関数の極限と和

収束する関数どうしの和として得られる関数もまた収束し、新たな関数の極限はもとの関数の極限の和になります。また、このような関係は無限極限に関しても拡張可能です。

関数 極限 収束 和

点において収束する関数の和の極限

関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、これらの関数が\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) ,g\left( x\right) \)を足して得られる\(f\left( x\right) +g\left( x\right) \)を\(x\)の像とする新たな関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を構成できます。

関数\(f,g\)がともに点において収束する場合には関数\(f+g\)もまた収束し、両者の極限の間には以下の関係が成り立ちます。

命題(点において収束する関数の和の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において有限な実数に収束するならば関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(\alpha \)において有限な実数に収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題より、関数\(f,g\)が収束することが分かっている場合には、関数\(f+g\)が収束することをわざわざ証明する必要はありません。しかも、\(f+g\)の極限を得るためには\(f\)の極限と\(g\)の極限を足せばよいのです。

例(点において収束する関数の和の極限)
変数\(x\in \mathbb{R} \)に関する関数\(x^{2},\ 2x\)に関しては、例えば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 3}x^{2}=9,\quad \lim_{x\rightarrow 3}2x=6
\end{equation*}などが成り立つため、関数\(x^{2}+2x\)に関しては、上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3}\left( x^{2}+2x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3}x^{2}+\lim_{x\rightarrow 3}2x \\
&=&9+6 \\
&=&15
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

無限大において収束する関数の和の極限

無限大における極限についても同様の命題が成り立ちます。

命題(無限大において収束する関数の和の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに\(x\rightarrow +\infty \)において有限な実数に収束するならば関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(x\rightarrow +\infty \)において有限な実数に収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f,g\)がともに\(x\rightarrow -\infty \)において有限な実数に収束するならば\(f+g\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)において有限な実数に収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(無限大において収束する関数の和の極限)
変数\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に関する関数\(\frac{1}{x},\ \frac{2}{x^{2}}\)に関しては、例えば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}=0,\quad \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2}{x^{2}}=0
\end{equation*}が成り立つため、関数\(\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\)に関しては、上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}+\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2}{x^{2}} \\
&=&0+0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

点において発散する関数の和の極限

点において無限極限に発散するような関数についても同様の性質が成り立ちます。

命題(点において発散する関数の和の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)に発散するならば、関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の\(\alpha \)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。ただし、\(f,g\)の\(\alpha \)における発散先である無限大の符号は同じであるものとする。
証明を見る(プレミアム会員限定)

ただし、符号が等しい無限どうしの和については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルールにもとづいて計算を行います。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) &=&+\infty \\
\left( b\right) \ \left( -\infty \right) +\left( -\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}ちなみに、符号が異なる無限どうしの和である\(\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right) \)や\(\left( -\infty \right) +\left( +\infty \right) \)は定義不可能であるため、例えば、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =+\infty \)かつ\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =-\infty \)などの場合には、上の命題の要領で\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }\left( f+g\right) \left( x\right) \)を導出することはできません。

拡大実数系について復習する
例(点において発散する関数の和の極限)
変数\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に関する関数\(\frac{1}{x},\ \frac{2}{x^{2}}\)に関しては、例えば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=+\infty ,\quad \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{x^{2}}=+\infty
\end{equation*}が成り立つため、関数\(\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\)に関しては、上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{x^{2}} \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right)  \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

無限大において発散する関数の和の極限

無限大において無限極限に発散するような関数についても同様です。

命題(無限大において発散する関数の和の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに\(+\infty \)において\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)に発散するならば、関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の\(+\infty \)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。また、\(f,g\)がともに\(-\infty \)おいて\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)に発散するならば、\(f+g\)の\(-\infty \)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。ただし、\(f,g\)の発散先である無限大の符号は同じであるものとする。
証明を見る(プレミアム会員限定)

先ほどと同様に、\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty \)かつ\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =-\infty \)の場合など、両者の無限極限の符号が異なる場合には無限どうしの和が定義不可能であるため、上の命題の要領で\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }\left( f+g\right) \left( x\right) \)を導出することはできません。

例(無限大において発散する関数の和の極限)
変数\(x\in \mathbb{R} \)に関する関数\(x^{2},\ 2x\)に関しては、例えば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}=+\infty ,\quad \lim_{x\rightarrow +\infty }2x=+\infty
\end{equation*}などが成り立つため、関数\(x^{2}+2x\)に関しては、上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{2}+2x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}+\lim_{x\rightarrow +\infty }2x \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

本節のまとめ

本節において得たすべての命題を一般化すると以下のようになります。

系(関数の極限と和)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、拡大実数\(\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R} ^{\ast }\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\beta ,\quad \lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\gamma
\end{equation*}がともに成り立つ場合には、関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) =\beta +\gamma
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\beta ,\gamma \)がともに無限大の場合にはそれらの符号は等しいものとする。

\(\alpha ,\beta ,\gamma \)が拡大実数であるとは、これらは有限の実数にもなり得るし、\(+\infty \)や\(-\infty \)にもなり得るということです。\(\alpha ,\beta ,\gamma \)がいずれも有限の実数の場合には、この命題は本節において最初に提示した命題になります。また、\(\alpha \)が\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)で\(\beta ,\gamma \)が有限の実数の場合には、この命題は本節において 2 番目に提示した命題になります。また、\(\alpha \)が有限の実数で\(\beta ,\gamma \)が\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)の場合には、この命題は本節において 3 番目に提示した命題になります。ただしこの場合、\(\beta \)と\(\gamma \)の符号は等しくなければなりません。また、\(\alpha ,\beta ,\gamma \)がいずれも\(+\infty \)もしくは\(-\infty \)の場合には、この命題は本節において 4 番目に提示した命題になります。ただしこの場合にも、\(\beta \)と\(\gamma \)の符号は等しくなければなりません。このような意味において、この命題は本節における議論の集約です。

本節では明示的に扱いませんでしたが、\(\beta ,\gamma \)の一方が無限で他方が有限な実数である場合にも上の命題は成り立ちます。例えば、\(\alpha ,\beta \)が有限な実数で\(\gamma \)が\(+\infty \)の場合は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\beta ,\quad \lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}となりますが、このような場合にも、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) =\beta +\left( +\infty \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。また、別のケースとして、\(\alpha \)は無限大、\(\beta \)は有限な実数、\(\gamma \)が\(-\infty \)の場合は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\beta ,\quad \lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}となりますが、この場合にも、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) =\beta +\left( -\infty \right)
\end{equation*}が成り立ちます。他の場合も含め、\(\beta ,\gamma \)の一方が無限大で他方が有限な実数である場合には、\(f+g\)の極限は無限大と有限な実数の和になります。ちなみに、無限大と有限な実数\(x\)の和については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルールにもとづいて計算を行います。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ x+\left( +\infty \right) &=&\left( +\infty \right) +x=+\infty \\
\left( b\right) \ x+\left( -\infty \right) &=&\left( -\infty \right) +x=-\infty
\end{eqnarray*}

例(関数の極限と和)
変数\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に関する関数\(\frac{1}{x} \)と、変数\(x\in \mathbb{R} \)に関する関数\(x^{2}\)に関しては、例えば、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}=0,\quad \lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}=+\infty
\end{equation*}が成り立つため、関数\(\frac{1}{x}+x^{2}\)に関しては、上の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}+x^{2}\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}+\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2} \\
&=&0+\left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

次回は収束する関数の差について解説します。
次へ進む 質問・コメントを投稿する 演習問題(プレミアム会員限定)

Share on facebook
Facebook
Share on twitter
Twitter
Share on email
Email

ワイズをさらに活用するための会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。さらに、有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。
会員サービス

ディスカッションに参加しますか?

質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。
ログイン

現在地
目次
アカウント
ログイン