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関数の和の極限

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点において収束する関数の和の極限

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するならば、関数\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、これらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(点において収束する関数の和の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。

証明

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つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束する関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限と\(g\)の極限の和をとれば\(f+g\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)の収束可能性を検討する際には、関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。

例(点において収束する関数の和の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x+1
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(2\)倍)と定数関数\(1\)の和として定義されていますが、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}x=a \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たし、定数関数\(1\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}1=1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たします。以上より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
2x+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}\left( 2x\right) +\lim_{x\rightarrow a}1\quad
\because \text{収束する関数の和の極限} \\
&=&2\lim_{x\rightarrow a}x+\lim_{x\rightarrow a}1\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&2a+1\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

点において片側収束する関数の和の片側極限

片側極限についても同様の命題が成り立ちます。

命題(点において片側収束する関数の和の片側極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ収束し、それらの右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a+}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。また、\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ収束し、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a-}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。

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例(点において片側収束する関数の和の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{x}{2}+\pi
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(-\frac{1}{2}\)倍)と定数関数\(\pi \)の和と阿して定義されています。定義域の端点\(0\)に注目したとき、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}x=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たし、定数関数\(\pi \)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}\pi =\pi \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たします。以上より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -\frac{x}{2}+\pi \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -\frac{x}{2}\right) +\lim_{x\rightarrow
0+}\pi \quad \because \text{右側収束する関数の和の右側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0+}x+\lim_{x\rightarrow 0+}\pi \quad
\because \text{右側収束する関数の定数倍の右側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 0+\pi \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\\
&=&\pi
\end{eqnarray*}が成り立ちます。定義域のもう一方の端点\(1\)に注目したとき、恒等関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 1-}x=1 \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たし、定数関数\(\pi \)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 1-}\pi =\pi \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たします。以上より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1-}\left( -\frac{x}{2}+\pi \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1-}\left( -\frac{x}{2}\right) +\lim_{x\rightarrow
1-}\pi \quad \because \text{左側収束する関数の和の左側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 1-}x+\lim_{x\rightarrow 1-}\pi \quad
\because \text{左側収束する関数の定数倍の左側極限} \\
&=&-\frac{1}{2}\cdot 1+\pi \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\\
&=&-\frac{1}{2}+\pi
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

無限大において収束する関数の和の極限

無限大において収束する関数についても同様の命題が成り立ちます。

命題(無限大において収束する関数の和の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数へ収束するならば、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow+\infty \)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow +\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数へ収束するならば、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow -\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成立する。

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例(無限大において収束する関数の和の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれ\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\pi }{x}+\frac{2}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。関数\(\frac{1}{x}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{x}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たし、関数\(\frac{1}{x^{2}}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty
}\left( \frac{\pi }{x}+\frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow \infty }\left( \frac{\pi }{x}\right)
+\lim_{x\rightarrow \infty }\left( \frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because
\text{無限大において収束する関数の和} \\
&=&\pi \lim_{x\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{x}\right)
+2\lim_{x\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because
\text{無限大において収束する関数の定数倍} \\
&=&\pi \cdot 0+2\cdot 0\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、関数\(\frac{1}{x}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right) =0 \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たし、関数\(\frac{1}{x^{2}}\)は、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) =0 \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たすため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( \frac{\pi }{x}+\frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{\pi }{x}\right)
+\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because
\text{無限大において収束する関数の和} \\
&=&\pi \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
+2\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because
\text{無限大において収束する関数の定数倍} \\
&=&\pi \cdot 0+2\cdot 0\quad \because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

点において発散する関数の和の極限

関数\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているものとします。\(x\rightarrow a\)の場合に\(f,g\)がともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する場合や、ともに負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、関数\(f+g\)の極限に関して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) &=&+\infty
\\
\left( b\right) \ \left( -\infty \right) +\left( -\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}が前提になっています。

命題(点において発散する関数の和の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(f,g\)がともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する場合や、\(f,g\)がともに負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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例(点において発散する関数の和の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているものとします。点\(0\)に注目したとき、関数\(\frac{1}{x}\)に関しては、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}\right) =+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、関数\(\frac{1}{x^{2}}\)に関しては、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x^{2}}\right) =+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}\right) +\lim_{x\rightarrow
0}\left( \frac{2}{x^{2}}\right) \quad \because +\infty \text{へ発散する関数の和の極限} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}\right) +2\lim_{x\rightarrow
0}\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because +\infty \text{へ発散する関数の定数倍の極限} \\
&=&\left( +\infty \right) +2\cdot \left( +\infty \right) \quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。

ちなみに、関数\(f,g\)の一方が\(x\rightarrow a\)のときに正の無限大\(+\infty \)へ発散し、他方が負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は、\begin{eqnarray*}&&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right) \\
&&\left( -\infty \right) +\left( +\infty \right)
\end{eqnarray*}のいずれかになりますが、これらは拡大実数系において不定形とみなされ定義不可能です。ただ、このような場合においても、関数の和が有限な実数へ収束しないとは限りません。関数の極限の和が不定形である場合でも、その関数を変形してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。詳細は場を改めて解説します。

 

無限大において発散する関数の和の極限

無限大において発散するような関数についても同様の命題が成り立ちます。

命題(無限大において発散する関数の和の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f,g\)がともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する場合や、\(f,g\)がともに負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow +\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)がともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する場合や、\(f,g\)がともに負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow -\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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例(無限大において発散する関数の和の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}+2x
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(x^{2}\)に関しては、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \infty }x^{2}=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、関数\(x\)に関しては、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \infty }x=+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \infty
}\left( x^{2}+2x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow \infty }x^{2}+\lim_{x\rightarrow \infty }\left(
2x\right) \quad \because +\infty \text{へ発散する関数の和の極限} \\
&=&\lim_{x\rightarrow \infty }x^{2}+2\lim_{x\rightarrow \infty }x\quad
\because +\infty \text{へ発散する関数の定数倍の極限} \\
&=&\left( +\infty \right) +2\cdot \left( +\infty \right) \quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。

ちなみに、関数\(f,g\)の一方が\(x\rightarrow +\infty \)のときに正の無限大\(+\infty \)へ発散し、他方が負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow +\infty
}g\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。また、\(f,g\)の一方が\(x\rightarrow-\infty \)のときに正の無限大\(+\infty \)へ発散し、他方が負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow -\infty
}g\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)の右辺は、\begin{eqnarray*}&&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right) \\
&&\left( -\infty \right) +\left( +\infty \right)
\end{eqnarray*}のいずれかになりますが、これらは拡大実数系において不定形とみなされ定義不可能です。ただ、このような場合においても、関数の和が有限な実数へ収束しないとは限りません。関数の極限の和が不定形である場合でも、その関数を変形してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。詳細は場を改めて解説します。

 

演習問題

問題(関数の和の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているものとします。\(x\rightarrow a\)の場合に\(f,g\)がともに有限な実数へ収束しない場合、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束しないと言えるでしょうか。議論してください。
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問題(関数の和の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているものとします。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)と\(f+g\)がともに有限な実数へ収束する場合、\(g\)もまた有限な実数へ収束することを証明してください。
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問題(関数の和の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(f,g\)の一方が有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

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問題(関数の和の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f,g\)の一方が有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow +\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。また、\(f,g\)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)の一方が有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f+g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow -\infty
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

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次回は収束する関数の差について解説します。

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