問題1（30点）
問題（部分和が与えらた場合の級数）
正項級数\(\sum x_{n}\)が与えられているものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。
- \(\sum x_{n}\)が収束する場合には\(\sum x_{n}^{2}\)もまた収束することを証明してください。
- \(\sum x_{n}\)が収束する場合には\(\sum \sqrt{x_{n}x_{n+1}}\)もまた収束することを証明してください。
- \(\sum x_{n}\)が収束する場合には\(\sum \frac{\sqrt{x_{n}}}{n}\)もまた収束することを証明してください。
問題2（40点）
問題（正項級数の収束・発散判定）
以下の問いに答えてください。
- 2つの無限級数\(\sum x_{n},\sum y_{n}\)は正項級数であるとともに、\begin{eqnarray*}\forall n &\in &\mathbb{N} :x_{n}>0 \\\forall n &\in &\mathbb{N} :y_{n}>0
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。加えて、以下の条件\begin{equation*}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\leq \frac{y_{n+1}}{y_{n}}\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。\(\sum x_{n}\)が発散する場合には\(\sum y_{n}\)もまた発散することを証明してください（20点）。 - 無限級数\(\sum x_{n}\)は正項級数であるとともに、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0\end{equation*}が成り立つものとします。加えて、\begin{equation*}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow n\left( 1-\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right) \leq 1\right] \end{equation*}が成り立つものとします。\(\sum x_{n}\)が発散することを証明してください（10点）。 - 無限級数\(\sum x_{n}\)は正項級数であるとともに、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0\end{equation*}が成り立つものとします。加えて、\(p>1\)を満たす定数\(p\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ n\geq N\Rightarrow n\left( 1-\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right) \geq p\right] \end{equation*}が成り立つものとします。\(\sum x_{n}\)が収束することを証明してください（10点）。
問題3（30点）
問題（絶対収束級数どうしのコーシー積）
2つの無限級数\(\sum_{n=0}^{+\infty}x_{n},\sum_{n=0}^{+\infty }y_{n}\)が与えられた状況において、\begin{equation*}z_{n}=\sum_{k=0}^{n}x_{k}y_{n-k}
\end{equation*}と定義します。以下の問いに答えてください（各15点）。
\end{equation*}と定義します。以下の問いに答えてください（各15点）。
- \(\sum_{n=0}^{+\infty }x_{n}\)と\(\sum_{n=0}^{+\infty }y_{n}\)がともに絶対収束する場合には\(\sum_{n=0}^{+\infty }z_{n}\)もまた絶対収束することを証明してください。
- 以下の関係\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }z_{n}=\sum_{n=0}^{+\infty }x_{n}\cdot
\sum_{n=0}^{+\infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
