正項級数に関する積分判定法
以下の2つの条件を満たす無限級数\(\sum x_{n}\)が与えられた状況を想定します。
1つ目の条件は、\(\sum x_{n}\)が正項級数であるということ、つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq 0
\end{equation*}が成り立つということです。
2つ目の条件は、\(\sum x_{n}\)のもととなる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が単調減少数列(単調非増加数列)であるということ、つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq x_{n+1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3}\geq \cdots
\end{equation*}が成り立つということです。
以上の条件を満たす無限級数\(\sum x_{n}\)に対して、以下の4つの条件を満たす関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \lbrack 1,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を選定します。
1つ目の条件は、関数\(f\)がそれぞれの番号\(n\)に対して定める値\(f\left( x\right) \)は数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(n\)項と一致するということ、つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :f\left( n\right) =x_{n}
\end{equation*}が成り立つということです。
2つ目の条件は、\(f\)が非負値をとるということ、つまり、\begin{equation*}\forall x\in \lbrack 1,+\infty ):f\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つということです。この条件は数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正項級数であることと整合的です。
3つ目の条件は、\(f\)が単調減少関数(単調非増加関数)であるということ、つまり、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \lbrack 1,+\infty ):\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow
f\left( x\right) \geq f\left( x^{\prime }\right) \right]
\end{equation*}が成り立つということです。この条件は数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調減少であることと整合的です。
4つ目の条件は、\(f\)が定義域\([1,+\infty )\)上において連続であるということです。この場合、\(1<t\)を満たす\(t\in \mathbb{R} \)としてどのような値を選んだ場合でも、関数\(f\)は有界閉区間\(\left[1,t\right] \)上で連続になります。連続関数はリーマン積分可能であるため、関数\(f\)の区間\(\left[1,t\right] \)上での不定積分\begin{equation*}\int_{1}^{t}f\left( x\right) dx
\end{equation*}が必ず有限な実数として定まります。以上の仮定のもとでは、\(1<t\)を満たす任意の\(t\in \mathbb{R} \)について定積分\(\int_{1}^{t}f\left( x\right) dx\)が有限な実数として定まることが保証されるため、\(t\rightarrow +\infty \)の場合の極限\begin{equation}\lim_{t\rightarrow +\infty }\int_{1}^{t}f\left( x\right) dx \quad \cdots (1)
\end{equation}をとることができます。極限\(\left( 1\right) \)が有限な実数として定まるのであれば、\(f\)は\([1,+\infty )\)上において広義積分可能であると言い、この場合には極限\(\left(1\right) \)を、\begin{equation*}\int_{1}^{+\infty }f\left( x\right) dx=\lim_{t\rightarrow +\infty
}\int_{1}^{t}f\left( x\right) dx
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の\([1,+\infty )\)上での広義積分と呼びます。一方、極限\(\left( 1\right) \)が有限な実数として定まらない場合には、\(f\)は\([1,+\infty )\)上において広義積分可能ではないと言います。
以上の諸条件を満たす無限級数\(\sum x_{n}\)とそれに対応する関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 1,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)が\([1,+\infty )\)上において広義積分可能である場合には、\(\sum x_{n}\)は有限な実数へ収束します。逆に、\(f\)が\([1,+\infty )\)上において広義積分可能ではない場合には、\(\sum x_{n}\)は発散します。これを積分判定法(integral test)と呼びます。
&&\left( a_{2}\right) \ \left\{ x_{n}\right\} \text{は単調減少数列である}
\end{eqnarray*}を満たし、関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 1,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( b_{1}\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :f\left( n\right) =x_{n} \\
&&\left( b_{2}\right) \ f\text{は非負値をとる} \\
&&\left( b_{3}\right) \ f\text{は単調減少関数である} \\
&&\left( b_{4}\right) \ f\text{は連続関数である}
\end{eqnarray*}を満たすものとする。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ f\text{は}[1,+\infty )\text{上で広義積分可能}\Rightarrow
\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\text{は収束する} \\
&&\left( B\right) \ f\text{は}[1,+\infty )\text{上で広義積分不可能}\Rightarrow
\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{2}}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots
\end{equation*}の収束可能性を判定します。この無限級数のもととなる数列\(\left\{ \frac{1}{n^{2}}\right\} \)は非負値をとる単調減少数列です。関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 1,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack 1,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。すると、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :f\left( n\right) =x_{n}
\end{equation*}が成り立つとともに、\(f\)は非負値をとる連続な単調減少関数です。\(t>1\)を満たす\(t\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{1}^{t}f\left( x\right) dx &=&\int_{1}^{t}\frac{1}{x^{2}}dx\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left[ -\frac{1}{x}\right] _{1}^{t} \\
&=&-\frac{1}{t}+1
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{t\rightarrow +\infty }\int_{1}^{t}f\left( x\right) dx
&=&\lim_{t\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{t}+1\right) \\
&=&0+1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、積分判定法より無限級数\(\sum \frac{1}{n^{2}}\)は収束します。
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots
\end{equation*}の収束可能性を判定します。この無限級数のもととなる数列\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)は非負値をとる単調減少数列です。関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 1,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack 1,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。すると、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :f\left( n\right) =x_{n}
\end{equation*}が成り立つとともに、\(f\)は非負値をとる連続な単調減少関数です。\(t>1\)を満たす\(t\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{1}^{t}f\left( x\right) dx &=&\int_{1}^{t}\frac{1}{x}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ \ln \left( x\right) \right] _{1}^{t} \\
&=&\ln \left( t\right) -\ln \left( 1\right) \\
&=&\ln \left( t\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{t\rightarrow +\infty }\int_{1}^{t}f\left( x\right) dx
&=&\lim_{t\rightarrow +\infty }\ln \left( t\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、積分判定法より無限級数\(\sum \frac{1}{n}\)は発散します。
\(p\)-級数の収束判定(\(p\)-テスト)
正の実数\(p>0\)を用いて、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{p}}=1+\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3^{p}}+\cdots
\end{equation*}と定義される無限級数を\(p\)-級数(\(p\)-series)と呼びます。
&&\left( B\right) \ p\leq 1\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{p}}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
演習問題
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{n}{1+n^{2}}
\end{equation*}は収束するでしょうか。判定してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{10}}
\end{equation*}は収束するでしょうか。判定してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{\frac{1}{10}}}
\end{equation*}は収束するでしょうか。判定してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{n}}
\end{equation*}は収束するでしょうか。判定してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{\sqrt[3]{n}}
\end{equation*}は収束するでしょうか。判定してください。
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