収束関数列と有界関数列の関係

関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を一般項とする関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられているものとする。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が有界であるとともに関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ一様収束するならば、\(f\)もまた有界関数である。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{\sin \left( nx\right) }{n}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は有界です。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、関数\(f_{n}\)に関して、\begin{equation*}-1\leq \sin \left( nx\right) \leq 1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\frac{1}{n}\leq \frac{\sin \left( nx\right) }{n}\leq \frac{1}{n}
\end{equation*}が成り立つからです。また、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は一様収束します。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)および\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}\right\vert \leq \frac{1}{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-0\right\vert \leq \frac{1}{n}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。そこで、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation}\forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right) \right\vert
\leq \frac{1}{n} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\frac{1}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす番号\(N\in \mathbb{N} \)を選べば、任意の\(x\in \mathbb{R} \)および\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}n\geq N &\Rightarrow &\frac{1}{n}\leq \frac{1}{N} \\
&\Rightarrow &\frac{1}{n}<\varepsilon \quad \because \left( 3\right) \\
&\Rightarrow &\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right)
\right\vert \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。したがって、先の命題より極限関数\(f\)は有界であるはずです。実際、\(f\)は定数関数であるため有界であり、これは先の命題の主張と整合的です。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left(0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{n}{nx+1}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は有界です。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、関数\(f_{n}\)の値域は、\begin{eqnarray*}f_{n}\left( \left( 0,1\right) \right) &=&\left\{ f_{n}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&\left\{ \frac{n}{nx+1}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&\left( \frac{n}{n+1},n\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\forall x\in \left( 0,1\right) :\frac{n}{n+1}\leq f_{n}\left( x\right) \leq n
\end{equation*}が成り立ち、したがって\(f_{n}\)は有界関数です。また、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は各点収束します。実際、点\(x\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{n}{nx+1}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{x+\frac{1}{n}}\right) \\
&=&\frac{1}{x} \\
&\in &\mathbb{R} \quad \because x\in \left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{f_{n}\right\} \)は各点収束し、極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めます。その一方で、この極限関数\(f\)は有界ではありません。実際、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left( 0,1\right) \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&\left( 1,+\infty \right)
\end{eqnarray*}であり、これは\(\mathbb{R} \)上の有界集合ではありません。

関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を一般項とする関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられているものとする。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が有界であるとともに関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束する一方で\(f\)は有界関数ではない場合、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束しない。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left(0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{n}{nx+1}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。先に示したように、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は有界かつ各点収束するとともに、その極限関数\(f\)は有界ではありません。したがって、先の命題より\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束しません（演習問題）。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left(0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{n}{nx+1}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。本文中で示したように、この関数列は有界であるとともに各点収束し、極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めます。その一方で、\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様収束しないことを、一様収束の定義にもとづいて示してください。