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数直線の位相

実数集合の集積点(極限点)・導集合

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集積点

実数空間の点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも短い場所にある\(\mathbb{R} \)上の点からなる集合\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}です。実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)の任意の近傍が\(a\)とは異なる\(A\)の要素を持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap
\left( A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の集積点(accumulation point)や極限点(limit point)などと呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の集積点であることとは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(A\)の点が必ず存在することを意味します。上の定義において、点\(a\)は\(A\)の要素であるとまでは指定されていません。つまり、\(A\)の集積点は\(A\)の要素である場合とそうではない場合の両方が起こり得るということです。

逆に、点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(A\)の集積点でないこととは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) =\phi
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap
\left( A\backslash \left\{ a\right\} \right) =\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の集積点でないこととは、点\(a\)から十分近い場所に\(a\)とは異なる\(A\)の点が存在しないことを意味します。

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての集積点からなる集合を\(A\)の導集合(derived set)と呼び、\begin{equation*}
A^{d}
\end{equation*}で表記します。任意の点\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{d} &\Leftrightarrow &\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\cap
\left( A\backslash \{x\}\right) \not=\phi \\
&\Leftrightarrow &\forall \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon
\right) \cap \left( A\backslash \left\{ x\right\} \right) \not=\phi
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。

集合\(A\subset \mathbb{R} \)の集積点\(a\in A^{d}\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。\(A\backslash\left\{ a\right\} \subset A\)であることを踏まえると、このとき、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}もまた明らかに成り立ちますが、これは点\(a\)が集合\(A\)の触点であることの定義に他なりません。つまり、\(a\in A^{a}\)です。ただし、\(A^{a}\)は集合\(A\)の閉包です。以上より、\begin{equation*}A^{d}\subset A^{a}
\end{equation*}であることが明らかになりました。集合\(A\)の集積点は必ず\(A\)の触点であるということです。さらに、触点は内点もしくは境界点であるため、すなわち、\begin{equation*}A^{a}=A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
A^{d}\subset A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}を得ます。ただし、\(A^{i}\)は\(A\)の内部であり、\(A^{f}\)は\(A\)の境界です。集合\(A\)の集積点は必ず\(A\)の内部または境界点であるということです。

結論をまとめると以下の命題を得ます。

命題(集合の集積点は内点または境界点)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{d}\subset A^{a}=A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合であり、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包であり、\(A^{i}\)は\(A\)の内部であり、\(A^{f}\)は\(A\)の境界である。

以上の命題より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の集積点は\(A\)の内点または境界点のどちらか一方であることが明らかになりました。では、逆の主張は成り立つでしょうか。まず、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の内点は集積点であることが保証されます。

命題(集合の内点は集積点)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{i}\subset A^{d}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合であり、\(A^{i}\)は\(A\)の内部である。
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他方で、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の境界点は集積点であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(集積点ではない境界点)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それだけを要素として持つ\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}\left\{ a\right\}
\end{equation*}をとります。半径\(\varepsilon>0\)を任意に選んだとき点\(a\)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(a\)を要素として持つため\(\left\{ a\right\} \)と交わります。同時に、\(\varepsilon >0\)であることから\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ a\right\} \)とも交わります。したがって点\(a\)は\(\left\{ a\right\} \)の境界点です。その一方で、\(\left\{ a\right\} \)は\(a\)以外の要素を持たないため、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(a\)とは異なる\(\left\{ a\right\} \)の点を要素として持ちません。したがって\(a\)は\(\left\{ a\right\} \)の集積点ではありません。

ただし、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の境界点が\(A\)の要素ではない場合には、\(A\)の集積点になることが保証されます。

命題(集合の境界点が集積点であるための条件)
\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{f}\cap A^{c}\subset A^{d}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合であり、\(A^{f}\)は\(A\)の境界点である。
証明

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これまでの議論を整理しましょう。\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の集積点は\(A\)の内点または境界点になることが保証されるため、集積点を探す際には内点と境界点だけを候補とすることができます。また、\(A\)のすべての内点は集積点であることが保証されます。一方、\(A\)の境界点は集積点であるとは限りません。\(A\)の要素ではない\(A\)の境界点は\(A\)の集積点になることが保証されますが、\(A\)の要素であるような\(A\)の境界点は\(A\)の集積点になるとは限りません。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての集積点を特定する上で以下の指針が役に立ちます。

  1. \(A\)の内点はいずれも\(A\)の集積点である。
  2. \(A\)の要素ではない\(A\)の境界点はいずれも\(A\)の集積点である。
  3. \(A\)の要素である\(A\)の境界点は\(A\)の集積点である場合とそうでない場合がある(ここだけチェックが必要)。
  4. それ以外には\(A\)の集積点は存在しない。
例(有界開区間の集積点)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}を定義します。導集合は、\begin{equation*}
\left( a,d\right) ^{d}=\left[ a,d\right] \end{equation*}となります(演習問題)。

例(有界閉区間の集積点)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。導集合は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{d}=\left[ a,d\right] \end{equation*}となります(演習問題)。

例(有界半開区間の集積点)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。導集合は、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,b)^{d} &=&\left[ a,b\right] \\
(a,b]^{d} &=&\left[ a,b\right] \end{eqnarray*}となります(演習問題)。

例(有理数空間の集積点)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)の導集合は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}となります(演習問題)。証明では有理数の稠密性を利用します。
例(無理数空間の集積点)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の導集合は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}となります(演習問題)。証明では無理数の稠密性を利用します。

例(実数空間の集積点)
実数空間\(\mathbb{R} \)の導集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}となります(演習問題)。
例(空集合の集積点)
空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \subset \mathbb{R} \)であり、したがって\(\phi \)の導集合も定義可能ですが、\begin{equation*}\phi ^{d}=\phi
\end{equation*}となります(演習問題)。

例(集積点)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}となります(演習問題)。これは\(A\)の集積点が\(A\)の点ではない例です。
例(集積点)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \cup \left\{ 0\right\} \\
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,0,\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}となります(演習問題)。これは\(A\)の集積点が\(A\)の点である例です。

 

数列を用いた集積点の定義

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の集積点であることを判定する方法としては、集積点の定義にもとづいて確認する方法や、先の指針にもとづいて確認する方法などがあります。ただ、集積点は数列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が集積点であることを容易に判定できる場合があります。順を追って説明します。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選びます。一般に、\(A\)の点を項とするとともに、すべて項が点\(a\)とは異なり、なおかつ点\(a\)に収束する数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は存在するとは限りません。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A\backslash \left\{ a\right\} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は存在するとは限らないということです。しかし、点\(a\)が集合\(A\)の集積点である場合には、以上の性質を満たす数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が必ず存在します。

命題(集積点と収束数列)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の集積点であるならば、\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する数列が存在する。
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上の命題の逆もまた成立します。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)の点を項とするとともに任意の項が点\(a\)とは異なり、なおかつ点\(a\)へ収束する数列が存在する場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A\backslash \left\{ a\right\} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在する場合、この点\(a\)は集合\(A\)の集積点になることが保証されます。

命題(集積点と収束数列)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する数列が存在するならば、\(a\)は\(A\)の集積点である。
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以上の2つの命題より、集積点という概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(数列を用いた集積点の定義)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する数列が存在することは、\(a\)が\(A\)の集積点であるための必要十分条件である。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ点\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在する場合、極限に相当する点\(a\)のいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(\left\{ x_{n}\right\} \)の点が無数に存在します。したがって、\(a\)が\(A\)の集積点であることは、\(a\)とは異なる\(A\)上の点をたどりながら点\(a\)へ限りなく近づくことが必ず可能です。

 

数列を用いて集積点であることを判定する

先の命題より、集積点に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えることができます。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の集積点であることを示すためには、\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する数列を具体的に提示すればよいということになります。

例(数列を用いて集積点であることを判定する)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}を定義します。先に示したように、\begin{equation*}
\left( a,d\right) ^{d}=\left[ a,d\right] \end{equation*}であるため、\(\left( a,b\right) \)上の任意の点は\(\left( a,b\right) \)の集積点です。同じことを数列を用いて示します。そこで、点\(c\in \left( a,b\right) \)を任意に選んだ上で、一般項が、\begin{equation*}x_{n}=c+\frac{b-c}{n+1}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)に注目します。この数列の任意の項は\(\left( a,b\right) \)の要素であるとともに\(c\)とは異なり、なおかつその極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( c+\frac{b-c}{n+1}\right) \\
&=&c+0 \\
&=&c
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より\(c\)は\(\left( a,b\right) \)の集積点です。\(\left( a,b\right) \)の任意の点\(c\)について同様の議論が成立するため、\(\left( a,b\right) \)の任意の点が\(\left( a,b\right) \)の集積点であることが明らかになりました。続いて、点\(a\)が\(\left( a,b\right) \)の集積点であることを示します。一般項が、\begin{equation*}x_{n}=a+\frac{b-a}{n+1}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)に注目します。この数列の任意の項は\(\left( a,b\right) \)の要素であるとともに\(a\)とは異なり、なおかつその極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( a+\frac{b-a}{n+1}\right) \\
&=&a+0 \\
&=&a
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(a\)は\(\left( a,b\right) \)の集積点です。点\(b\)が\(\left(a,b\right) \)の集積点であることの証明も同様です。

 

数列を用いて集積点ではないことを判定する

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(a\)が\(A\)の集積点であることは、\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する数列が存在することと必要十分です。したがって、\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する数列が存在しないことを示せば、\(a\)が\(A\)の集積点ではないことを示したことになります。もしくは、\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(a\)とは異なり、なおかつ\(a\)へ収束する数列が存在するものと仮定して矛盾を導けば、背理法より、\(a\)は\(A\)の集積点ではないことになります。

例(数列を用いて集積点ではないことを判定する)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}を定義します。有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)に属さない点、すなわち補集合\(\left[ a,b\right] ^{c}=\left( -\infty ,a\right) \cup \left(b,+\infty \right) \)の任意の要素が\(\left( a,b\right) \)の集積点でないことを示します。そこで、\(c\in \left[ a,b\right] ^{c}\)を任意に選びます。その上で、\(c\)が\(\left( a,b\right) \)の集積点であるものと仮定して、すなわち、任意の項が\(\left( a,b\right) \)の要素であるとともに\(c\)とは異なり、なおかつ\(c\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在するものと仮定して矛盾を導きます。仮定より、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :a<x_{n}<b \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=c \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=c
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在します。\(\left( a\right) \)より、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :a\leq x_{n}\leq b
\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限についても、\begin{equation*}a\leq \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq b
\end{equation*}が成り立ちますが、これと\(\left( c\right) \)より、\begin{equation*}a\leq c\leq b
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
c\in \left[ a,b\right] \end{equation*}を得ますが、これは\(c\in \left[ a,b\right] ^{c}\)と矛盾です。したがって背理法より、\(c\)は\(\left( a,b\right) \)の集積点でないことが明らかになりました。

 

導集合を用いた閉集合の定義

閉包と導集合の関係を整理しておきましょう。\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)のすべての集積点に\(A\)のすべての要素を加えれば\(A\)のすべての触点が得られます。

命題(導集合と閉包の関係)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}A^{a}=A\cup A^{d}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{a}=A
\end{equation*}が成り立つことは\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件ですが、先の命題を踏まえると、このとき、\begin{eqnarray*}A^{a}=A &\Leftrightarrow &A\cup A^{d}=A\quad \because A^{a}=A\cup A^{d} \\
&\Leftrightarrow &A\cup A^{d}\subset A\quad \because A\subset A\cup A^{d}\text{は恒真} \\
&\Leftrightarrow &A^{d}\subset A
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A^{a}=A\Leftrightarrow A^{d}\subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(A\)の導集合が\(A\)の部分集合であることと\(A\)が閉集合であることは必要十分です。

命題(導集合による閉集合の定義)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立つことと、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることは必要十分である。

以上の命題は、閉集合という概念が導集合という概念から定義可能であることを示唆します。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、その導集合\(A^{d}\)が定義されていれば、以下の条件\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{d}\subset A
\end{equation*}を満たすものとして閉集合の概念を間接的に定義できるということです。

 

導集合を用いた閉集合であることの判定

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の導集合\(A^{d}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合であることを示せばよいということになります。

例(有界閉区間は閉集合)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{d}=\left[ a,b\right] \end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{d}\subset \left[ a,b\right] \end{equation*}となるため、\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。
例(実数空間は閉集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の導集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{d}\subset \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。
例(空集合は閉集合)
空集合\(\phi \subset \mathbb{R} \)の導集合は、\begin{equation*}\phi ^{d}=\phi
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\phi ^{d}\subset \phi
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\phi \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。
例(導集合を用いた閉集合であることの判定)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \cup \left\{ 0\right\} \\
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,0,\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(A\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。

 

導集合を用いた閉集合ではないことの判定

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{d}\subset A
\end{equation*}が成り立つのであれば、以下の関係\begin{equation*}
A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合ではない}\Leftrightarrow A^{d}\not\subset A
\end{equation*}もまた成立します。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の集積点の中に\(A\)の要素ではないものが存在することを示せばよいということになります。

例(有界開区間は閉集合ではない)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{d}=\left[ a,b\right] \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{d}\subset \left( a,b\right)
\end{equation*}は成り立ちません。したがって\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(有界半開区間は閉集合ではない)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}について考えます。これらの集合の導集合は、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,b)^{d} &=&\left[ a,b\right] \\
(a,b]^{d} &=&\left[ a,b\right] \end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,b)^{d} &\subset &[a,b) \\
(a,b]^{d} &\subset &(a,b] \end{eqnarray*}はいずれも成り立ちません。したがって\([a,b)\)や\((a,b]\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(有理数空間は閉集合ではない)
有理数空間\(\mathbb{Q} \)の導集合は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{d}\subset \mathbb{Q} \end{equation*}は成り立ちません。したがって\(\mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(無理数空間は閉集合ではない)
無理数空間\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の導集合は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{d}\subset \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{equation*}は成り立ちません。したがって\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(導集合を用いた閉集合ではないことの判定)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
A^{d}\subset A
\end{equation*}は成り立ちません。したがって\(A\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。

 

演習問題

問題(有界開区間の導集合)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}を定義します。このとき、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{d}=\left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(有界閉区間の導集合)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。このとき、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{d}=\left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(有界半開区間の導集合)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。このとき、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,b)^{d} &=&\left[ a,b\right] \\
(a,b]^{d} &=&\left[ a,b\right] \end{eqnarray*}が成り立つことを証明してください。

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問題(有理数空間の導集合)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)の導集合は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}であることを証明してください。
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問題(無理数空間の導集合)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の導集合は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}であることを証明してください。

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問題(実数空間の導集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の導集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}であることを証明してください。
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問題(空集合の導集合)
空集合\(\phi \subset \mathbb{R} \)の導集合は、\begin{equation*}\phi ^{d}=\phi
\end{equation*}であることを証明してください。

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問題(導集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。導集合\(A^{d}\)を求めてください。
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問題(導集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \cup \left\{ 0\right\} \\
&=&\left\{ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\cdots ,0,\cdots ,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。導集合\(A^{d}\)を求めてください。
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問題(触点と集積点)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それを唯一の要素とする\(\mathbb{R} \)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。点\(a\)は\(\left\{ a\right\} \)の触点である一方で集積点ではないことを数列を用いて証明してください。
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問題(数列を用いた集積点の定義)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{d}=\left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立つことを点列を用いて証明してください。

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問題(数列を用いた集積点の定義)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{equation*}A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}として与えられているものとします。点\(0\)が\(A\)の集積点であることを数列を用いて証明してください。
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問題(包含関係と導集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow A^{d}\subset B^{d}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(和集合と導集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) ^{d}=A^{d}\cup B^{d}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(共通部分と導集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) ^{d}\subset A^{d}\cap B^{d}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(共通部分と導集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}A^{d}\cap B^{d}\subset \left( A\cap B\right) ^{d}
\end{equation*}は成り立つとは限らないことを証明してください。

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