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TOPOLOGY OF THE REAL LINE

集積点・導集合

目次

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集積点

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)の任意の近傍が\(a\)とは異なる\(A\)の要素を持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap
\left( A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には、点\(a\)を\(A\)の集積点(accumulation point)と呼びます。上の定義において、点\(a\)は\(\mathbb{R} \)の要素と指定されているだけであり、\(A\)の要素であるとまでは指定されていません。つまり、\(A\)の集積点が\(A\)の要素である場合とそうではない場合の両方が起こり得るということです。特に、\(a\not\in A\)である場合には\(A\backslash \left\{ a\right\} =A\)となるため、集積点の定義は、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}と必要十分であり、これは点\(a\)が\(A\)の触点であることの定義に他なりません。つまり、\(A\)に属さない点\(a\)に限定すると、点\(a\)が\(A\)の集積点であることと、点\(a\)が\(A\)の触点であることは必要十分です。

例(有界開区間の触点)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)の任意の点は\(\left( a,b\right) \)の集積点です。実際、点\(x\in \left[ a,b\right] \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、近傍\(N_{\varepsilon }\left(x\right) \)は点\(x\)とは異なる\(\left(a,b\right) \)の点を要素として持つからです。一方、\(\left[ a,b\right] ^{c}\)の任意の点は\(\left( a,b\right) \)の集積点ではありません。したがって、\(\left( a,b\right) \)のすべての集積点からなる集合は\(\left[ a,b\right] \)です(演習問題にします)。
例(有界閉区間の触点)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)の任意の点は\(\left[ a,b\right] \)の集積点です。実際、点\(x\in \left[ a,b\right] \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、近傍\(N_{\varepsilon }\left(x\right) \)は点\(x\)とは異なる\(\left[a,b\right] \)の点を要素として持つからです。一方、\(\left[ a,b\right] ^{c}\)の任意の点は\(\left[ a,b\right] \)の集積点ではありません。したがって、\(\left[ a,b\right] \)のすべての集積点からなる集合は\(\left[ a,b\right] \)です(演習問題にします)。
例(集合の要素ではない集積点)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{equation*}A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}として与えられているものとします。この集合を外延的に記述すると、\begin{equation*}
A=\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{equation*}となります。点\(0\)は\(A\)の集積点です。実際、半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、アルキメデスの性質より、近傍\(N_{\varepsilon }\left( 0\right) \)が\(0\)以外の\(A\)の点を要素として持つことが示されるからです。これは\(A\)の集積点が\(A\)の要素ではない例です。一方、\(0\)とは異なる\(\mathbb{R} \)の任意の点は\(A\)の集積点ではありません。したがって、\(A\)の集積点は点\(0\)のみです(演習問題にします)。
例(集合の要素である集積点)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{equation*}A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \cup \{0\}
\end{equation*}として与えられているものとします。この集合を外延的に記述すると、\begin{equation*}
A=\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,0,\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{equation*}となります。点\(0\)は\(A\)の集積点です。実際、半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、アルキメデスの性質より、近傍\(N_{\varepsilon }\left( 0\right) \)が\(0\)以外の\(A\)の点を要素として持つことが示されるからです。これは\(A\)の集積点が\(A\)の要素である例です。一方、\(0\)とは異なる\(\mathbb{R} \)の任意の点は\(A\)の集積点ではありません。したがって、\(A\)の集積点は点\(0\)のみです(演習問題にします)。
例(有理数空間の集積点)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)について考えます。\(\mathbb{R} \)の任意の点が\(\mathbb{Q} \)の集積点です。実際、点\(x\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、有理数の稠密性より、近傍\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)が\(x\)とは異なる有理数を要素として持つことが示されるからです(演習問題にします)。
例(無理数空間の集積点)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)について考えます。\(\mathbb{R} \)の任意の点が\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の集積点です。実際、点\(x\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、無理数の稠密性より、近傍\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)が\(x\)とは異なる無理数を要素として持つことが示されるからです(演習問題にします)。
例(実数空間の集積点)
実数空間\(\mathbb{R} \)について考えます。\(\mathbb{R} \)の任意の点が\(\mathbb{R} \)の集積点です。実際、点\(x\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、近傍\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は明らかに\(x\)とは異なる実数を要素として持つからです。

 

導集合

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての集積点からなる集合を\(A\)の導集合(derivedset)と呼び、\begin{equation*}
A^{d}
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{d} &\Leftrightarrow &\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\cap
\left( A\backslash \{x\}\right) \not=\phi \\
&\Leftrightarrow &\forall \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon
\right) \cap \left( A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。ただし、\(A\)は無限個の要素を持つ集合です。

例(有界開区間の導集合)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{d}=\left[ a,b\right] \end{equation*}となります。

例(有界閉区間の導集合)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{d}=\left[ a,b\right] \end{equation*}となります。

例(導集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{equation*}A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}として与えられているものとします。先の考察より、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}となります。

例(導集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{equation*}A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \cup \{0\}
\end{equation*}として与えられているものとします。先の考察より、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}となります。

例(有理数空間の導集合)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)について。先の考察より、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。
例(無理数空間の集積点)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)について、先の考察より、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。

例(実数空間の集積点)
実数空間\(\mathbb{R} \)について、先の考察より、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。

 

導集合と閉包の関係

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の集積点は\(A\)の触点でもあります。実際、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}x\in A^{d} &\Leftrightarrow &\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\cap
\left( A\backslash \{x\}\right) \not=\phi \quad \because \text{集積点の定義} \\
&\Rightarrow &\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\cap A\not=\phi
\quad \because A\backslash \left\{ x\right\} \subset A \\
&\Leftrightarrow &x\in A^{a}\quad \because \text{触点の定義}
\end{eqnarray*}となるからです。

命題(集積点は触点)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}A^{d}\subset A^{a}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の集積点は\(A\)の触点であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の触点は\(A\)の集積点であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(集積点ではない触点)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それだけを要素として持つ\(\mathbb{R} \)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、点\(a\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}をとります。\(a\in N_{\varepsilon }\left(a\right) \)であるため、この近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\left\{ a\right\} \)と交わります。したがって点\(a\)は\(\left\{ a\right\} \)の触点です。一方、集合\(\left\{ a\right\} \)は\(a\)以外の要素を持たないため、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(a\)以外の\(\left\{a\right\} \)の点を要素として持ち得ません。したがって、\(a\)は\(\left\{ a\right\} \)の集積点ではありません。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の集積点は\(A\)の触点である一方、\(A\)の触点は\(A\)の集積点であるとは限らないことが明らかになりました。ただ、繰り返しになりますが、問題としている点\(x\)が\(A\)の要素でない場合には、\(x\)が\(A\)の集積点であることと、\(x\)が\(A\)の触点であることは必要十分になります。実際には、それよりも少し踏み込んだことが言えます。つまり、ある点が触点であることは、その点が内点または境界点であることを意味しますが、問題としている点\(x\)が\(A\)の要素でない場合には、\(x\)が\(A\)の集積点であることと、\(x\)が\(A\)の境界点であることは必要十分になります。

命題(集積点と境界点が一致する場合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\(x\not\in A\)を満たす任意の点\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}x\in A^{d}\Leftrightarrow x\in A^{f}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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最後に、閉包と導集合の関係を整理しておきましょう。\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)のすべての集積点に\(A\)のすべての要素を加えれば\(A\)のすべての触点が得られます。

命題(導集合と閉包の関係)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}A^{a}=A\cup A^{d}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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導集合による閉集合の定義

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{a}=A
\end{equation*}が成り立つことは\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件ですが、先の命題を踏まえると、これは、\begin{equation*}A\cup A^{d}=A
\end{equation*}と必要十分です。さらに、\(A\subset A\cup A^{d}\)は常に成り立つため、上の条件は、\begin{equation*}A\cup A^{d}\subset A
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A^{d}\subset A
\end{equation*}と必要十分です。

命題(導集合による閉集合の定義)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件である。

以上の命題は、閉集合という概念が導集合という概念から定義可能であることを示唆します。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立つこととして、つまり、\(A\)の任意の集積点が\(A\)の点であることとして\(A\)が閉集合であることの意味を定義できるということです。

 

演習問題

問題(導集合)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。導集合\(\left( a,b\right) ^{d}\)を求めてください。
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問題(導集合)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。導集合\(\left[ a,b\right] ^{d}\)を求めてください。
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問題(導集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{equation*}A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}として与えられているものとします。導集合\(A^{d}\)を求めてください。
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問題(導集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{equation*}A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \cup \left\{ 0\right\}
\end{equation*}として与えられているものとします。導集合\(A^{d}\)を求めてください。
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問題(包含関係と導集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow A^{d}\subset B^{d}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(和集合と導集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) ^{d}=A^{d}\cup B^{d}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(共通部分と導集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) ^{d}\subset A^{d}\cap B^{d}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(共通部分と導集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}A^{d}\cap B^{d}\subset \left( A\cap B\right) ^{d}
\end{equation*}は成り立つとは限らないことを証明してください。

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次回は集積点の概念が数列を用いて表現できることを解説します。

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