等比級数（幾何級数）とその収束可能性

等比級数（幾何級数）

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、定数\(a,r\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=ar^{n-1}
\end{equation*}として表される場合、このような数列を等比数列（geometric progression）や幾何数列と呼びます。等比数列の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&a \\
x_{2} &=&ar \\
x_{3} &=&ar^{2} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。つまり、等比数列とは初項が\(a\)であり、なおかつ隣り合う項が共通の比\(r\)を持つ数列です。この\(r\)を公比（common ratio）と呼びます。

等比数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }ar^{n-1}\quad \because
\left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&a+ar+ar^{2}+\cdots
\end{eqnarray*}となりますが、このような無限級数を等比級数（geometric series）と呼びます。

等比級数の収束可能性と発散可能性

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が等比数列であるものとします。つまり、その一般項が、定数\(a,r\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=ar^{n-1}
\end{equation*}と表されるということです。この数列の部分和は、\begin{equation*}
s_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
\dfrac{a\left( 1-r^{n}\right) }{1-r} & \left( if\ r\not=1\right) \\
na & \left( if\ r=1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}であることを踏まえた上で、等比級数の収束可能性を検討します。

等比数列の初項が\(0\)である場合、等比級数は収束します。

等比数列の初項が\(0\)ではない場合、等比級数が収束するための条件および和は以下の通りです。

等比数列の初項が\(0\)ではない場合、等比級数が発散するための条件は以下の通りです。

演習問題