ベキ級数の収束半径とダランベールの判定法
数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)が与えられれば、これを係数とする原点まわりのベキ級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots
\end{equation*}が得られます。このベキ級数の収束可能性は\(x\in \mathbb{R} \)の値の選び方に依存します。ただし、以下の条件\begin{equation*}0\leq R\leq +\infty
\end{equation*}を満たす拡大実数\(R\in \overline{\mathbb{R} }\)が存在して、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \left\vert x\right\vert <R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{は絶対収束する} \\
&&\left( B\right) \ \left\vert x\right\vert >R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことが明らかになりました。この値\(R\)をベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)の収束半径と呼びます。
ベキ級数に対しては収束半径が必ず定まることが明らかになりました。では、収束半径の水準を具体的に特定するためにはどうすればよいでしょうか。ダランベールの判定法を用いることにより以下が導かれます。
\end{equation*}と表記する。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ r\not=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}\frac{1}{r} \\
&&\left( B\right) \ r=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}+\infty \\
&&\left( C\right) \ r=+\infty \Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}0
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{1}{1}\right\vert \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }1 \\
&=&1 \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は、\begin{equation*}R=\frac{1}{1}=1
\end{equation*}です。したがって、\(\left\vert x\right\vert <1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は絶対収束する一方で、\(\left\vert x\right\vert >1\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は発散します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\sum_{n=0}^{+\infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{n} &=&1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots \\
\sum_{n=0}^{+\infty }\left( \frac{1}{3}\right) ^{n} &=&1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots
\end{eqnarray*}などは絶対収束する一方で、\begin{eqnarray*}
\sum_{n=0}^{+\infty }2^{n} &=&1+2+4+8+\cdots \\
\sum_{n=0}^{+\infty }3^{n} &=&1+3+9+27+\cdots
\end{eqnarray*}などは発散します。ちなみに、\(x=1\)の場合の級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }1^{n}=1+1+1+1+\cdots
\end{equation*}ですが、これは発散します。また、\(x=-1\)の場合の級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}=1-1+1-1+\cdots
\end{equation*}ですが、これも発散します。したがって、\(\left( 1\right) \)が収束する\(x\)の範囲は、\begin{equation*}\left( -1,1\right)
\end{equation*}です。
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{1}{\left( n+1\right) !}\frac{n!}{1}\right\vert \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n+1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は、\begin{equation*}R=+\infty
\end{equation*}です。したがって、任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は絶対収束します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1^{n}}{n!} &=&1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\cdots
\\
\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{2^{n}}{n!} &=&1+2+\frac{4}{2}+\frac{8}{6}+\cdots
\end{eqnarray*}などは絶対収束します。したがって、\(\left(1\right) \)が収束する\(x\)の範囲は、\begin{equation*}\left( -\infty ,+\infty \right)
\end{equation*}です。
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{\left( n+1\right) !}{n!}\right\vert \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( n+1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は、\begin{equation*}R=0
\end{equation*}です。したがって、\(x=0\)の場合にのみ\(\left( 1\right) \)は絶対収束します。
演習問題
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n}x^{n}=x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+\cdots
\end{equation*}の収束半径を求めてください。その上で、このベキ級数が収束する\(x\)の範囲を特定してください。
\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{\left( x+3\right) ^{n}}{n!}=1+\left( x+3\right) +\frac{1}{2}\left( x+3\right) ^{2}+\cdots
\end{equation*}の収束半径を求めてください。その上で、このベキ級数が収束する\(x\)の範囲を特定してください。
\sum_{n=0}^{+\infty }nx^{n}=x+2x^{2}+3x^{3}+\cdots
\end{equation*}の収束半径を求めてください。その上で、このベキ級数が収束する\(x\)の範囲を特定してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】