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触点・閉包

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触点

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)の任意の近傍が\(A\)と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap
A\not=\phi
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の触点(adherent point)と呼びます。つまり、点\(a\)を中心とする任意の有界開区間が\(A\)と交わるのであれば\(a\)は\(A\)の触点です。

逆に、点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(A\)の触点でない場合には、上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\phi
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(a\)が\(A\)の外点であることの定義に他なりません。つまり、\(a\)が\(A\)の触点であることと、\(a\)が\(A\)の外点でないことは必要十分です。さらに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{R} \)のそれぞれの点は\(A\)の内点、外点、境界点のいずれかであるため、\(a\)が\(A\)の触点であることと、\(a\)が\(A\)の内点または境界点であることは必要十分です。

命題(触点の特徴づけ)

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の3つの命題\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\text{は}A\text{の触点である} \\
&&\left( b\right) \ a\text{は}A\text{の外点ではない} \\
&&\left( c\right) \ a\text{は}A\text{の内点または境界点である}
\end{eqnarray*}はお互いに必要十分である。

例(有界開区間の触点)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。\(\left( a,b\right) \)の内部は\(\left( a,b\right) \)であり境界は\(\left\{ a,b\right\} \)であるため、上の命題より、\(\left( a,b\right) \)のすべての触点からなる集合は\(\left[ a,b\right] \)です。
例(有界閉区間の触点)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。\(\left[ a,b\right] \)の内部は\(\left( a,b\right) \)であり境界は\(\left\{ a,b\right\} \)であるため、上の命題より、\(\left[ a,b\right] \)のすべての触点からなる集合は\(\left[ a,b\right] \)です。
例(有理数空間の触点)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)について考えます。\(\mathbb{Q} \)の内点は存在しない一方、\(\mathbb{R} \)の任意の点は\(\mathbb{Q} \)の境界点であるため、上の命題より、\(\mathbb{R} \)の任意の点は\(\mathbb{Q} \)の触点です。
例(無理数空間の触点)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)について考えます。\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の内点は存在しない一方、\(\mathbb{R} \)の任意の点は\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の境界点であるため、上の命題より、\(\mathbb{R} \)の任意の点は\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の触点です。
例(実数空間の触点)
実数空間\(\mathbb{R} \)について考えます。\(\mathbb{R} \)の任意の点が\(\mathbb{R} \)の内点である一方、\(\mathbb{R} \)の外点は存在しないため、上の命題より、\(\mathbb{R} \)の任意の点は\(\mathbb{R} \)の触点です。

 

閉包

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての触点からなる集合を\(A\)の閉包(closure)と呼び、\begin{equation*}A^{a},\quad \mathrm{cl}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{a} &\Leftrightarrow &\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\cap
A\not=\phi \quad \because \text{触点の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon
\right) \cap A\not=\phi \quad \because \text{近傍の定義}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の触点であること、\(a\)が\(A\)の外点ではないこと、そして\(a\)が\(A\)の内点または境界点であることは必要十分です。したがって以下が成り立ちます。

命題(閉包の特徴づけ)

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\begin{equation*}A^{a}=\left( A^{e}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{e}\)は\(A\)の外部、\(A^{i}\)は\(A\)の内部、\(A^{f}\)は\(A\)の境界である。

上の命題より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の閉包を\(A \)の外部の補集合や、\(A\)の内部と境界の和集合として定義することもできます。以前に指摘したように、\(\mathbb{R} \)の部分集合の内部や外部、境界などはいずれも\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義される概念です。この事実と、閉包が外部もしくは内部および境界から間接的に定義可能であることを踏まえると、\(\mathbb{R} \)の部分集合の閉包という概念もまた開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義可能な概念ということになります。

例(有界開区間の閉包)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}となります。
例(有界閉区間の閉包)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}となります。
例(有理数空間の閉包)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)について、先の考察より、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。
例(無理数空間の閉包)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)について、先の考察より、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。
例(実数空間の閉包)
実数空間\(\mathbb{R} \)について、先の考察より、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。

 

閉包を用いた閉集合の定義

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\(A\)の閉包は\(A\)を部分集合として持ちます。つまり、\(A\subset A^{a}\)という関係が常に成り立ちます。\(A\)の任意の点は\(A\)の触点であるということです。言い換えると、\(A\)の任意の点は\(A\)の内点または境界点であるということです。

命題(集合は自身の閉包の部分集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A\subset A^{a}
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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逆に、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について\(A^{a}\subset A\)という関係もまた成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例(集合と閉包の関係)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}であるため、\(\left( a,b\right)^{a}\subset \left( a,b\right) \)が成り立ちません。

では、どのような条件のもとで\(A^{a}\subset A\)が成立するのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合である場合、そしてその場合にのみ\(A^{a}\subset A\)という関係もまた成立します。

命題(閉包による閉集合の定義)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{a}\subset A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件である。
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以上の命題は、閉集合という概念が閉包という概念から定義可能であることを示唆します。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{a}\subset A
\end{equation*}が成り立つこととして、つまり\(A\)の任意の触点が\(A\)の点であることとして、言い換えると、\(A\)の任意の内点および境界点が\(A\)の点であることとして、\(A\)が閉集合であることを定義できるということです。さらに、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について\(A\subset A^{a}\)が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}A^{a}\subset A &\Leftrightarrow &A^{a}\subset A\wedge A\subset A^{a}\quad
\because A\subset A^{a}\text{は恒真式} \\
&\Leftrightarrow &A^{a}=A
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A^{a}\subset A\Leftrightarrow A^{a}=A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、上の命題を以下のように言い換えることもできます。

命題(閉包による閉集合の定義)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{a}=A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件である。

 

閉集合を用いた閉包の定義

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A^{e}=\left( A^{a}\right) ^{c}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A^{e}\right) ^{c}=A^{a}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。外部\(A^{e}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、その補集合\(\left( A^{e}\right)^{c}\)は閉集合です。したがってそれと一致する\(A^{a}\)もまた閉集合です。\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるということです。

命題(閉包は閉集合)
\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その閉包\(A^{a}\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合である。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その閉包\(A^{a}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{a}\)は\(A\)を部分集合として持つ閉集合です。\(A\)を部分集合として閉集合は\(A^{a}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{a}\)はそのような集合の中でも最小のものです。つまり、\(A\)を部分集合として持つような\(\mathbb{R} \)上の閉集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{a}\)の間には\(A^{a}\subset B\)という関係が成り立つということです(演習問題にします)。

命題(閉集合系による閉包の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その閉包\(A^{a}\)は\(A\)を部分集合として持つような閉集合の中でも最小のものである。すなわち、\(\mathbb{R} \)の閉集合系を\(\mathcal{A}\)で表すとき、\(A^{a}\in \mathcal{A}\)であるとともに、\begin{equation*}\left( \forall B\in \mathcal{A}:A\subset B\right) \Rightarrow A^{a}\subset B
\end{equation*}が成り立つ。
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\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{A}\)に属する\(\mathbb{R} \)上の閉集合の中でも、\(A\)を部分集合として持つものの中で最小のものをとればそれは\(A\)の閉包\(A^{a}\)になります。したがって\(\mathbb{R} \)の部分集合の閉包という概念は、\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)から間接的に定義することも可能です。さらに、閉集合系は開集合系から定義可能であるため、結局、閉包もまた開集合系から定義可能な概念です。

 

演習問題

問題(包含関係と閉包)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow A^{a}\subset B^{a}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(和集合と閉包)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) ^{a}=A^{a}\cup B^{a}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(共通部分と閉包)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}(A\cap B)^{a}\subset A^{a}\cap B^{a}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(共通部分と閉包)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}A^{a}\cap B^{a}\subset (A\cap B)^{a}
\end{equation*}は成り立つとは限らないことを証明してください。
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次回は集合の触点が数列を用いて表現できることを示します。

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実数空間 R の部分集合 A および点 a が与えられたとき、a に収束する A 上の数列が存在することは、a が A の触点であるための必要十分条件です。

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DISCUSSION

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