WIIS

級数

ダランベールの判定法を用いたベキ級数の収束半径の特定

目次

Mailで保存
Xで共有

ベキ級数の収束半径とダランベールの判定法

数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)が与えられれば、これを係数とする原点まわりのベキ級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots
\end{equation*}が得られます。このベキ級数の収束可能性は\(x\in \mathbb{R} \)の値の選び方に依存します。ただし、以下の条件\begin{equation*}0\leq R\leq +\infty
\end{equation*}を満たす拡大実数\(R\in \overline{\mathbb{R} }\)が存在して、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \left\vert x\right\vert <R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{は絶対収束する} \\
&&\left( B\right) \ \left\vert x\right\vert >R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことが明らかになりました。この値\(R\)をベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)の収束半径と呼びます。

ベキ級数に対しては収束半径が必ず定まることが明らかになりました。では、収束半径の水準を具体的に特定するためにはどうすればよいでしょうか。ダランベールの判定法を用いることにより以下が導かれます。

命題(ベキ級数の収束半径とダランベールの判定法)
数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)の項がいずれも非ゼロである場合には数列\(\left\{\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert \right\} \)が定義可能である。この数列の極限を、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert =r
\end{equation*}と表記する。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ r\not=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}\frac{1}{r} \\
&&\left( B\right) \ r=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}+\infty \\
&&\left( C\right) \ r=+\infty \Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}0
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(ベキ級数の収束半径)
係数が\(\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ 1\right\} \)であるような原点まわりのベキ級数は、\begin{equation}\sum_{n=0}^{+\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{1}{1}\right\vert \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }1 \\
&=&1 \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は、\begin{equation*}R=\frac{1}{1}=1
\end{equation*}です。したがって、\(\left\vert x\right\vert <1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は絶対収束する一方で、\(\left\vert x\right\vert >1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は発散します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\sum_{n=0}^{+\infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{n} &=&1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots \\
\sum_{n=0}^{+\infty }\left( \frac{1}{3}\right) ^{n} &=&1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots
\end{eqnarray*}などは絶対収束する一方で、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=0}^{+\infty }2^{n} &=&1+2+4+8+\cdots \\
\sum_{n=0}^{+\infty }3^{n} &=&1+3+9+27+\cdots
\end{eqnarray*}などは発散します。ちなみに、\(x=1\)の場合の級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }1^{n}=1+1+1+1+\cdots
\end{equation*}ですが、これは発散します。また、\(x=-1\)の場合の級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}=1-1+1-1+\cdots
\end{equation*}ですが、これも発散します。したがって、\(\left( 1\right) \)が収束する\(x\)の範囲は、\begin{equation*}\left( -1,1\right)
\end{equation*}です。

例(ベキ級数の収束半径)
係数が\(\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ \frac{1}{n!}\right\} \)であるような原点まわりのベキ級数は、\begin{equation}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1}{n!}x^{n}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{24}x^{4}+\cdots \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{1}{\left( n+1\right) !}\frac{n!}{1}\right\vert \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n+1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は、\begin{equation*}R=+\infty
\end{equation*}です。したがって、任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は絶対収束します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1^{n}}{n!} &=&1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\cdots
\\
\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{2^{n}}{n!} &=&1+2+\frac{4}{2}+\frac{8}{6}+\cdots
\end{eqnarray*}などは絶対収束します。したがって、\(\left(1\right) \)が収束する\(x\)の範囲は、\begin{equation*}\left( -\infty ,+\infty \right)
\end{equation*}です。

例(ベキ級数の収束半径)
係数が\(\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ n!\right\} \)であるような原点まわりのベキ級数は、\begin{equation}\sum_{n=0}^{+\infty }n!x^{n}=1+x+2x^{2}+6x^{3}+24x^{4}+\cdots \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{\left( n+1\right) !}{n!}\right\vert \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( n+1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は、\begin{equation*}R=0
\end{equation*}です。したがって、\(x=0\)の場合にのみ\(\left( 1\right) \)は絶対収束します。

 

演習問題

問題(ベキ級数の収束半径)
以下のベキ級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n}x^{n}=x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+\cdots
\end{equation*}の収束半径を求めてください。その上で、このベキ級数が収束する\(x\)の範囲を特定してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(ベキ級数の収束半径)
以下のベキ級数\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{\left( x+3\right) ^{n}}{n!}=1+\left( x+3\right) +\frac{1}{2}\left( x+3\right) ^{2}+\cdots
\end{equation*}の収束半径を求めてください。その上で、このベキ級数が収束する\(x\)の範囲を特定してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(ベキ級数の収束半径)
以下のベキ級数\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{+\infty }nx^{n}=x+2x^{2}+3x^{3}+\cdots
\end{equation*}の収束半径を求めてください。その上で、このベキ級数が収束する\(x\)の範囲を特定してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録