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正接関数(tan関数)

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正接関数

ラジアン\(\theta \in \mathbb{R} \)の正接は、\begin{equation*}\tan \left( \theta \right) =\frac{\sin \left( \theta \right) }{\cos \left(
\theta \right) }
\end{equation*}と定義されるため、\(\cos \left( \theta \right) \not=0\)を満たすようなそれぞれのラジアン\(\theta \)に対して正接\(\tan \left( \theta \right) \)を値として定めるような関数\(\tan \)が定義可能です。このような関数を正接関数(tangent function)やタンジェント関数などと呼びます。正接の定義より、ラジアン\(\theta \)の動径と単位元が交わる点を\(P\)とするとき、\begin{equation*}\tan \left( \theta \right) =\frac{\text{点}P\text{の}y\text{座標}}{\text{点}P\text{の}x\text{座標}}=\frac{\sin \left( \theta \right) }{\cos \left( \theta \right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます(下図)。

図:正弦関数
図:正弦関数

繰り返しになりますが、ラジアン\(\theta \)の正接は、\begin{equation*}\tan \left( \theta \right) =\frac{\sin \left( \theta \right) }{\cos \left(
\theta \right) }
\end{equation*}と定義されるため、正接関数は\(\cos \left( \theta \right) =0\)を満たすような\(\theta \)の値において定義されません。具体的には、余弦の定義\begin{equation*}\cos \left( \theta \right) =\text{点}P\text{の}x\text{座標}
\end{equation*}より、点\(P\)の位置が単位円上の点\(\left( 0,1\right) \)もしくは\(\left( 0,-1\right) \)の場合に\(\cos\left( \theta \right) =0\)となりますが、このような条件を満たす\(\theta \)からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ \frac{\pi }{2}+2n\pi \ |\ n\in \mathbb{Z} \right\} =\left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{equation*}となります。つまり、\(\frac{\pi }{2}\)の奇数倍であるような点において正接関数は定義されません。逆に、正接関数は以下の集合\begin{equation*}\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{equation*}上に定義可能です。

例(正接関数)
正接関数\(\tan \)に関して、\begin{eqnarray*}\tan \left( 0\right) &=&\tan \left( 0^{\circ }\right) =0 \\
\tan \left( \frac{\pi }{6}\right) &=&\tan \left( 30^{\circ }\right) =\frac{\sqrt{3}}{3} \\
\tan \left( \frac{\pi }{4}\right) &=&\tan \left( 45^{\circ }\right) =1 \\
\tan \left( \frac{\pi }{3}\right) &=&\tan \left( 60^{\circ }\right) =\sqrt{3} \\
\tan \left( \pi \right) &=&\tan \left( 180^{\circ }\right) =0
\end{eqnarray*}などが成り立つ一方で、\begin{eqnarray*}
\tan \left( \frac{\pi }{2}\right) &=&\tan \left( 90^{\circ }\right) \\
\tan \left( \frac{3\pi }{2}\right) &=&\tan \left( 270^{\circ }\right)
\end{eqnarray*}などは存在しません。

 

正接曲線

正接関数のグラフを正接曲線(tangent curve)やタンジェントカーブなどと呼びます。ラジアン\(\theta \)の値が\(0\)から\(\frac{\pi }{2}\)まで増加するとき、\(\cos \left( \theta \right) \)の値は\(1\)から\(0\)へ減少する一方で\(\sin \left( \theta \right) \)の値は\(0\)から\(1\)へ増加するため、それらの比\(\frac{\sin \left(\theta \right) }{\cos \left( \theta \right) }\)として定義される\(\tan \left( \theta \right) \)の値は\(0\)から増加し続けます。ただし、\(\tan \left( \theta\right) \)は点\(\frac{\pi }{2}\)において定義されていません。同様に、ラジアン\(\theta \)の値が\(0\)から\(-\frac{\pi }{2}\)まで増加するとき、\(\cos \left(\theta \right) \)の値は\(1\)から\(0\)へ減少する一方で\(\sin \left( \theta\right) \)の値は\(0\)から\(-1\)へ減少するため、それらの比\(\frac{\sin \left( \theta \right) }{\cos \left( \theta\right) }\)として定義される\(\tan \left( \theta \right) \)の値は\(0\)から減少し続けます。ただし、\(\tan \left( \theta \right) \)は点\(-\frac{\pi }{2}\)において定義されていません。これを以下の表にまとめました。

$$\begin{array}{cccccc}\hline
\theta ラジアン & -\frac{\pi }{2} & \cdots & 0 & \cdots & \frac{\pi }{2} \\ \hline
\theta 度 & -90^{\circ } & \cdots & 0^{\circ } & \cdots & 90^{\circ } \\ \hline
\sin \left( \theta \right) & -1 & \nearrow & 0 & \nearrow & 1 \\ \hline
\cos \left( \theta \right) & 0 & \nearrow & 1 & \searrow & 0 \\ \hline
\tan \left( \theta \right) & \rightarrow -\infty & \nearrow & 0 & \nearrow & \rightarrow +\infty \\ \hline
\end{array}$$

表:余弦関数の変化

以上を踏まえた上で、ラジアン\(\theta \)の値が\(-\frac{\pi }{2}\)と\(\frac{\pi }{2}\)の間の値をとる場合の正接曲線を描くと以下が得られます。

図:正接関数のグラフ
図:正接関数のグラフ

 

正接関数の周期性

正弦関数\(\sin \)と余弦関数\(\cos \)が周期関数であるという事実を踏まえると、正接関数もまた周期関数であることが示されます。

命題(正接関数の周期性)
正接関数\(\tan :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の\(\theta \in X\)と任意の\(n\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}\tan \left( \theta +n\pi \right) =\tan \left( \theta \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、\begin{equation*}
X=\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{equation*}である。

証明

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上の命題より、正接関数は周期\(\pi \)の周期関数です。したがって、正接関数のグラフは下図のように\(\pi \)ごとに同じ形を繰り返す形状をしています。

図:正接関数のグラフ
図:正接関数のグラフ

繰り返しになりますが、正接関数は\(\frac{\pi }{2}\)の奇数倍ではない\(\mathbb{R} \)上の任意の点において定義可能です。正接曲線の形状から明らかであるように、正接\(\cos \left( \theta \right) \)は限りなく大きい任意の実数や限りなく小さい任意の実数を値としてとり得るため、\(\frac{\pi }{2}\)の奇数倍ではない\(\mathbb{R} \)上の任意の点上に定義された正接関数\(\tan \)の値域は全区間\(\mathbb{R} \)です。

 

正接関数は奇関数

復習になりますが、任意の\(x\)に対して、\begin{equation*}f\left( -x\right) =-f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす関数を奇関数と呼び、\begin{equation*}
f\left( -x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす偶関数と呼びます。正弦関数\(\sin \)は奇関数であり、余弦関数\(\cos \)は偶関数であることが明らかになりましたが、以上の事実を踏まえると、正接関数が奇関数であることが示されます。

命題(正接関数は奇関数)
正接関数\(\tan :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は奇関数である。すなわち、任意の\(\theta \in X\)に対して、\begin{equation*}\tan \left( -\theta \right) =-\tan \left( \theta \right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\begin{equation*}
X=\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{equation*}である。

証明

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次回は三角関数に関する公式について解説します。

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