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ダランベールの判定法(正項級数の収束・発散判定)

目次

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正項級数に関するダランベールの判定法

無限級数\(\sum x_{n}\)が正項級数であることは、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq 0
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、以降ではさらに、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0
\end{equation*}を満たす無限級数に注目します。つまり、任意の項が非負ではなく正であるということです。この場合には、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の隣り合う項の比\begin{equation*}y_{n}=\frac{x_{n+1}}{x_{n}}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が定義可能です。その上で、この数列の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right)
\end{equation*}の値を観察することにより、もとの無限級数\(\sum x_{n}\)の収束可能性・発散可能性を以下のように判定できます。これをダランベールの判定法(D’Alembert’s ratio test)と呼びます。

命題(正項級数に関するダランベールの判定法)
以下の条件\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0
\end{equation*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、新たな数列\(\left\{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\} \)を定義する。その上で、その極限を、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right) =r
\end{equation*}と表記する。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 0\leq r<1\Rightarrow \text{無限級数}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は収束する} \\
&&\left( b\right) \ 1<r\leq +\infty \Rightarrow \text{無限級数}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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例(正項級数に関するダランベールの判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n!}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n!}>0
\end{equation*}が成り立つため、ダランベールの判定法を利用します。具体的には、\begin{eqnarray*}
\frac{x_{n+1}}{x_{n}} &=&\frac{\frac{1}{\left( n+1\right) !}}{\frac{1}{n!}}
\\
&=&\frac{n!}{\left( n+1\right) !} \\
&=&\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}であることを踏まえた上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n+1}\right) \\
&=&\frac{1}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。つまり、\begin{equation*}
0\leq \lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right) <1
\end{equation*}が成り立つため、ダランベールの判定法より、無限級数\(\sum x_{n}\)は収束することが明らかになりました。
例(正項級数に関するダランベールの判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{\left( 4n\right) !}{4^{n}n!}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=\frac{\left( 4n\right) !}{4^{n}n!}>0
\end{equation*}が成り立つため、ダランベールの判定法を利用します。具体的には、\begin{eqnarray*}
\frac{x_{n+1}}{x_{n}} &=&\frac{\frac{\left[ 4\left( n+1\right) \right] !}{4^{n+1}\left( n+1\right) !}}{\frac{\left( 4n\right) !}{4^{n}n!}} \\
&=&\frac{\left[ 4\left( n+1\right) \right] !}{4^{n+1}\left( n+1\right) !}\cdot \frac{4^{n}n!}{\left( 4n\right) !} \\
&=&\frac{\left( 4n+4\right) !}{4\left( n+1\right) }\cdot \frac{1}{\left(
4n\right) !} \\
&=&\frac{\left( 4n+4\right) \left( 4n+3\right) \left( 4n+2\right) \left(
4n+1\right) }{4\left( n+1\right) } \\
&=&\left( 4n+3\right) \left( 4n+2\right) \left( 4n+1\right)
\end{eqnarray*}であることを踏まえた上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 4n+3\right) \left( 4n+2\right) \left(
4n+1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。つまり、\begin{equation*}
1<\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right) \leq
+\infty
\end{equation*}が成り立つため、ダランベールの判定法より、無限級数\(\sum x_{n}\)は発散することが明らかになりました。

 

ダランベールの判定法が役に立たないケース

無限級数\(\sum x_{n}\)の任意の項が正である場合には、数列\(\left\{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\} \)の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right) =r
\end{equation*}を観察することにより、\(\sum x_{n}\)の収束可能性を判定できることが明らかになりました。具体的には、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\leq r<1\Rightarrow \text{無限級数}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は収束する} \\
&&\left( b\right) \ 1<r\leq +\infty \Rightarrow \text{無限級数}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。ただ、この判定法は\(r<0\)や\(r=1\)の場合、または\(r\)が存在しない場合について何も語っていません。したがって、これらの場合には、ダランベールの判定法から\(\sum x_{n}\)の収束可能性に関して何らかの結論を導くことはできません。順番に考えます。

まずは\(r<0\)の場合について考えます。数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の任意の項が\(x_{n}>0\)を満たす状況を想定しているため、数列\(\left\{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\} \)の任意の項もまた\(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}>0\)を満たします。したがって、数列の極限に関する比較定理より、この数列\(\left\{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\} \)が収束する場合には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right) \geq 0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
r\geq 0
\end{equation*}となることが保証されます。つまり、\(r<0\)であるような状況はそもそも起こり得ないということです。

続いて\(r=1\)の場合ですが、以下の例が示唆するように、この場合には無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合と発散する場合の双方が起こり得るため、ダランベールの判定法は役に立ちません。

まずは、\(r=1\)であるとともに無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する例を挙げます。

例(ダランベールの判定法が役に立たない場合)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n^{2}}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n^{2}}>0
\end{equation*}が成り立つため、ダランベールの判定法を利用します。具体的には、\begin{eqnarray*}
\frac{x_{n+1}}{x_{n}} &=&\frac{\frac{1}{\left( n+1\right) ^{2}}}{\frac{1}{n^{2}}} \\
&=&\frac{n^{2}}{\left( n+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1}
\end{eqnarray*}であることを踏まえた上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}\right) \\
&=&\frac{1}{1+0+0} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、ダランベールの判定法では無限級数\(\sum x_{n}\)の収束可能性を判定できません。ただ、比較判定を用いると、無限級数\(\sum x_{n}\)が収束することが示されます(演習問題)。

続いて、\(r=1\)であるとともに無限級数\(\sum x_{n}\)が発散する例を挙げます。

例(ダランベールの判定法が役に立たない場合)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=1
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=1>0
\end{equation*}が成り立つため、ダランベールの判定法を利用します。具体的には、\begin{eqnarray*}
\frac{x_{n+1}}{x_{n}} &=&\frac{1}{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であることを踏まえた上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、ダランベールの判定法では無限級数\(\sum x_{n}\)の収束可能性を判定できません。ただ、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の部分和は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}1 \\
&=&n
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であり、したがって無限級数\(\sum x_{n}\)が発散することが明らかになりました。

以上の2つの例により、\(r=1\)の場合には無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合と発散する場合の双方のケースが起こり得るため、ダランベールの判定法は役に立たないことが明らかになりました。この場合には、別の方法を通じて無限級数\(\sum x_{n}\)の収束可能性を判定することになります。

最後に、\(r\)が存在しない場合ですが、この場合にもダランベールの判定法は役に立ちません。以下が具体例です。

例(ダランベールの判定法が役に立たない場合)
以下の数列\begin{equation*}
\frac{1}{1^{2}},\frac{1}{1^{3}},\frac{1}{2^{2}},\frac{1}{2^{3}},\cdots ,\frac{1}{n^{2}},\frac{1}{n^{3}},\cdots
\end{equation*}に注目します。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}x_{2n-1} &=&\frac{1}{n^{2}} \\
x_{2n} &=&\frac{1}{n^{3}}
\end{eqnarray*}を満たすため、数列\(\left\{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}\frac{x_{2n}}{x_{2n-1}} &=&\frac{\frac{1}{n^{3}}}{\frac{1}{n^{2}}}=\frac{1}{n} \\
\frac{x_{2n+1}}{x_{2n}} &=&\frac{\frac{1}{\left( n+1\right) ^{2}}}{\frac{1}{n^{3}}}=\frac{n^{3}}{\left( n+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を満たします。部分列\(\left\{ \frac{x_{2n}}{x_{2n-1}}\right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{2n}}{x_{2n-1}}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) \\
&=&\frac{1}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}である一方、部分列\(\left\{ \frac{x_{2n+1}}{x_{2n}}\right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{2n+1}}{x_{2n}}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^{3}}{\left( n+1\right) ^{2}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n^{3}}{n^{2}+2n+1}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}\right) \\
&=&\frac{+\infty }{1+0+0} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、数列\(\left\{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\} \)の極限は存在しません。したがって、ダランベールの判定法では無限級数\(\sum x_{n}\)の収束可能性を判定できません。

 

演習問題

問題(正項級数に関するダランベールの判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n}{n!}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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問題(正項級数に関するダランベールの判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{5^{n}}{n!}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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問題(正項級数に関するダランベールの判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{3+n}{2}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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問題(正項級数に関するダランベールの判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{2n!+\left( n+1\right) !}{en!}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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問題(正項級数に関するダランベールの判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n^{2}+2n+1}{3^{n}+2}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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問題(ダランベールの判定法が役に立たない場合)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n^{2}}
\end{equation*}で与えられているものとします。本文中で明らかにしたように、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right) =1
\end{equation*}となるため、ダランベールの判定法を用いて無限級数\(\sum x_{n}\)の収束可能性を判定することはできません。別の方法を用いて\(\sum x_{n}\)が収束することを示してください。
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