問題1（20点）
問題（部分和が与えらた場合の級数）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(n\)部分和が、\begin{equation*}s_{n}=\sum_{v=1}^{n}x_{v}=\frac{n+1}{n}
\end{equation*}として与えられているものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。
\end{equation*}として与えられているものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。
- もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項\(x_{n}\)を求めてください。
- 無限級数\(\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}\)の和を特定してください。
問題2（30点）
問題（級数の収束・発散判定）
以下の問いに答えてください。（各15点）。
- 以下の無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{2}}
\end{equation*}が収束することを示してください。 - 以下の無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n}
\end{equation*}が発散することを示してください。
問題3（30点）
問題（級数の和）
以下の問いに答えてください。
- 以下の無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{2}+n}
\end{equation*}の和を特定してください。 - 以下の無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{\ln \left( \frac{n^{n+1}}{\left( n+1\right) ^{n}}\right) }{n\left( n+1\right) }
\end{equation*}の和を特定してください。 - 以下の無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{\left( 2n-1\right) ^{2}}
\end{equation*}の和を特定してください。ただし、以下の事実\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{6}
\end{equation*}を利用できます。
問題4（20点）
問題（級数の和）
正項級数\(\sum x_{n}\)が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- \(\sum x_{n}\)が収束する場合には\(\sum \frac{1}{x_{n}}\)は必ず発散するでしょうか。主張が成り立つ場合には証明を行い、成り立つとは限らない場合には反例を提示してください。
- \(\sum \frac{1}{x_{n}}\)が発散する場合には\(\sum x_{n}\)は必ず収束するでしょうか。主張が成り立つ場合には証明を行い、成り立つとは限らない場合には反例を提示してください。
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