた\(\mathbb{R} \)の任意の点において連続です。つまり、\(f\)もまた連続関数です。

 

片側連続関数の和の片側連続性

片側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(点において片側連続な関数の和の片側連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)およびそれ以上の周辺の任意の点において定義されており、なおかつ点\(a\)において右側連続であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において右側連続である。また、\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)およびそれ以下の周辺の任意の点において定義されており、なおかつ点\(a\)において左側連続であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において左側連続である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(片側連続関数の和の片側連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)から関数\(f+g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに右側連続関数であるものとします。つまり、\(f,g\)はともに任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において右側連続であるということです。すると先の命題より\(f+g\)もまた点\(a\)において右側連続であるため、\(f+g\)もまた右側連続関数です。同様に、\(f,g\)がともに左側連続であるならば\(f+g\)もまた左側連続関数です。
例(片側連続関数の和の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{x}{\pi }+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(-\frac{1}{\pi }\)倍)と定数関数\(1\)の和として定義されています。恒等関数の定数倍\(-\frac{x}{\pi }\)と定数関数\(1\)はともに\(f\)の定義域\(\left[ 0,1\right] \)上で連続です。つまり、端点\(0\)において右側連続であり、もう一方の端点\(1\)において左側連続であり、内部\(\left( 0,1\right) \)の任意の点において連続です。したがって、先に示した2つの命題より、\(f\)は点\(0\)において右側連続であり、点\(1\)において左側連続であり、内部\(\left( 0,1\right) \)の任意の点において連続です。つまり、\(f\)もまた\(\left[ 0,1\right] \)上で連続です。

 

演習問題

問題(関数の和の連続性)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)から関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f+g\)が連続関数である場合、\(f\)と\(g\)の少なくとも一方が連続であると言えるでしょうか。議論してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(関数の和の連続性)
有限\(n\)個の関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f_{1}+\cdots +f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。ただし、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f_{1}+\cdots +f_{n}\right) \left( x\right) =f_{1}\left( x\right)
+\cdots +f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。関数\(f_{1},\cdots ,f_{n}\)がいずれも連続関数である場合、関数\(f_{1}+\cdots +f_{n}\)もまた連続であることを証明してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

次回は連続な関数の差として定義される関数が連続であることを示します。

< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

関数の和
関数の和の微分

微分可能な関数どうしの和として定義される関数もまた微分可能です。

関数の和
関数の和の高階微分

高階微分可能な関数どうしの和として定義される関数もまた高階微分であるとともに、その高階微分係数はもとの関数の高階微分係数の和と一致します。

関数の和
関数の和の極限

収束する関数どうしの和として得られる関数もまた収束し、新たな関数の極限はもとの関数の極限の和になります。また、このような関係は無限極限に関しても拡張可能です。

関数