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各点コーシー列(関数列が各点収束することの判定)

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各点コーシー列(関数列が各点収束であることの判定)

定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられている状況を想定します。つまり、この関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の一般項は\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が各点収束することとは、任意の\(x\in X\)について数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)が有限な実数へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つこととして定義されます。このとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これを極限関数と呼びます。その上で、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は極限関数\(f\)へ各点収束すると言い、そのことを、\begin{equation*}f_{n}\rightarrow f\quad \text{pointwise}
\end{equation*}で表記します。イプシロン・エヌ論法を用いた数列の極限の定義を踏まえると、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が極限関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束することは、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

実数空間\(\mathbb{R} \)上の数列を議論の対象とした場合、数列が収束数列であることと、その数列がコーシー列であることは必要十分です。したがって、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が各点収束することと、任意の\(x\in X\)について数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right)\right\} \)がコーシー列であることは必要十分になります。コーシー列の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{m}\left( x\right)
-f_{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。任意の\(x\in X\)について数列\(\left\{ f_{n}\left(x\right) \right\} \)がコーシー列である場合、もとの関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点コーシーである(pointwise Cauchy)であると言います。以上の議論より、関数列が各点収束することと、その関数列が各点コーシーであることは必要十分であることが明らかになりました。

命題(各点収束列と各点コーシー列の関係)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が各点収束することと、\(\left\{f_{n}\right\} \)が各点コーシーであることは必要十分である。
証明

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イプシロン・エヌ論法を用いた各点収束の定義\begin{equation*}
\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}の中には極限関数\(f\)が登場する一方、各点コーシーの定義\begin{equation*}\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{m}\left( x\right)
-f_{n}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}の中には極限関数\(f\)は登場しません。各点コーシーの概念を利用すれば、極限関数\(f\)の存在を前提としない形で関数列が各点収束であることを表現できるということです。また、数列\(\left\{f_{n}\left( x\right) \right\} \)が有限な実数へ収束することを示すことよりも、この数列がコーシー列であることを示すことのほうが容易である場合にも、上の命題は有用です。

例(各点コーシー列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left[0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{x^{2}}{n}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。点\(x\in \left[ 0,1\right] \)を選んで固定すれば、数列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} =\left\{ \frac{x^{2}}{n}\right\}
\end{equation*}が得られます。\(x=0\)の場合の数列は、\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( 0\right) \right\} =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}という定数数列であるため、これはコーシー列です。\(x\in (0,1]\)の場合の数列は、\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} =\left\{ \frac{x^{2}}{n}\right\}
\end{equation*}です。これがコーシー列であることを示します。具体的には、\begin{eqnarray*}
\left\vert f_{m}\left( x\right) -f_{n}\left( x\right) \right\vert
&=&\left\vert \frac{x^{2}}{m}-\frac{x^{2}}{n}\right\vert \\
&\leq &\left\vert \frac{x^{2}}{m}\right\vert +\left\vert \frac{x^{2}}{n}\right\vert \\
&=&\frac{x^{2}}{m}+\frac{x^{2}}{n}\quad \because x\in (0,1] \end{eqnarray*}であることを踏まえると、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}N>\frac{2x^{2}}{\varepsilon }
\end{equation*}を満たす\(N\in \mathbb{N} \)をとれば、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす任意の\(m,n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert f_{m}\left( x\right) -f_{n}\left( x\right) \right\vert &\leq &\frac{x^{2}}{m}+\frac{x^{2}}{n} \\
&<&\frac{\varepsilon N}{2m}+\frac{\varepsilon N}{2n}\quad \because N>\frac{2x^{2}}{\varepsilon } \\
&\leq &\frac{\varepsilon N}{2N}+\frac{\varepsilon N}{2N}\quad \because m\geq
N,n\geq N \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left\{f_{n}\left( x\right) \right\} \)はコーシー列です。以上より、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点コーシー列であることが明らかになりました。したがって、先の命題より\(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点収束します。実際、\(x=0\)の場合の数列\(\left\{ f_{n}\left( 0\right) \right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( 0\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるとともに、\(x\in (0,1]\)の場合の数列\(\left\{ f_{n}\left(x\right) \right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{x^{2}}{n}\right) \\
&=&\frac{x^{2}}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点収束することが明らかになりました。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
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