ベキ級数の収束半径とコーシー・アダマールの判定法
数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)が与えられれば、これを係数とする原点まわりのベキ級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots
\end{equation*}が得られます。このベキ級数の収束可能性は\(x\in \mathbb{R} \)の値の選び方に依存します。ただし、以下の条件\begin{equation*}0\leq R\leq +\infty
\end{equation*}を満たす拡大実数\(R\in \overline{\mathbb{R} }\)が存在して、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \left\vert x\right\vert <R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{は絶対収束する} \\
&&\left( B\right) \ \left\vert x\right\vert >R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことが明らかになりました。この値\(R\)をベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)の収束半径と呼びます。
ベキ級数に対しては収束半径が必ず定まることが明らかになりました。では、収束半径の水準を具体的に特定するためにはどうすればよいでしょうか。コーシー・アダマールの判定法を用いることにより以下が導かれます。
命題（コーシー・アダマールの判定法を用いた収束半径の特定）
数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)に対して、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}=r
\end{equation*}と定義する。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ r\not=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}\frac{1}{r} \\
&&\left( B\right) \ r=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}+\infty \\
&&\left( C\right) \ r=+\infty \Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}0
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}と定義する。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ r\not=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}\frac{1}{r} \\
&&\left( B\right) \ r=0\Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}+\infty \\
&&\left( C\right) \ r=+\infty \Rightarrow \sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{の収束半径は}0
\end{eqnarray*}が成り立つ。
例（ベキ級数の収束半径）
係数が\(\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ \frac{\left(-1\right) ^{n}n^{2}}{2^{n}}\right\} \)であるような原点まわりのベキ級数は、\begin{equation}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{\left( -1\right) ^{n}n^{2}}{2^{n}}x^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{\left( -1\right) ^{n}n^{2}}{2^{n}}\right\vert ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n^{\frac{2}{n}}}{2} \\
&=&\frac{1}{2}\left( \lim_{n\rightarrow +\infty }n^{\frac{1}{n}}\right) ^{2}
\\
&=&\frac{1}{2}\cdot 1^{2}\quad \because \lim_{n\rightarrow +\infty }n^{\frac{1}{n}}=1 \\
&=&\frac{1}{2} \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は、\begin{equation*}R=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2
\end{equation*}です。したがって、\(\left\vert x\right\vert <2\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は絶対収束する一方で、\(\left\vert x\right\vert >2\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は発散します。残された可能性は\(\left\vert x\right\vert =2\)の場合ですが、まず、\(x=2\)の場合の級数は、\begin{equation}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{\left( -1\right) ^{n}n^{2}}{2^{n}}2^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}n^{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}ですが、数列\(\left\{ \left( -1\right)^{n}n^{2}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( -1\right) ^{n}n^{2}\not=0
\end{equation*}が成り立つため、消失条件より\(\left( 2\right) \)は発散します。続いて、\(x=-2\)の場合の級数は、\begin{equation}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{\left( -1\right) ^{n}n^{2}}{2^{n}}\left(
-2\right) ^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty }n^{2} \quad \cdots (3)
\end{equation}ですが、数列\(\left\{ n^{2}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }n^{2}\not=0
\end{equation*}が成り立つため、消失条件より\(\left( 3\right) \)は発散します。以上より、\(\left( 1\right) \)が収束する\(x\)の範囲は、\begin{equation*}\left( -2,2\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{\left( -1\right) ^{n}n^{2}}{2^{n}}\right\vert ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n^{\frac{2}{n}}}{2} \\
&=&\frac{1}{2}\left( \lim_{n\rightarrow +\infty }n^{\frac{1}{n}}\right) ^{2}
\\
&=&\frac{1}{2}\cdot 1^{2}\quad \because \lim_{n\rightarrow +\infty }n^{\frac{1}{n}}=1 \\
&=&\frac{1}{2} \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は、\begin{equation*}R=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2
\end{equation*}です。したがって、\(\left\vert x\right\vert <2\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は絶対収束する一方で、\(\left\vert x\right\vert >2\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は発散します。残された可能性は\(\left\vert x\right\vert =2\)の場合ですが、まず、\(x=2\)の場合の級数は、\begin{equation}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{\left( -1\right) ^{n}n^{2}}{2^{n}}2^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}n^{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}ですが、数列\(\left\{ \left( -1\right)^{n}n^{2}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( -1\right) ^{n}n^{2}\not=0
\end{equation*}が成り立つため、消失条件より\(\left( 2\right) \)は発散します。続いて、\(x=-2\)の場合の級数は、\begin{equation}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{\left( -1\right) ^{n}n^{2}}{2^{n}}\left(
-2\right) ^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty }n^{2} \quad \cdots (3)
\end{equation}ですが、数列\(\left\{ n^{2}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }n^{2}\not=0
\end{equation*}が成り立つため、消失条件より\(\left( 3\right) \)は発散します。以上より、\(\left( 1\right) \)が収束する\(x\)の範囲は、\begin{equation*}\left( -2,2\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。
例（ベキ級数の収束半径）
係数が\(\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ \frac{n^{n}}{e^{2n}}\right\} \)であるような原点まわりのベキ級数は、\begin{equation}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{n^{n}}{e^{2n}}x^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{n^{n}}{e^{2n}}\right\vert ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{e^{2}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は、\begin{equation*}R=0
\end{equation*}です。したがって、\(x=0\)の場合にのみ\(\left( 1\right) \)は絶対収束します。
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{n^{n}}{e^{2n}}\right\vert ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{e^{2}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は、\begin{equation*}R=0
\end{equation*}です。したがって、\(x=0\)の場合にのみ\(\left( 1\right) \)は絶対収束します。
例（ベキ級数の収束半径）
係数が\(\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ \frac{\left[ \ln\left( n\right) \right] ^{n}}{n^{n}}\right\} \)であるような原点まわりのベキ級数は、\begin{equation}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{\left[ \ln \left( n\right) \right] ^{n}}{n^{n}}x^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{\left[ \ln \left( n\right) \right] ^{n}}{n^{n}}\right\vert ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\ln \left( n\right) }{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\frac{1}{n}}{1}\quad \because \text{ロピタルの定理} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は\(+\infty \)です。したがって、任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は絶対収束します。以上より、\(\left( 1\right) \)が収束する\(x\)の範囲は、\begin{equation*}\left( -\infty ,+\infty \right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation}となります。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert \frac{\left[ \ln \left( n\right) \right] ^{n}}{n^{n}}\right\vert ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\ln \left( n\right) }{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\frac{1}{n}}{1}\quad \because \text{ロピタルの定理} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(\left( 1\right) \)の収束半径は\(+\infty \)です。したがって、任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとで\(\left( 1\right) \)は絶対収束します。以上より、\(\left( 1\right) \)が収束する\(x\)の範囲は、\begin{equation*}\left( -\infty ,+\infty \right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。
演習問題
問題（ベキ級数の収束半径）
以下の無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( \frac{n}{n+1}\right) ^{n}\left( x+2\right) ^{n}
\end{equation*}の収束半径を特定してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( \frac{n}{n+1}\right) ^{n}\left( x+2\right) ^{n}
\end{equation*}の収束半径を特定してください。
問題（ベキ級数の収束半径）
以下の無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{n^{n}}{\left[ \ln \left( n\right) \right] ^{n}}\left( x-5\right) ^{n}
\end{equation*}の収束半径を特定してください。
\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{n^{n}}{\left[ \ln \left( n\right) \right] ^{n}}\left( x-5\right) ^{n}
\end{equation*}の収束半径を特定してください。
問題（ベキ級数の収束半径）
以下の無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2^{n}+1}{n}x^{n}
\end{equation*}の収束半径を特定してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2^{n}+1}{n}x^{n}
\end{equation*}の収束半径を特定してください。
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