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関数列

収束関数列と有界関数列の関係

目次

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有界な関数列

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有界であることとは、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上の有界集合であることとして定義されます。つまり、\(f\)が有界であることは、以下の条件\begin{equation*}\exists M\geq 0,\ \forall x\in X:\left\vert f\left( x\right) \right\vert
\leq M
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられている状況を想定します。つまり、この関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の一般項は\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素である関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} ,\ \exists M\geq 0,\ \forall x\in X:\left\vert f_{n}\left( x\right)
\right\vert \leq M
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は有界である(bounded)と言います。

 

一様収束する有界関数列の極限関数は有界

定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ一様収束することは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が有界であるとともに一様収束する場合、その極限関数\(f\)もまた有界関数であることが保証されます。

命題(一様収束する有界関数列の極限関数は有界)
関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を一般項とする関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられているものとする。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が有界であるとともに関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ一様収束するならば、\(f\)もまた有界関数である。
証明

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例(一様収束する有界関数列の極限関数は有界)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{\sin \left( nx\right) }{n}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は有界です。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、関数\(f_{n}\)に関して、\begin{equation*}-1\leq \sin \left( nx\right) \leq 1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\frac{1}{n}\leq \frac{\sin \left( nx\right) }{n}\leq \frac{1}{n}
\end{equation*}が成り立つからです。また、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は一様収束します。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在します。実際、任意の\(x\in \mathbb{R} \)および\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}\right\vert \leq \frac{1}{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-0\right\vert \leq \frac{1}{n}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。そこで、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation}\forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right) \right\vert
\leq \frac{1}{n} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\frac{1}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす番号\(N\in \mathbb{N} \)を選べば、任意の\(x\in \mathbb{R} \)および\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}n\geq N &\Rightarrow &\frac{1}{n}\leq \frac{1}{N} \\
&\Rightarrow &\frac{1}{n}<\varepsilon \quad \because \left( 3\right) \\
&\Rightarrow &\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right)
\right\vert \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。したがって、先の命題より極限関数\(f\)は有界であるはずです。実際、\(f\)は定数関数であるため有界であり、これは先の命題の主張と整合的です。

 

各点収束する有界関数列の極限関数は有界であるとは限らない

定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束することは、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が有界であるとともに各点収束する場合でも、その極限関数\(f\)は有界関数であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(各点収束する有界関数列の極限関数は有界であるとは限らない)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left(0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{n}{nx+1}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は有界です。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、関数\(f_{n}\)の値域は、\begin{eqnarray*}f_{n}\left( \left( 0,1\right) \right) &=&\left\{ f_{n}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&\left\{ \frac{n}{nx+1}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&\left( \frac{n}{n+1},n\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\forall x\in \left( 0,1\right) :\frac{n}{n+1}\leq f_{n}\left( x\right) \leq n
\end{equation*}が成り立ち、したがって\(f_{n}\)は有界関数です。また、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は各点収束します。実際、点\(x\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{n}{nx+1}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{x+\frac{1}{n}}\right) \\
&=&\frac{1}{x} \\
&\in &\mathbb{R} \quad \because x\in \left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{f_{n}\right\} \)は各点収束し、極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めます。その一方で、この極限関数\(f\)は有界ではありません。実際、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}f\left( \left( 0,1\right) \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,1\right) \right\} \\
&=&\left( 1,+\infty \right)
\end{eqnarray*}であり、これは\(\mathbb{R} \)上の有界集合ではありません。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が有界であるとともに各点収束する一方で、その極限関数\(f\)が有界ではない状況を想定します。この場合、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束しません。なぜなら、そのような関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様収束するものと仮定した場合、先の命題より極限関数\(f\)もまた有界であり、これは\(f\)が有界ではないことと矛盾するからです。

命題(各点収束する有界関数列が一様収束しない場合)
関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を一般項とする関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられているものとする。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が有界であるとともに関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束する一方で\(f\)は有界関数ではない場合、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束しない。
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例(各点収束する有界関数列が一様収束しない場合)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left(0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{n}{nx+1}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。先に示したように、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は有界かつ各点収束するとともに、その極限関数\(f\)は有界ではありません。したがって、先の命題より\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束しません(演習問題)。

 

演習問題

問題(各点収束する有界関数列が一様収束しない場合)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left(0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{n}{nx+1}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。本文中で示したように、この関数列は有界であるとともに各点収束し、極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めます。その一方で、\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様収束しないことを、一様収束の定義にもとづいて示してください。
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関連知識

各点収束する関数列

関数列が各点収束することの意味を定義するとともに、その場合の関数列の極限、すなわち極限関数を具体的に特定する方法を解説します。