等差級数
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、定数\(a,d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=a+\left( n-1\right) d
\end{equation*}として表される場合、このような数列を等差数列（arithmetic progression）と呼びます。等差数列の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&a \\
x_{2} &=&a+d \\
x_{3} &=&a+2d \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。つまり、等差数列とは初項が\(a\)であり、なおかつ隣り合う項が共通の差\(d\)を持つ数列です。この\(d\)を公差（common difference）と呼びます。
等差数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\left[ a+\left( n-1\right) d\right] \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\\
&=&a+\left( a+d\right) +\left( a+2d\right) +\cdots
\end{eqnarray*}となりますが、このような無限級数を等差級数（arithmetic series）と呼びます。
&=&-1+2n
\end{eqnarray*}です。この数列の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\left( -1+2n\right) \\
&=&1+3+5+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、これは等差級数です。
&=&1-2n
\end{eqnarray*}です。この数列の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\left( 1-2n\right) \\
&=&-1-3-5-\cdots
\end{eqnarray*}ですが、これは等差級数です。
&=&a
\end{eqnarray*}です。この数列の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }a \\
&=&a+a+a+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、これは等差級数です。つまり、定数級数は特別な等差級数であるということです。
等差級数の収束可能性と発散可能性
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が等差数列であるものとします。つまり、その一般項が、定数\(a,d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=a+\left( n-1\right) d
\end{equation*}と表されるということです。この数列の部分和は、\begin{equation*}
s_{n}=\frac{n\left[ 2a+\left( n-1\right) d\right] }{2}
\end{equation*}であることを踏まえた上で、等差級数の収束可能性を検討します。
等差数列の初項と公差がともに\(0\)である場合、等差級数は収束します。
\end{equation*}と表されるものとする。以下の条件\begin{equation*}
a=d=0
\end{equation*}が成り立つ場合には無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するとともに、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=0
\end{equation*}となる。
等差数列の初項と公差の少なくとも一方が\(0\)ではない場合、等差級数は発散します。
\end{equation*}と表されるものとする。以下の条件\begin{equation*}
a\not=0\vee d\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には無限級数\(\sum x_{n}\)は発散する。
&=&-1+2n
\end{eqnarray*}です。\(1\)と\(2\)はともに\(0\)とは異なるため、先の命題より、無限級数\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\left( -1+2n\right) \\
&=&1+3+5+\cdots
\end{eqnarray*}は発散します。
&=&1-2n
\end{eqnarray*}です。\(-1\)と\(-2\)はともに\(0\)とは異なるため、先の命題より、無限級数\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\left( 1-2n\right) \\
&=&-1-3-5-\cdots
\end{eqnarray*}は発散します。
&=&a
\end{eqnarray*}です。\(a=0\)の場合、先の命題より、無限級数\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }a \\
&=&a+a+a+\cdots
\end{eqnarray*}は収束するとともに、その和は、\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=0
\end{equation*}となります。一方、\(a\not=0\)の場合、先の命題より、無限級数\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }a \\
&=&a+a+a+\cdots
\end{eqnarray*}は発散します。
演習問題
x_{10} &=&67
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
s_{11} &=&55
\end{eqnarray*}を満たすものとします。無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1-n}{3}
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
