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関数列

各点収束する関数列

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関数列の極限関数(各点収束する関数列)

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)とは無限個の実数を順番に並べたもの\begin{equation*}x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\cdots
\end{equation*}ですが、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)がある有限な実数\(a\)へ限りなく近づく場合、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は実数\(a\)に収束するといい、そのことを、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{equation*}で表記します。また、このような実数\(a\)を数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と呼びます。また、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が実数\(a\)へ収束することをイプシロン・エヌ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。

一方、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)とは定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する無限個の関数を順番に並べたもの\begin{equation*}f_{1},f_{2},\cdots ,f_{n},\cdots
\end{equation*}ですが、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の極限を何らかの形で定義できるでしょうか。1つの考え方は、\(n\)が大きくなるにつれて関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の項である関数\(f_{n}\)がある関数\(f\)へ限りなく近づくのであれば、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の極限は\(f\)であるものとみなす、というものです。この場合、関数\(f_{n}\)が関数\(f\)へ近づくことをどのように定義するかが問題になります。関数である\(f_{n}\)と\(f\)が等しいこととは、任意の\(x\in X\)に対して\(f_{n}\left( x\right) =f\left( x\right) \)が成り立つこととして定義されます。したがって、点\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(n\)が大きくなるにつれて\(f_{n}\left(x\right) \)が\(f\left( x\right) \)へ限りなく近づくのであれば、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の項である関数\(f_{n}\)は関数\(f\)へ限りなく近づくと言えそうです。以上の考え方をもとに、関数列の極限を以下で定義します。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の項であるすべての関数\begin{equation*}f_{1},f_{2},f_{3},\cdots
\end{equation*}は定義域\(X\)を共有するため、定義域上の点\(x\in X\)を選んで固定すると、これらの関数\(f_{1},f_{2},f_{3},\cdots \)が先の点\(x\)に対して定める値を項とする数列\begin{equation*}f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,f_{3}\left( x\right) ,\cdots
\end{equation*}を得ることができます。つまり、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)と点\(x\in X\)が与えられれば、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を一般項として持つ数列\begin{equation*}
\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}が定義可能です。

繰り返しになりますが、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)と点\(x\in X\)が与えられれば数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)を得られます。数列\(\left\{ f_{n}\left(x\right) \right\} \)が得られれば、それが有限な実数へ収束するか検討できます。数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right)\right\} \)が有限な実数へ収束する場合、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、もとの関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は点\(x\in X\)において各点収束する(pointwise convergent at \(x\))と言います。

選ぶ点\(x\in X\)を変えればそれに応じて異なる数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)が得られますが、それらの数列の中には有限な実数へ収束するものとそうでないものが存在する可能性があります。そこで、数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)が有限な実数へ収束するような点\(x\in X\)をすべて集めてできる集合、すなわち関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が各点収束であるような点\(x\in X\)をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}A=\left\{ x\in X\ |\ \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}で表記します。\(A\subset X\)です。\(A\)上の任意の点\(x\)において関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は各点収束であるため、そのことを指して\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(A\)上で各点収束する(pointwise convergent on \(A\))と言います。特に、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(X\)上の任意の点において各点収束する場合には、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点収束する(pointwise convergent)と言います。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(A\subset X\)上で各点収束である場合には、任意の\(x\in A\)に対して\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left(x\right) \)は有限な実数として定まることが保証されるため、それぞれの\(x\in A\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。つまり、点\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(n\)が大きくなるにつれて\(f_{n}\left(x\right) \)は\(f\left( x\right) \)へ限りなく近づくため、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素である関数\(f_{1},f_{2},f_{3},\cdots \)が共有する定義域を\(X\)から\(A\)に制限した場合、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の項である関数\(f_{n}\)は関数\(f\)へ限りなく近づくと言えます。このような事情を踏まえた上で、この関数\(f\)を極限関数(limit function)と呼びます。その上で、関数\(f\)が関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の極限関数であることを、\begin{equation*}f_{n} \rightarrow f\quad \text{pointwise}
\end{equation*}で表記します。以上が各点収束という収束概念にもとづく関数列の極限の定義です。

各点収束および極限関数の定義を踏まえると、定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が点\(x\in X\)において各点収束であることとは、極限関数\(f:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(x\)において定義されているとともに、数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)が有限な実数へ収束し、さらにその極限が\(f\left(x\right) \)と一致すること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) =f\left(
x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことを意味します。イプシロン・エヌ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。

以上を踏まえた上で改めて整理すると、定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束すること、すなわち、\begin{equation*}f_{n}\rightarrow f\quad \text{pointwise}
\end{equation*}が成り立つことは、以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

例(各点収束する関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left[0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{x}{n+1}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。点\(x\in \left[ 0,1\right] \)を選んで固定すれば、数列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} =\left\{ \frac{x}{n+1}\right\}
\end{equation*}が得られますが、この数列に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{x}{n+1}\right) \\
&=&\frac{x}{+\infty } \\
&=&0 \\
&\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}となるため、もとの関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は点\(x\)において各点収束です。\(\left[ 0,1\right] \)上の任意の点\(x\)において同様であるため、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(\left[ 0,1\right] \)上で各点収束であることが明らかになりました。極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) \quad
\because \text{極限関数の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}です。

例(各点収束する関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left[0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。点\(x\in \left[ 0,1\right] \)を選んで固定すれば、数列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} =\left\{ x^{n}\right\}
\end{equation*}が得られます。特に、\(x=1\)については、\begin{eqnarray*}\left\{ f_{n}\left( 1\right) \right\} &=&\left\{ 1^{n}\right\} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( 1\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }1 \\
&=&1 \\
&\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}を得ます。つまり、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は点\(1\)において各点収束です。一方、\(x\in \lbrack 0,1)\)を満たす\(x\)については、\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} =\left\{ x^{n}\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x^{n} \\
&=&0\quad \because x\in \lbrack 0,1) \\
&\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}を得ます。つまり、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は点\(x\)において各点収束です。以上より、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(\left[ 0,1\right] \)上で各点収束であることが明らかになりました。極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) \quad
\because \text{極限関数の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=1\right) \\
0 & \left( if\ x\in \lbrack 0,1)\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。

 

関数列は各点収束するとは限らない

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。この場合、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は定義域\(X\)上の任意の点において各点収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(各点収束しない関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left[0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =nx
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。点\(x\in \left[ 0,1\right] \)を選んで固定すれば、数列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} =\left\{ nx\right\}
\end{equation*}が得られます。特に、\(x=0\)については、\begin{eqnarray*}\left\{ f_{n}\left( 0\right) \right\} &=&\left\{ n\cdot 0\right\} \\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( 0\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }0 \\
&=&0 \\
&\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}を得ます。つまり、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は点\(0\)において各点収束です。一方、\(x\in (0,1]\)を満たす\(x\)については、\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} =\left\{ nx\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }nx \\
&=&x\lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&x\cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty \quad \because x\in (0,1] \end{eqnarray*}を得ます。つまり、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は点\(x\)において各点収束ではありません。以上より、\(\left\{f_{n}\right\} \)は点\(0\)においてのみ各点収束であることが明らかになりました。極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}f\left( 0\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( 0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}を定めます。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点収束な点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(各点収束しない関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left(0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =nx
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。点\(x\in \left( 0,1\right) \)を選んで固定すれば、数列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} =\left\{ nx\right\}
\end{equation*}が得られます。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }nx \\
&=&x\lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&x\cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty \quad \because x\in \left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は点\(x\)において各点収束ではありません。\(\left( 0,1\right) \)上の任意の点において同様であるため、\(\left\{ f_{n}\right\} \)が各点収束な点は存在せず、したがって極限関数\(f\)は定義不可能です。

 

関数列の極限の一意性

関数列の収束概念として各点収束を採用した上で、関数列の極限関数が存在する場合、それは1つの関数として定まります。言い換えると、関数列が異なる複数の関数へ各点収束することはありません。

命題(関数列の極限の一意性)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が各点収束する場合、その極限関数は一意的である。
証明

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演習問題

問題(各点収束する関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left(0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{n}{nx+1}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が各点収束する点および極限関数を特定してください。
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問題(各点収束する関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left[-1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\sqrt{\frac{nx^{2}+1}{n}}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が各点収束する点および極限関数を特定してください。
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問題(各点収束する関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left[0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{2nx}{e^{nx^{2}}}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が各点収束する点および極限関数を特定してください。
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