集積点・導集合

実数空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする任意の近傍が a とは異なる A の点を要素として持つ場合、この点 a を A の集積点と呼びます。
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集積点

実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R}\)の任意の近傍が\(A\backslash \left\{ a\right\} \)と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の集積点(accumulation point)と呼びます。言い換えると、点\(a\)を中心とする任意の近傍が\(a\)とは異なる\(A\)の点を要素として持つということです。上の定義において、点\(a\)は\(\mathbb{R}\)の要素であると指定されているだけであり、これは\(A\)の要素であるとは限りません。つまり、\(A\)の集積点は\(A\)の要素である場合とそうではない場合の両方が起こり得るということです。点の近傍の定義を踏まえると、上の条件は、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap
\left( A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、点\(a\)を中心とする任意の有界開区間が\(A\backslash \left\{ a\right\} \)と交わるのであれば\(a\)は\(A\)の集積点です。言い換えると、点\(a\)を中心とする任意の有界開区間が\(a\)とは異なる\(A\)の点を要素として持つということです。

例(集積点)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合として、\begin{equation*}
A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}について考えます。この集合を外延的に記述すると、\begin{equation*}
A=\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{equation*}となります。半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、点\(0\in \mathbb{R}\)の近傍は、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( 0\right) =\left( 0-\varepsilon ,0+\varepsilon \right)
=\left( -\varepsilon ,\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。アルキメデスの性質より\(\frac{1}{n}<\varepsilon \)を満たす番号\(n\in \mathbb{N} \)が存在しますが、これは\(0\)とは異なる\(A\)の点\(\frac{1}{n}\)が\(U_{\varepsilon }\left( 0\right) \)の要素であることを意味します。したがって、点\(0\)は\(A\)の集積点です。これは\(A\)の集積点が\(A\)の要素ではない例です。ちなみに、\(0\)とは異なる\(\mathbb{R}\)の任意の点は\(A\)の集積点ではありません(演習問題にします)。
例(集積点)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合として、\begin{equation*}
A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \cup \{0\}
\end{equation*}について考えます。この集合を外延的に記述すると、\begin{equation*}
A=\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,0,\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{equation*}となります。先の例と同様の議論により、点\(0\in \mathbb{R}\)が\(A\)の集積点であることが示されます。これは\(A\)の集積点が\(A\)の要素である例です。ちなみに、\(0\)とは異なる\(\mathbb{R}\)の任意の点は\(A\)の集積点ではありません(演習問題にします)。
例(有界開区間の集積点)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な開区間\(\left( a,b\right) \)について考えます。\(a\leq x\leq b\)を満たす点\(x\in \mathbb{R}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{equation*}
\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right) \cap \left( a,b\right)
\backslash \left\{ x\right\} \not=\phi
\end{equation*}が成り立つため、\(x\)は\(\left( a,b\right) \)の集積点です。一方、\(x<a\)を満たす点\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、例えば、\begin{equation*}
\varepsilon =\frac{a-x}{2}>0
\end{equation*}とおけば\(\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)\)は\(\left( a,b\right) \backslash \left\{ x\right\} \)と交わらないため(確認してください)、\(x\)は\(\left( a,b\right) \)の集積点ではありません。\(x>b\)を満たす任意の点\(x\in \mathbb{R}\)が\(\left( a,b\right) \)の集積点でないことも同様にして示されます。以上より、\(\mathbb{R}\)上の有界な開区間\(\left( a,b\right) \)が任意に与えられたとき、その集積点は\(a\leq x\leq b\)を満たす任意の点\(x\)です。
例(有界閉区間の集積点)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)について考えます。先の例と同様の議論により、\(a\leq x\leq b\)を満たす任意の点\(x\in \mathbb{R}\)は\(\left[ a,b\right] \)の集積点である一方、それ以外の\(\mathbb{R}\)の点は\(\left[ a,b\right] \)の集積点ではないことが示されます。つまり、\(\mathbb{R}\)上の有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)が任意に与えられたとき、その集積点は\(a\leq x\leq b\)を満たす任意の点\(x\)です。
例(有理数空間の触点)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q}\)について考えます。点\(x\in \mathbb{R}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。有理数の稠密性より、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( x\right) =\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)
\end{equation*}という区間の中には\(x\)とは異なる有理数が必ず存在するため、\(x\)は\(\mathbb{Q}\)の集積点です。つまり、\(\mathbb{Q}\)の触点は任意の実数です。
例(無理数空間の集積点)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\)について考えます。点\(x\in \mathbb{R}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。無理数の稠密性より、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( x\right) =\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)
\end{equation*}という区間の中には\(x\)とは異なる無理数が必ず存在するため、\(x\)は\(\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\)の集積点です。つまり、\(\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\)の触点は任意の実数です。
例(実数空間の集積点)
実数空間\(\mathbb{R}\)について考えます。点\(x\in \mathbb{R}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( x\right) =\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)
\end{equation*}という区間の中には\(x\)とは異なる実数が必ず存在するため、\(x\)は\(\mathbb{R}\)の集積点です。つまり、\(\mathbb{R}\)の触点は任意の実数です。

 

集積点であるための必要十分条件

実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)に対し、点\(a\in \mathbb{R}\)が\(A\)の集積点であるものとします。集積点の定義より、半径\(\varepsilon _{1}>0\)を任意に選ぶと\begin{equation*}
U_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \cap \left( A\backslash \left\{
a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(a\)の近傍\(U_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \)の要素の中には\(a\)とは異なる\(A\)の点が存在するため、それを\(x_{1}\)で表記します。\(x_{1}\in U_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \)かつ\(x_{1}\not=a\)であることから、\begin{equation}
0<\left\vert x_{1}-a\right\vert <\varepsilon _{1} \tag{2}
\end{equation}が成り立つことに注意してください。そこで、\begin{equation}
\varepsilon _{2}=\left\vert x_{1}-a\right\vert >0 \tag{3}
\end{equation}とおくと、やはり集積点の定義より、\begin{equation*}
U_{\varepsilon _{2}}\left( a\right) \cap \left( A\backslash \left\{
a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。\(a\)の近傍\(U_{\varepsilon _{2}}\left( a\right) \)の要素の中には\(a\)とは異なる\(A\)の点が存在するため、それを\(x_{2}\)で表記します。\(x_{1}\in U_{\varepsilon _{2}}\left( a\right) \)かつ\(x_{2}\not=a\)であることから、\begin{equation*}
0<\left\vert x_{2}-a\right\vert <\varepsilon _{2}
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left( 2\right) \)と\(\left( 3\right) \)も踏まえると、\begin{equation*}
0<\left\vert x_{2}-a\right\vert <\left\vert x_{1}-a\right\vert <\varepsilon
_{1}
\end{equation*}が成り立つため\(x_{2}\not=x_{1}\)です。\(\left( 1\right) \)は任意の\(\varepsilon >0\)について成り立つため、同様の議論を無限に繰り返すことができ、その結果、\begin{equation}
0<\cdots <\left\vert x_{n}-a\right\vert <\cdots <\left\vert
x_{2}-a\right\vert <\left\vert x_{1}-a\right\vert <\varepsilon _{1} \tag{4}
\end{equation}を満たす\(A\)の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が得られます。ただし、この数列の任意の項は互いに異なり、なおかつ\(a\)とも異なります。さらに、\(\left( 4\right) \)において\(\varepsilon _{1}>0\)は任意であるため、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は極限\(a\)へと収束します。点\(a\)が\(A\)の集積点である場合には、以上の性質を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在するというわけです。なお、\(\left( 4\right) \)において\(\varepsilon _{1}>0\)は任意であるため、\(\left( 4\right) \)が成り立つことは、\(a\)の任意の近傍\(U_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \)が先の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項を要素として持つこと、すなわち、互いに異なる\(A\)の無限個の点を要素として持つとともに、それらの点はいずれも\(a\)とは異なることを意味します。

上の主張の逆もまた成立します。実際、半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、点\(a\)の近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)が互いに異なる\(A\)の無限個の点を要素として持つとともに、それらの点はいずれも\(a\)とは異なるのであれば、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちますが、これは点\(a\)が\(A\)の集積点であることの定義に他なりません。以上を踏まえると、集積点を以下のように表現することも可能です。

命題(集積点であるための必要条件)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R}\)に関する以下の3つの主張は互いに必要十分である。
  1. 点\(a\)は\(A\)の集積点である。
  2. すべての項が互いに異なる\(A\)の点であり、すべての項が点\(a\)とは異なり、なおかつ極限\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在する。
  3. 点\(a\)の任意の近傍が互いに異なる\(A\)の無限個の点を要素として持つとともに、それらの点はいずれも\(a\)とは異なる。
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上の命題より、点\(a\)が\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)の集積点であるならば、半径\(\varepsilon >0\)をどれほど小さくしても、\(a\)の近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中には\(A\)の点が無限個存在します。したがって、\(a\)が\(A\)の集積点である場合、\(a\)のどれほど近くの場所にも、そこには\(A\)の点が無数に存在します。\(A\)の集積点の近傍には\(A\)の点が密集しているということです。

繰り返しになりますが、点\(a\)が\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)の集積点であることは、\(a\)を中心とする任意の近傍が\(A\)の無限個の点を要素として持つことを意味します。問題にしている集合\(A\)が有限個の要素しか持たない場合、点\(a\)の近傍が\(A\)の無限個の点を要素として持つことは起こり得ません。したがって、集積点について議論する場合、問題としている集合\(A\)が無限集合であることが前提になります。言い換えると、有限集合\(A\)は集積点を持ち得ません。以下はそのような例になっています。

例(1点集合の集積点)
実数\(a\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で、それだけを要素として持つ\(\mathbb{R}\)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。点\(x\in \mathbb{R}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(x\)の近傍\(U_{\varepsilon }\left( x\right) \)をとります。集合\(\left\{ a\right\} \)は\(a\)以外の要素を持たないため、\(U_{\varepsilon }\left( x\right) \)は\(a\)以外の\(\left\{ a\right\} \)の点を要素として持ち得ません。したがって、\(x\)は\(\left\{ a\right\} \)の集積点ではありません。\(\mathbb{R}\)の点を要素として持つ任意の1点集合は集積点を持たないということです。

 

集積点の存在条件

先に例を通じて確認したように、一般に、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)は集積点を持つとは限りません。一方、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が無限個の点を要素として持つとともに有界である場合、\(A\)は必ず集積点を持ちます。証明は以下の通りです。

\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が無限個の点を要素として持つとともに有界であるものとします。\(A\)が無限集合であることから、点\(a\)とは異なる\(A\)の点を項とする数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を選ぶことができます。また、\(A\)が有界であることから、\(A\)の点を項とする先の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)もまた有界です。したがって、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理より、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束する部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)を持ちます。この部分列の極限を\(a\in \mathbb{R}\)とするとき、もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)もまた極限\(a\)へ収束します。以上により、点\(a\)とは異なる\(A\)の点を項とするとともに極限\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在することを示しましたが、これは点\(a\)が\(A\)の集積点であるための必要十分条件に他なりません。

命題(集積点の存在条件)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が無限個の要素を持つとともに有界であるならば、\(A\)の集積点が存在する。
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導集合

実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)のすべての集積点からなる集合を\(A\)の導集合(derived set)と呼び、\begin{equation*}
A^{d}
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
x\in A^{d}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }(x)\cap
\left( A\backslash \{x\}\right) \not=\phi
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、\(A\)は無限個の要素を持つ集合です。

例(導集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合として、\begin{equation*}
A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}となります。
例(導集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合として、\begin{equation*}
A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \cup \{0\}
\end{equation*}について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}となります。
例(有界開区間の導集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な開区間\(\left( a,b\right) \)について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{d}=\left[ a,b\right] \end{equation*}となります。
例(有界閉区間の導集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{d}=\left[ a,b\right] \end{equation*}となります。
例(有理数空間の導集合)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q}\)について、先の考察より、\begin{equation*}\mathbb{Q}^{d}=\mathbb{R}\end{equation*}となります。
例(無理数空間の導集合)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\)について、先の考察より、\begin{equation*}
\left(
\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\right) ^{d}=\mathbb{R}\end{equation*}となります。
例(実数空間の導集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)について、先の考察より、\begin{equation*}
\mathbb{R}^{d}=\mathbb{R}\end{equation*}となります。
例(1点集合の集積点)
実数\(a\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上でこれだけを要素として持つ集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left\{ a\right\} ^{d}=\phi
\end{equation*}となります。

 

導集合と閉包の関係

実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の集積点は\(A\)の触点でもあります。実際、任意の点\(x\in \mathbb{R}\)について、\begin{eqnarray*}
x\in A^{d} &\Leftrightarrow &\forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }(x)\cap
\left( A\backslash \{x\}\right) \not=\phi \quad \because \text{集積点の定義} \\
&\Rightarrow &\forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }(x)\cap A\not=\phi
\quad \because A\backslash \left\{ x\right\} \subset A \\
&\Leftrightarrow &x\in A^{a}\quad \because \text{触点の定義}
\end{eqnarray*}となるため\(A^{d}\subset A^{a}\)が成り立ちます。

命題(集積点は触点)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}
A^{d}\subset A^{a}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)の集積点は\(A\)の触点であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)の触点は\(A\)の集積点であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(集積点ではない触点)
実数\(a\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で、それだけを要素として持つ\(\mathbb{R}\)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、点\(a\)の近傍\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}をとります。\(a\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)であるため、この近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\left\{ a\right\}\)と交わります。したがって点\(a\)は\(\left\{ a\right\} \)の触点です。一方、集合\(\left\{ a\right\} \)は\(a\)以外の要素を持たないため、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(a\)以外の\(\left\{ a\right\} \)の点を要素として持ち得ません。したがって、\(a\)は\(\left\{ a\right\} \)の集積点ではありません。

実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)の集積点は\(A\)の触点である一方、\(A\)の触点は\(A\)の集積点であるとは限らないことが明らかになりました。ただ、問題にしている点\(a\)が\(A\)の要素でない場合には、\(a\)が\(A\)の集積点であることと、\(a\)が\(A\)の触点であることは必要十分になります。実際、\(a\not\in A\)を満たす点\(a\in \mathbb{R}\)に関しては、\begin{equation*}
A\backslash \left\{ a\right\} =A
\end{equation*}という関係が成り立つため、点\(a\)が\(A\)の集積点であることの定義は、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}と言い換え可能ですが、これは点\(a\)が\(A\)の触点であることの定義に他なりません。

命題(集積点と触点が一致する場合)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\(a\not\in A\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R}\)について、\(a\)が\(A\)の集積点であることと、\(a\)が\(A\)の触点であることは必要十分である。
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実際には上の命題の内容よりさらに踏み込んだことが言えます。\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)の触点は\(A\)の内点または境界点ですが、上の命題において触点を境界点に置き換えることができます。つまり、\(\not\in A\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R}\)について、\(a\)が\(A\)の集積点であることと、\(a\)が\(A\)の境界点であることは必要十分です。証明は以下の通りです。

\(a\not\in A\)を満たす点\(a\in \mathbb{R}\)を任意に選びます。\(a\)が\(A\)の集積点であれば\(a\)の任意の近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(A\)の点を要素として持ちます。また、\(a\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)であるため、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(A\)の要素でない点\(a\)も要素として持ちます。つまり、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(A\)と\(A^{c}\)の双方と交わりますが、これは\(a\)が\(A\)の境界点であることを意味します。

逆に、\(a\)が\(A\)の境界点であれば\(a\)の任意の近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(A\)と交わります。ただ、\(a\not\in A\)の場合には\(A=A\backslash \left\{ a\right\} \)という関係が成り立つため、近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(A\backslash \left\{ a\right\} \)と交わります。これは\(a\)が\(A\)の触点であることを意味します。

命題(集積点と境界点が一致する場合)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\(a\not\in A\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R}\)について、\(a\)が\(A\)の集積点であることと、\(a\)が\(A\)の境界点であることは必要十分である。
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最後に、閉包と導集合の関係を整理しておきましょう。具体的には、実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}
A^{a}=A\cup A^{d}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(A\)のすべての集積点に\(A\)のすべての要素を加えれば\(A\)のすべての触点が得られるということです。証明は以下の通りです。

\(x\in A^{a}\)を満たす点\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選びます。一般に、\(x\in A\)または\(x\not\in A\)が成り立ちますが、先の命題より、\(x\not\in A\)の場合には\(x\in A^{d}\)となるため、\(x\in A\cup A^{d}\)であることが示されました。したがって\(A^{a}\subset A\cup A^{d}\)です。逆に、\(x\in A\cup A^{d}\)を満たす点\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\(x\in A\)の場合には\(A\subset A^{a}\)より\(x\in A^{a}\)となり、\(x\in A^{d}\)の場合には\(A^{d}\subset A^{a}\)より\(x\in A^{a}\)となるため、\(x\in A^{a}\)であることが示されました。

命題(導集合と閉包の関係)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}
A^{a}=A\cup A^{d}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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導集合と閉集合の関係

復習になりますが、実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)について\(A^{a}\subset A\)が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R}\)上の閉集合であるための必要十分条件です。この事実を踏まえると、\begin{equation*}
A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立つこともまた\(A\)が\(\mathbb{R}\)上の閉集合であるための必要十分条件であることが示されます。証明は以下の通りです。

\(A\)が\(\mathbb{R}\)上の閉集合であるものとします。これは\(A^{a}\subset A\)と必要十分ですが、先に示したように\(A^{a}=A\cup A^{d}\)が成り立つため、先の条件は\(A\cup A^{d}\subset A\)と言い換え可能です。\(A^{d}\subset A\cup A^{d}\)であるため、このとき\(A^{d}\subset A\)が成り立ちます。

逆に、\(A^{d}\subset A\)が成り立つものとします。先に示したように\(A^{a}=A\cup A^{d}\)が成り立ちますが、\(A^{d}\subset A\)であることを踏まえると\(A^{a}\subset A\cup A\)すなわち\(A^{a}\subset A\)を得ます。これは\(A\)が\(\mathbb{R}\)上の閉集合であるための必要十分条件です。

命題(導集合を用いた閉集合の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)について\(A^{d}\subset A\)が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R}\)上の閉集合であるための必要十分条件である。
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例(導集合を用いた閉集合の特徴づけ)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な開区間\(\left( a,b\right) \)と有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)について考えます。\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R}\)上の開集合です。その導集合については、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{d}=\left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立つため、これは\(\left( a,b\right) \)の部分集合ではありません。一方、\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R}\)上の閉集合です。その導集合については、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{d}=\left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立ちますが、これは\(\left[ a,b\right] \)の部分集合です。この結果は上の命題の主張と整合的です。

 

導集合と集合演算

実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。\(A\subset B\)が成り立つものとします。\(x\in A^{d}\)を満たす点\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選ぶと、導集合の定義より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \cap \left(
A\backslash \{x\}\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちますが、\(A\subset B\)より\(A\backslash \{x\}\subset B\backslash \left\{ x\right\} \)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \cap \left(
B\backslash \{x\}\right) \not=\phi
\end{equation*}もまた成り立ちます。これは\(x\in B^{d}\)であることを意味します。

命題(包含関係と導集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A\subset B\Rightarrow A^{d}\subset B^{d}
\end{equation*}が成り立つ。
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実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。一般に、\begin{eqnarray*}
A &\subset &A\cup B \\
B &\subset &A\cup B
\end{eqnarray*}がともに成り立ちますが、これと先の命題より、\begin{eqnarray*}
A^{d} &\subset &\left( A\cup B\right) ^{d} \\
B^{d} &\subset &\left( A\cup B\right) ^{d}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\begin{equation*}
A^{d}\cup B^{d}\subset \left( A\cup B\right) ^{d}
\end{equation*}であることが示されました。逆に、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) ^{d}\subset A^{d}\cup B^{d}
\end{equation*}もまた成り立ちます(演習問題にします)。以上より、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) ^{d}=A^{d}\cup B^{d}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。2つの集合について、それらの和集合の導集合は、個々の集合の導集合の和集合と一致するということです。

命題(和集合と導集合)

実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) ^{d}=A^{d}\cup B^{d}
\end{equation*}が成り立つ。

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実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。\(x\in \left( A\cap B\right) ^{d}\)を満たす点\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選ぶと、導集合の定義より、任意の\(\varepsilon >0\)に対して、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( x\right) \cap \left( \left( A\cap B\right) \backslash
\left\{ x\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。さらにこれは、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( x\right) \cap \left( A\backslash \left\{ x\right\}
\right) \cap \left( B\backslash \left\{ x\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}と言い換え可能であるため、このとき、\begin{eqnarray*}
U_{\varepsilon }\left( x\right) \cap \left( A\backslash \left\{ x\right\}
\right) &\not=&\phi \\
U_{\varepsilon }\left( x\right) \cap \left( B\backslash \left\{ x\right\}
\right) &\not=&\phi
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。したがって\(x\in A^{d}\)かつ\(x\in B^{d}\)であるため\(x\in A^{d}\cap B^{d}\)となります。以上で、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) ^{d}\subset A^{d}\cap B^{d}
\end{equation*}が示されました。2つの集合について、それらの共通部分の導集合は、個々の集合の導集合の共通部分の部分集合であるということです。

命題(共通部分と導集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) ^{d}\subset A^{d}\cap B^{d}
\end{equation*}が成り立つ。
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ちなみに、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}
A^{d}\cap B^{d}\subset \left( A\cap B\right) ^{d}
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。以下の例から明らかです。

例(共通部分と導集合)
\(\mathbb{R}\)の部分集合である\(\left( -1,0\right) \)と\(\left( 0,1\right) \)について考えます。これらの共通部分の導集合は、\begin{eqnarray*}
\left( \left( -1,0\right) \cap \left( 0,1\right) \right) ^{d} &=&\phi
^{d}\quad \because \cap \text{の定義} \\
&=&\phi \quad \because \text{導集合の定義}
\end{eqnarray*}である一方、それぞれの導集合の共通部分は、\begin{eqnarray*}
\left( -1,0\right) ^{d}\cap \left( 0,1\right) ^{d} &=&\left[ -1,0\right] \cap \left[ 0,1\right] \quad \because \text{導集合の定義} \\
&=&\left\{ 0\right\} \quad \because \cap \text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、両者は異なる集合です。

次回は孤立点について解説します。

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