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正接関数(tan関数)の定義と具体例

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正接関数

単位円上の点\(P\)を任意に選んだ上で、半直線が点\(O\)を中心に始線\(OX\)から動径\(OP\)まで回転する際にできる角の大きさを\(\theta \)で表記します(下図)。ただし、\(\theta \)の単位はラジアンであり、これは弧\(XP\)の長さと一致します。この場合、ラジアン\(\theta \)の正接は、\begin{eqnarray*}\tan \left( \theta \right) &=&\frac{\sin \left( \theta \right) }{\cos
\left( \theta \right) } \\
&=&\frac{\text{点}P\text{の}y\text{座標}}{\text{点}P\text{の}x\text{座標}}
\end{eqnarray*}と定義されます。

図:余弦
図:余弦

ラジアン\(\theta \)は任意の実数を値としてとり得ます。ただ、実数をゼロで割ることはできないため、余弦\(\cos \left( \theta \right) \)すなわち点\(P\)の\(x\)座標がゼロと一致するような\(\theta \)において正接\(\tan \left( \theta \right) \)は定義されません。このような事情を踏まえると、以下の集合\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}上に属するそれぞれの値\(x\in X\)に対して、その正接\(\tan \left( x\right) \in \mathbb{R} \)に相当する実数を1つずつ定める関数\begin{equation*}\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを正接関数(tangent function)やタンジェント関数などと呼びます。

余弦\(\cos \left( x\right) \)の値がゼロと一致するラジアンの値\(x\)からなる集合は、\begin{eqnarray*}\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) =0\right\} &=&\left\{ \frac{\pi }{2}+2n\pi \ |\
n\in \mathbb{Z} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 3\right) \pi
}{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}であるため、正接関数\(\tan \left( x\right) \)の定義域の要素を特定すると、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\} \\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\frac{\pi }{2}\)の奇数倍であるような点\(x\)において正接関数は定義されません。

例(正接関数)
\(0\)ラジアン(\(0\)度)に対応する単位上の点\(P\)の座標は\(\left( 1,0\right) \)であるため、正接関数の定義より、\begin{eqnarray*}\tan \left( 0\right) &=&\frac{\sin \left( 0\right) }{\cos \left( 0\right) }
\\
&=&\frac{\text{点}\left( 1,0\right) \text{の}y\text{座標}}{\text{点}\left( 1,0\right) \text{の}x\text{座標}} \\
&=&\frac{0}{1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。\(\frac{\pi }{6}\)ラジアン(\(30\)度)に対応する単位円上の点\(P\)の座標は\(\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right) \)であるため、正接関数の定義より、\begin{eqnarray*}\tan \left( \frac{\pi }{6}\right) &=&\frac{\sin \left( \frac{\pi }{6}\right) }{\cos \left( \frac{\pi }{6}\right) } \\
&=&\frac{\text{点}\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right) \text{の}y\text{座標}}{\text{点}\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right) \text{の}x\text{座標}} \\
&=&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\
&=&\frac{\sqrt{3}}{3}
\end{eqnarray*}となります。\(\frac{\pi }{4}\)ラジアン(\(45\)度)に対応する単位円上の点\(P\)の座標は\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)であるため、正接関数の定義より、\begin{eqnarray*}\tan \left( \frac{\pi }{4}\right) &=&\frac{\sin \left( \frac{\pi }{4}\right) }{\cos \left( \frac{\pi }{4}\right) } \\
&=&\frac{\text{点}\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\text{の}y\text{座標}}{\text{点}\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \text{の}x\text{座標}} \\
&=&\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。\(\frac{\pi }{2}\)ラジアン(\(90\)度)に対応する単位円上の点\(P\)の座標は\(\left( 0,1\right) \)であるため、であるため、正接関数の定義より、\begin{eqnarray*}\tan \left( \frac{\pi }{2}\right) &=&\frac{\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) }{\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) } \\
&=&\frac{\text{点}\left( 0,1\right) \text{の}y\text{座標}}{\text{点}\left( 0,1\right) \text{の}x\text{座標}} \\
&=&\frac{1}{0}
\end{eqnarray*}となりますが、実数をゼロで割ることはできないため、\(\tan \left( \frac{\pi }{2}\right) \)は定義されません。他についても同様に考えることにより以下の表を得ます。

$$\begin{array}{ccccccccc}
\hline
x(ラジアン) & 0 & \frac{\pi }{6} & \frac{\pi }{4} & \frac{\pi }{3} & \frac{\pi }{2} & \pi & \frac{3\pi }{2} & 2\pi \\ \hline
x(度) & 0^{\circ } & 30^{\circ } & 45^{\circ } & 60^{\circ } & 90^{\circ } & 180^{\circ } & 270^{\circ } & 360^{\circ } \\ \hline
\sin \left( x\right) & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline
\cos \left( x\right) & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{1}{2} & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline
\tan \left( x\right) & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & -& 0 & – & 0 \\ \hline
\end{array}$$

例(正接関数)
\(0\)ラジアン(\(0\)度)に対応する単位上の点\(P\)の座標は\(\left( 1,0\right) \)であるため、正接関数の定義より、\begin{eqnarray*}\tan \left( 0\right) &=&\frac{\sin \left( 0\right) }{\cos \left( 0\right) }
\\
&=&\frac{\text{点}\left( 1,0\right) \text{の}y\text{座標}}{\text{点}\left( 1,0\right) \text{の}x\text{座標}} \\
&=&\frac{0}{1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。\(-\frac{\pi }{6}\)ラジアン(\(-30\)度)に対応する単位円上の点\(P\)の座標は\(\left( \frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right) \)であるため、正接関数の定義より、\begin{eqnarray*}\tan \left( -\frac{\pi }{6}\right) &=&\frac{\sin \left( -\frac{\pi }{6}\right) }{\cos \left( -\frac{\pi }{6}\right) } \\
&=&\frac{\text{点}\left( \frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right) \text{の}y\text{座標}}{\text{点}\left( \frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right) \text{の}x\text{座標}} \\
&=&\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\
&=&-\frac{\sqrt{3}}{3}
\end{eqnarray*}となります。\(-\frac{\pi }{4}\)ラジアン(\(-45\)度)に対応する単位円上の点\(P\)の座標は\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)であるため、正接関数の定義より、\begin{eqnarray*}\tan \left( -\frac{\pi }{4}\right) &=&\frac{\sin \left( -\frac{\pi }{4}\right) }{\cos \left( -\frac{\pi }{4}\right) } \\
&=&\frac{\text{点}\left( \frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\text{の}y\text{座標}}{\text{点}\left( \frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \text{の}x\text{座標}} \\
&=&\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。\(-\frac{\pi }{2}\)ラジアン(\(-90\)度)に対応する単位円上の点\(P\)の座標は\(\left( 0,-1\right) \)であるため、であるため、正接関数の定義より、\begin{eqnarray*}\tan \left( -\frac{\pi }{2}\right) &=&\frac{\sin \left( -\frac{\pi }{2}\right) }{\cos \left( -\frac{\pi }{2}\right) } \\
&=&\frac{\text{点}\left( 0,-1\right) \text{の}y\text{座標}}{\text{点}\left( 0,-1\right) \text{の}x\text{座標}} \\
&=&\frac{-1}{0}
\end{eqnarray*}となりますが、実数をゼロで割ることはできないため、\(\tan \left( -\frac{\pi }{2}\right) \)は定義されません。他についても同様に考えることにより以下の表を得ます。

$$\begin{array}{ccccccccc}
\hline
x(ラジアン) & 0 & -\frac{\pi }{6}& -\frac{\pi }{4} & -\frac{\pi }{3} & -\frac{\pi }{2} & -\pi & -\frac{3\pi }{2} & -2\pi \\ \hline
x(度) & -0^{\circ } & -30^{\circ } & -45^{\circ }& -60^{\circ } & -90^{\circ } & -180^{\circ } & -270^{\circ } & -360^{\circ } \\ \hline
\sin \left( x\right) & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline
\cos \left( x\right) & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{1}{2} & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline
\tan \left( x\right) & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & -1 & -\sqrt{3} & – & 0 & – & 0 \\ \hline
\end{array}$$

例(正接関数)
下図のような直角三角形が与えられているものとします。

図:直角三角形
図:直角三角形

底辺の長さを\(b>0\)で、対辺の長さを\(c>0\)で、斜辺と底辺がつくる角の大きさ(ラジアン)を\(x\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)でそれぞれ表記する場合、正接の定義より以下の関係\begin{equation*}\tan \left( x\right) =\frac{c}{b}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、底辺の長さ\(b\)を固定した上で角の大きさ\(x\)を変化させた場合の対辺の長さ\(c\)を特定する関数は、\begin{equation*}f\left( x\right) =b\cdot \tan \left( x\right)
\end{equation*}となります。これは正接関数の定数倍として定義される関数です。また、対辺の長さ\(c\)を固定した上で角の大きさ\(x\)を変化させた場合の底辺の長さ\(b\)を特定する関数は、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{c}{\tan \left( x\right) }
\end{equation*}となります。これは定数関数と正接関数の商として定義される関数です。

 

正接関数のグラフ(正接曲線)

正接関数\(\tan \left( x\right) \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( \tan \left( x\right) \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=\tan \left( x\right) \right\}
\end{equation*}ですが、これを正接曲線(tangent curve)やタンジェントカーブなどと呼びます。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。正接曲線を図示すると以下のようになります。

図:正接曲線
図:正接曲線

上図から明らかであるように、正接関数は同一形状の繰り返しですが、これは正接関数が周期関数であることを意味します。実際、以下が成り立ちます。

命題(正接関数の周期性)
正接関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、実数\(x\in X\)と整数\(n\in \mathbb{Z} \)をそれぞれ任意に選ぶと、以下の関係\begin{equation*}\tan \left( x+n\pi \right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}である。

証明

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例(正接関数の周期性)
以上の命題より、\begin{eqnarray*}
\tan \left( 0\right) &=&\tan \left( \pm \pi \right) =\tan \left( \pm 2\pi
\right) =\cdots =0 \\
\tan \left( \frac{\pi }{4}\right) &=&\tan \left( \frac{\pi }{4}\pm \pi
\right) =\tan \left( \frac{\pi }{4}\pm 2\pi \right) =\cdots =1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

先の命題は、正接関数が周期\(\pi \)の周期関数であることを意味します。では、正接関数はどのようなパターンのもとで変動しているのでしょうか。ラジアン\(x\)を\(-\frac{\pi }{2}\)から\(\frac{\pi }{2}\)まで1周期分だけ動かした場合、正接関数の値は以下のように変化します。

$$\begin{array}{cccccc}
\hline
x(ラジアン) & -\frac{\pi }{2} & \cdots & 0 & \cdots & \frac{\pi }{2} \\ \hline
x(度) & -90^{\circ } & \cdots & 0^{\circ } & \cdots & 90^{\circ } \\ \hline
\sin \left( x\right) & -1 & \nearrow & 0 & \nearrow & 1 \\ \hline
\cos \left( x\right) & 0 & \nearrow & 1 & \searrow & 0 \\ \hline
\tan \left( x\right) & \rightarrow -\infty & \nearrow & 0 & \nearrow & \rightarrow +\infty \\ \hline
\end{array}$$

つまり、正接関数の値は\(\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)の範囲内において狭義単調増加します。なお、この区間の端点\(\pm \frac{\pi }{2}\)において正接関数は定義されません。以上が1つの周期です。これを図示すると以下のようになります。

図:正接曲線
図:正接曲線

 

正接関数の値域

後に導入する関数の連続性の概念を利用することにより、正接関数が任意の実数を値としてとり得ること、すなわち、正接関数の値域が\(\mathbb{R} \)であることが導かれます。

命題(正接関数の値域)

正接関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域は\(\mathbb{R} \)である。ただし、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}である。

証明

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正接関数の規則性

正接関数に関して以下が成り立ちます。

命題(正接関数の規則性)
正接関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の\(x\in X\)に対して、以下の関係\begin{equation*}\tan \left( -x\right) =-\tan \left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}である。

証明

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関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( -x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす場合、これを奇関数(odd function)と呼びます。先の命題は正接関数が奇関数であることを主張しています。

命題(正接関数は奇関数)
正接関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は奇関数である。ただし、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}である。

 

正接関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、正接関数\begin{equation*}
\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ただし、\begin{equation*}
Y=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)の値域\(f\left( X\right) \)が\(\tan \left( x\right) \)の定義域\(Y\)の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
\tan \left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

例(多項式関数と正接関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。\(f\)の定義域を\(X\subset \mathbb{R} \)に制限することにより\(f\)の値域が正接関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の部分集合になる場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には関数\begin{equation*}
\tan \left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これは多項式関数\(f\)と正接関数\(\tan \left( x\right) \)の合成関数です。例えば、以下の関数\begin{equation*}\tan \left( x^{2}+x+1\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は多項式関数\(x^{2}+x+1\)と正接関数\(\tan \left( x\right) \)の合成関数ですが、その定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x^{2}+x+1\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。例えば、\(x=0\)について、\begin{eqnarray*}\cos \left( 0^{2}+0+1\right) &=&\cos \left( 1\right) \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(X\)の定義より\(0\in X\)が成り立ちます。つまり、\(X\)は非空集合であるため\(f\)は定義可能です。

正接関数\begin{equation*}
\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ただし、\begin{equation*}
X\subset \left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(\tan \left( x\right) \)の値域が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\tan \left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\left( \tan \left( x\right) \right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

例(正接関数と多項式関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。正接関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため関数\begin{equation*}f\left( \tan \left( x\right) \right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。例えば、以下の関数\begin{equation*}
\tan ^{2}\left( x\right) +\tan \left( x\right) +1:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は正接関数\(\tan \left( x\right) \)と多項式関数\(x^{2}+x+1\)の合成関数です。ただし、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。

 

演習問題

問題(正接関数との合成関数)
以下の関数\begin{equation*}
\tan \left( \frac{\pi }{x+1}\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は定義可能でしょうか。定義可能である場合、定義域\(X\)を求めてください。
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問題(正接関数との合成関数)
以下の関数\begin{equation*}
\tan \left( \sin \left( x\right) \right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は定義可能でしょうか。定義可能である場合、定義域\(X\)を求めてください。
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問題(正接関数)
正接関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。\(\tan \left( x\right) \)は単射、全射、全単射のいずれかでしょうか。議論してください。
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