直角三角形を用いて三角比(サイン、コサイン、タンジェント)を定義した上で、それを一般化する形で三角関数(サイン関数、コサイン関数、タンジェント関数)と呼ばれる関数を定義します。

直角三角形の辺の名称

以下の様な直角三角形(right triangle)について考えます。直角三角形のそれぞれの(side)には名前が付いています。まず、直角(right angle)の対辺を斜辺(hypotenuse)と呼びます。残りの 2 つの辺の名称は相対的なもので、問題としている角の位置に依存して変化します。下図のような角度\(\theta \)を持つ角について考えているとき、その角と直角によって挟まれている辺を底辺(adjacent)もしくは隣辺などと呼び、残りのもう 1 つの辺を対辺(opposite)と呼びます。

図:直角三角形
図:直角三角形

繰り返しになりますが、問題としている角の位置が変われば、底辺と対辺の位置は入れ替わります。先と同じ直角三角形において、問題としている角度\(\theta \)を持つ角が下図のように変化した場合にはどうなるでしょうか。底辺とは問題としている角と直角とに挟まれる辺として定義されますので、先ほど対辺であった辺がここでは底辺になり、先ほど底辺であった辺がここでは対辺になっています。

図:直角三角形
図:直角三角形

 

三角比

再び以下のような直角三角形について考えます。問題としている角の角度は\(\theta \)です。この角は直角三角形の内角であり、なおかつ直角とは異なる内角です。したがって、\(\theta \)がとり得る値の範囲は\(0<\theta <\frac{\pi }{2}\)です(度数法で表現すると\(0<\theta <90\))。

図:直角三角形
図:直角三角形

このとき、上の角度\(\theta \)の正弦(sine)すなわちサインを\(\sin \theta \)で表し、それを、\begin{equation*}
\sin \theta =\frac{\text{対辺の長さ}}{\text{斜辺の長さ}}
\end{equation*}と定義します。また、\(\theta \)の余弦(cosine)すなわちコサインを\(\cos \theta \)で表し、それを、\begin{equation*}
\cos \theta =\frac{\text{底辺の長さ}}{\text{斜辺の長さ}}
\end{equation*}と定義します。さらに、\(\theta \)の正接(tangent)すなわちタンジェントを\(\tan \theta \)で表し、それを、\begin{equation*}
\tan \theta =\frac{\text{対辺の長さ}}{\text{底辺の長さ}}
\end{equation*}と定義します。タンジェントに関しては、\begin{eqnarray*}
\tan \theta &=&\frac{\text{対辺の長さ}}{\text{底辺の長さ}}\quad \because \tan \theta \text{の定義} \\
&=&\frac{\text{対辺の長さ}}{\text{斜辺の長さ}}/\frac{\text{底辺の長さ}}{\text{斜辺の長さ}} \\
&=&\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\quad \because \sin \theta ,\cos \theta
\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、サインとコサインを定義した上で、それらの比としてタンジェントを、\begin{equation*}
\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }
\end{equation*}と定義することもできます。

 

三角比と動径の座標の関係

ラジアンについて簡単に復習した上で、それと三角比の関係を解説します。そこで、座標平面上に原点\(O\)を中心とする単位円を描きます。この単位円は 4 つの四分円(quadrant)に分割可能ですが、ここでは右上の第1四分円(first quadrant)に注目し、その円周上の点\(P\)を任意に選びます(下図)。ただし、\(P\)は\(x\)軸上の点や\(y\)軸上の点ではないものとします。

図:ラジアンと三角比
図:ラジアンと三角比

角とは、半直線が点\(O\)を中心に始線\(OX\)から動径\(OP\)まで回転することでできる図形のことであり、角度とは、動径\(OP\)の回転量に相当します。さて、半直線が\(OX\)から\(OP\)まで回転すると単位円上の点は弧\(XP\)の長さだけ移動しますが、動径\(OP\)の回転量(角度)と弧\(XP\)の長さは 1 対 1 で対応するため、弧\(XP\)の長さが\(\theta \)であるとき、動径\(OP\)の回転量(角度)を\(\theta \)で表現します。このように、弧\(XP\)の長さ\(\theta \)を角度を表す単位として利用するとき、\(\theta \)をラジアンと呼びます。ラジアンを表す記号は\(\mathrm{rad}\)ですが、慣例としてこの記号は省略されることが多いです。

ラジアンについて復習する

上図には角度が\(\theta \)ラジアンであるような角が記されています。動径\(OP\)の端点\(P\)から\(x\)軸に対して垂直な直線を引き、その直線と\(x\)軸の交点を\(Q\)と名付けます(上図)。三角形\(OPQ\)は直角三角形ですので、問題としている角度\(\theta \)に関して三角比を考えることができます。まず、サインについては、\begin{eqnarray*}
\sin \theta &=&\frac{\text{対辺の長さ}}{\text{斜辺の長さ}}\quad \because \sin \theta \text{の定義} \\
&=&\frac{PQ\text{の長さ}}{OP\text{の長さ}} \\
&=&\frac{PQ\text{の長さ}}{1}\quad \because \text{単位円の半径は}1 \\
&=&PQ\text{の長さ} \\
&=&\text{点}P\text{の}y\text{座標}
\end{eqnarray*}となります。コサインについては、\begin{eqnarray*}
\cos \theta &=&\frac{\text{底辺の長さ}}{\text{斜辺の長さ}}\quad \because \cos \theta \text{の定義} \\
&=&\frac{OQ\text{の長さ}}{OP\text{の長さ}} \\
&=&\frac{OQ\text{の長さ}}{1}\quad \because \text{単位円の半径は}1 \\
&=&OQ\text{の長さ} \\
&=&\text{点}P\text{の}x\text{座標}
\end{eqnarray*}となります。また、タンジェントについては、\begin{eqnarray*}
\tan \theta &=&\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\quad \because \tan \theta
\text{の定義} \\
&=&\frac{\text{点}P\text{の}y\text{座標}}{\text{点}P\text{の}x\text{座標}}
\end{eqnarray*}となります。

以上の議論をまとめましょう。単位円上の第1四部円上にある点\(P\)を任意に選びます。半直線が点\(O\)を中心に始線\(OX\)から動径\(OP\)まで回転することでできる角の角度が\(\theta \)ラジアンであるとします。点\(P\)は第1四部円上にあるため、\(\theta \)がとり得る値の範囲は\(0<\theta <\pi \)です。このとき、\begin{eqnarray}
\sin \theta &=&\text{点}P\text{の}x\text{座標} \tag{1} \\
\cos \theta &=&\text{点}P\text{の}x\text{座標} \tag{2} \\
\tan \theta &=&\frac{\text{点}P\text{の}y\text{座標}}{\text{点}P\text{の}x\text{座標}} \tag{3}
\end{eqnarray}などの関係が成立することが示されました。

単位円の第1四部円上の点の\(x\)座標と\(y\)座標がとり得る値の範囲はともに\(0\)より大きく\(1\)より小さい値ですので、\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\(0<\theta <\pi \)を満たすラジアン\(\theta \)について、そのサインとコサインがとり得る値の範囲は、\begin{eqnarray*}
0 &<&\sin \theta <1 \\
0 &<&\cos \theta <1
\end{eqnarray*}となります。これらと\(\left( 3\right) \)より、タンジェントがとり得る値の範囲は、\begin{equation*}
0 <\tan \theta <+\infty
\end{equation*}となります。

 

三角比の一般化

これまではラジアン\(\theta \)がとり得る範囲を\(0<\theta <\pi \)に限定しました。つまり、動径\(OP\)の端点\(P\)が単位円の第1四部円上にあるようなケースに話を限定した上で、それがつくる角の角度\(\theta \)について、その三角比を考えました。しかし、本来、ラジアン\(\theta \)は任意の実数値を値としてとり得ます。つまり、動径\(OP\)は始線\(OX\)から出発して、反時計回りもしくは時計回りに自由に動くことができるため、\(P\)は第1四部円内上にあるとは限りません。このような場合のラジアン\(\theta \)について、三角比をどのように考えればよいでしょうか。

このような場合の\(\theta \)の三角比としては、上の\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)を定義として採用することとします。単位円上の点\(P\)を任意に選んだとき、半直線が点\(O\)を中心に始線\(OX\)から動径\(OP\)まで回転することでできる角の角度が\(\theta \)ラジアンであるとします。\(\theta \)は任意の実数を値としてとり得ます。このとき、\begin{eqnarray*}
\sin \theta &=&\text{点}P\text{の}x\text{座標} \\
\cos \theta &=&\text{点}P\text{の}x\text{座標} \\
\tan \theta &=&\frac{\text{点}P\text{の}y\text{座標}}{\text{点}P\text{の}x\text{座標}}
\end{eqnarray*}として、ラジアン\(\theta \)の三角比をそれぞれ定義するということです。

以上の定義にもとづいて、代表的な角度の三角比を求めます。

例(三角比)
角度が\(\frac{\pi }{2}\)ラジアンであるような角について考えます(下図)。
図:π/2 ラジアン
図:π/2 ラジアン

図より、\begin{eqnarray*}
\sin \frac{\pi }{2} &=&\text{点}P\text{の}x\text{座標}=0 \\
\cos \frac{\pi }{2} &=&\text{点}P\text{の}y\text{座標}=1
\end{eqnarray*}となります。また、定義より、\begin{equation*}
\tan \frac{\pi }{2}=\frac{\text{点}P\text{の}y\text{座標}}{\text{点}P\text{の}x\text{座標}}
\end{equation*}ですが、すでに求めたように分母が\(0\)であるため、\(\tan \frac{\pi }{2}\)は定義不可能です。

例(三角比)
角度が\(\pi \)ラジアンであるような角について考えます(下図)。
図:π ラジアン
図:π ラジアン

図より、\begin{eqnarray*}
\sin \pi &=&\text{点}P\text{の}x\text{座標}=-1 \\
\cos \pi &=&\text{点}P\text{の}y\text{座標}=0 \\
\tan \pi &=&\frac{\text{点}P\text{の}y\text{座標}}{\text{点}P\text{の}x\text{座標}}=\frac{0}{-1}=0
\end{eqnarray*}となります。

例(三角比)
角度が\(\frac{3}{2}\pi \)ラジアンであるような角について考えます(下図)。
図:3π/2 ラジアン
図:3π/2 ラジアン

図より、\begin{eqnarray*}
\sin \frac{3}{2}\pi &=&\text{点}P\text{の}x\text{座標}=0 \\
\cos \frac{3}{2}\pi &=&\text{点}P\text{の}y\text{座標}=-1
\end{eqnarray*}となります。また、定義より、\begin{equation*}
\tan \frac{3}{2}\pi =\frac{\text{点}P\text{の}y\text{座標}}{\text{点}P\text{の}x\text{座標}}
\end{equation*}ですが、すでに求めたように分母が\(0\)であるため、\(\tan \frac{3}{2}\pi \)は定義不可能です。

例(三角比)
角度が\(2\pi \)ラジアンであるような角について考えます(下図)。
図:2π ラジアン
図:2π ラジアン

図より、\begin{eqnarray*}
\sin 2\pi &=&\text{点}P\text{の}x\text{座標}=1 \\
\cos 2\pi &=&\text{点}P\text{の}y\text{座標}=0
\end{eqnarray*}となります。また、定義より、\begin{equation*}
\tan 2\pi =\frac{\text{点}P\text{の}y\text{座標}}{\text{点}P\text{の}x\text{座標}}
\end{equation*}ですが、すでに求めたように分母が\(0\)であるため、\(\tan 2\pi \)は定義不可能です。

例(三角比)
角度が\(-\frac{\pi }{2}\)ラジアンであるような角について考えます(下図)。
図:-π/2 ラジアン
図:-π/2 ラジアン

図より、\begin{eqnarray*}
\sin \left( -\frac{\pi }{2}\right) &=&\text{点}P\text{の}x\text{座標}=0 \\
\cos \left( -\frac{\pi }{2}\right) &=&\text{点}P\text{の}y\text{座標}=-1
\end{eqnarray*}となります。また、定義より、\begin{equation*}
\tan \left( -\frac{\pi }{2}\right) =\frac{\text{点}P\text{の}y\text{座標}}{\text{点}P\text{の}x\text{座標}}
\end{equation*}ですが、すでに求めたように分母が\(0\)であるため、\(\tan \left( -\frac{\pi }{2}\right) \)は定義不可能です。

例(三角比)
角度が\(-\pi \)ラジアンであるような角について考えます(下図)。
図:-π ラジアン
図:-π ラジアン

図より、\begin{eqnarray*}
\sin \left( -\pi \right) &=&\text{点}P\text{の}x\text{座標}=-1 \\
\cos \left( -\pi \right) &=&\text{点}P\text{の}y\text{座標}=0 \\
\tan \left( -\pi \right) &=&\frac{\text{点}P\text{の}y\text{座標}}{\text{点}P\text{の}x\text{座標}}=\frac{0}{-1}=0
\end{eqnarray*}となります。

 

三角関数

ラジアンのそれぞれの値\(\theta \)に対して、そのサインの値\begin{equation*}
\sin \theta =\text{点}P\text{の}x\text{座標}
\end{equation*}を定める関数\(\sin \)を正弦関数(sine function)もしくはサイン関数と呼びます。ラジアンは任意の実数を値としてとり得るため、正弦関数\(\sin \)の定義域は\(\mathbb{R}\)です。また、単位円上の点の\(x\)座標がとり得る値の範囲は\(-1\)以上\(1\)以下であるため、正弦関数\(\sin \)の値域は\(\left[ -1,1\right] \subset \mathbb{R}\)です。正弦関数のグラフは以下の通りです。これは正弦曲線(sine curve)もしくはサインカーブなどと呼ばれます。

図:正弦関数のグラフ
図:正弦関数のグラフ

ラジアンのそれぞれの値\(\theta \)に対して、そのコサインの値\begin{equation*}
\cos \theta =\text{点}P\text{の}y\text{座標}
\end{equation*}を定める関数\(\cos \)を余弦関数(cosine function)もしくはコサイン関数と呼びます。ラジアンは任意の実数を値としてとり得るため、余弦関数\(\cos \)の定義域は\(\mathbb{R}\)です。また、単位円上の点の\(y\)座標がとり得る値の範囲は\(-1\)以上\(1\)以下であるため、余弦関数\(\cos \)の値域は\(\left[ -1,1\right] \subset \mathbb{R}\)です。余弦関数のグラフは以下の通りです。これは余弦曲線(cosine curve)もしくはコサインカーブなどと呼ばれます。

図:余弦関数のグラフ
図:余弦関数のグラフ

ラジアンのそれぞれの値\(\theta \)に対して、そのタンジェントの値\begin{equation*}
\tan \theta =\frac{\text{点}P\text{の}y\text{座標}}{\text{点}P\text{の}x\text{座標}}=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }
\end{equation*}を定める関数\(\tan \)を正接関数(tangent function)もしくはタンジェント関数と呼びます。ラジアンは任意の実数を値としてとり得ますが、一般にゼロで割ることはできないため、正接関数\(\tan \)は\(\cos \theta =0\)を満たすような\(\theta \)の値において定義されません。より具体的には、コサインの定義\begin{equation*}
\cos \theta =\text{点}P\text{の}x\text{座標}
\end{equation*}より、点\(P\)の位置が単位円上の点\(\left( 0,1\right) \)もしくは\(\left( 0,-1\right) \)の場合に\(\cos \theta =0\)となりますが、このような条件を満たすラジアンの値\(\theta \)は、\begin{equation*}
\theta =\frac{\pi }{2}\pm 2n\pi \quad \left( n\in \mathbb{N} \right)
\end{equation*}となります。以上を踏まえると、正接関数\(\tan \)の定義域は、\begin{equation*}
\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}\pm 2n\pi \in \mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}となります。また、\(\sin \theta \)と\(\cos \theta \)の値域はともに\(\left[ -1,1\right] \)であることを踏まえると、正接関数\(\tan \)の値域は\(\mathbb{R}\)となります。正接関数のグラフは以下の通りです。これは正接曲線(tangent curve)もしくはタンジェントカーブなどと呼ばれます。

図:正接関数のグラフ
図:正接関数のグラフ

次回は三角関数の性質について学びます。

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