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関数列

一様収束する関数列

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一様収束する関数列

定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられている状況を想定します。つまり、この関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の一般項は\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。定義域上の点\(x\in X\)を選べば関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)から数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right)\right\} \)が得られますが、この数列が有限な実数へ収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、もとの関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は点\(x\in X\)において各点収束すると言います。特に、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(X\)上の任意の点において各点収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、もとの関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は各点収束すると言います。この場合、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であるため、これを関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の極限関数と呼びます。その上で、関数列の収束概念として各点収束を採用した際に関数\(f\)が関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の極限関数であることを、\begin{equation*}f_{n}\rightarrow f\quad \text{pointwise}
\end{equation*}で表記します。

繰り返しになりますが、定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束することとは、任意の\(x\in X\)について数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)が有限な実数\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) =f\left(
x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことを意味しますが、数列の極限の定義より、イプシロン・エヌ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。つまり、定義域上の点\(x\in X\)を任意に選んだ上で、\(f_{n}\left( x\right) \)と\(f\left( x\right) \)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、ある番号\(N\)以上の任意の\(n\)について\(f_{n}\left( x\right) \)と\(f\left(x\right) \)の間の距離が\(\varepsilon \)より小さくなることが保証されるということです。

点\(x\in X\)が変われば数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)および実数\(f\left( x\right) \)もまた変化するため、\(f_{n}\left( x\right) \)と\(f\left(x\right) \)の間の距離\(\varepsilon \)を選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす\(N\)の水準もまた点\(x\in X\)に依存して変化します。例えば、ある点\(x\in X\)のもとでの数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)が急速に実数\(f\left( x\right) \)へ収束するのであれば、\(n\)が小さい段階においても\(f_{n}\left( x\right) \)と\(f\left( x\right) \)の差が小さいため、\(N\)として小さい値をとることができます。逆に、別の点\(x\in X\)のもとでは数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)はゆっくりと実数\(f\left( x\right) \)へ収束するのであれば、\(n\)が小さい段階において項\(f_{n}\left( x\right) \)と\(f\left(x\right) \)の差が大きいため、\(N\)として大きい値をとる必要があります。

一方、\(f_{n}\left( x\right) \)と\(f\left( x\right) \)の間の距離\(\varepsilon \)を任意に選んだとき、点\(x\in X\)の選び方とは関係なく、ある番号\(N\)以上の任意の\(n\)について\(f_{n}\left( x\right) \)と\(f\left( x\right) \)の間の距離が\(\varepsilon \)より小さくなることが保証される場合には、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(X\)上において関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ一様収束する(converges uniformly)と言い、そのことを、\begin{equation*}f_{n}\rightarrow f\quad \text{uniformly}
\end{equation*}で表記します。

繰り返しになりますが、定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束することは、\begin{equation}\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味する一方、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ一様収束することは、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを意味しますが、両者の違いは量化記号\begin{equation*}
\forall x\in X
\end{equation*}の相対的な位置だけです。各点収束の定義\(\left( 1\right) \)において\(\forall x\in X\)は\(\exists n\in \mathbb{N} \)よりも前に置かれているため、\(\left( 1\right) \)を満たす\(N\)の水準は点\(x\)の位置に依存します。点\(x\)が変われば\(\left( 1\right) \)を満たす\(N\)の値もまた変化するということです。一方、一様収束の定義\(\left( 2\right) \)において\(\forall x\in X\)は\(\exists N\in \mathbb{N} \)よりも後に置かれているため、\(\left( 2\right) \)を満たす\(N\)の水準は点\(x\)のとり方に依存しません。点\(x\)が変わっても\(\left( 2\right) \)を満たす\(N\)の値は変化しないということです。したがって、\(\left( 2\right) \)中の\(N\)に課される制約は\(\left( 1\right) \)中の\(N\)に課される制約よりも厳しいため、\(\left( 2\right) \)を満たす\(N\)は必然的に\(\left(1\right) \)を満たします。つまり、\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合には\(\left( 1\right) \)もまた成り立つこと、すなわち、一様収束する関数列は各点収束するということです。各点収束と一様収束の関係については場を改めて解説します。

以下は一様収束する関数列の例です。

例(一様収束する関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{\sin \left( nx\right) }{n}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列が\(\mathbb{R} \)上で一様収束することを示します。具体的には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在することを示すことが目標です。任意の\(x\in \mathbb{R} \)および\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}\right\vert \leq \frac{1}{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-0\right\vert \leq \frac{1}{n}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。そこで、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation}\forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right) \right\vert
\leq \frac{1}{n} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\frac{1}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす番号\(N\in \mathbb{N} \)を選べば、任意の\(x\in \mathbb{R} \)および\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}n\geq N &\Rightarrow &\frac{1}{n}\leq \frac{1}{N} \\
&\Rightarrow &\frac{1}{n}<\varepsilon \quad \because \left( 3\right) \\
&\Rightarrow &\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right)
\right\vert \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

関数列は一様収束するとは限らない

定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ一様収束することは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。したがって、\(f\)が一様収束しないこととは、以上の条件を満たす関数\(f\)が存在しないこと、すなわち、任意の関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists x\in X,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\wedge \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

例(一様収束しない関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left[0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =nx
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列が\(\left[ 0,1\right] \)上で一様収束しないことを示します。具体的には、任意の関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists x\in \left[ 0,1\right] ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\wedge \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists x\in \left[ 0,1\right] ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\wedge \left\vert nx-f\left( x\right) \right\vert \geq
\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを示すことが目標です。\(x=1\)に注目したとき、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\wedge \left\vert n-f\left( 1\right) \right\vert \geq
\varepsilon \right)
\end{equation*}を得ます。これを示します。そこで、\begin{equation}
0<\varepsilon <1 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\varepsilon \)に注目します。\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation}n\geq \max \left\{ f\left( 1\right) +1,N\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(n\in \mathbb{N} \)をとると、\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}n\geq N
\end{equation*}が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}
\left\vert n-f\left( 1\right) \right\vert &\geq &\left\vert f\left(
1\right) +1-f\left( 1\right) \right\vert \quad \because \left( 2\right) \\
&=&1 \\
&>&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

関数列の極限の一意性

関数列の収束概念として一様収束を採用した上で、関数列の極限関数が存在する場合、それは1つの関数として定まります。言い換えると、関数列が異なる複数の関数へ一様収束することはありません。

命題(関数列の極限の一意性)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様収束する場合、その極限関数は一意的である。
証明

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演習問題

問題(一様収束する関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{\cos \left( nx\right) }{n}-1
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列が\(\mathbb{R} \)上で一様収束することを示してください。
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問題(一様収束しない関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left[-1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\cos \left( \frac{n\pi }{1+x^{2}}\right)
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列が\(\left[ -1,1\right] \)上で一様収束しないことを示してください。
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