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数直線の位相

実数集合の触点・閉包

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触点・閉包

実数空間の点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも短い場所にある\(\mathbb{R} \)上の点からなる集合\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}です。実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)の任意の近傍が\(A\)と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap
A\not=\phi
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の触点(adherent point)と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の触点であることとは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(A\)の点が必ず存在することを意味します。

逆に、点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(A\)の触点ではないことは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\phi
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap
A=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の触点ではないこととは、点\(a\)から十分近い場所に\(A\)の点が存在しないことを意味します。

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての触点からなる集合を\(A\)の閉包(closure)と呼び、\begin{equation*}A^{a},\quad \mathrm{cl}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。任意の点\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{a} &\Leftrightarrow &\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\cap
A\not=\phi \quad \because \text{触点の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,a+x\right)
\cap A\not=\phi \quad \because \text{近傍の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。

点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(A\)の触点ではないことは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これは、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}と必要十分です。これは\(a\)が\(A\)の外点であることの定義に他なりません。以上より、\begin{equation*}a\not\in A^{a}\Leftrightarrow a\in A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\begin{equation*}
a\in A^{a}\Leftrightarrow a\not\in A^{e}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A^{a}=\left( A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}を得ます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の触点であることと\(a\)が\(A\)の外点ではないことは必要十分であるため、\(A\)の閉包は\(A\)の外部の補集合と一致します。

さらに、点\(a\)が集合\(A\)の外点でないことと\(a\)が\(A\)の内点または境界点であることは必要十分であるため、すなわち、\begin{equation*}a\not\in A^{e}\Leftrightarrow a\in A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A^{e}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
A^{a}=A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}を得ます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の触点であることと\(a\)が\(A\)の内点または境界点であることは必要十分であるため、\(A\)の閉包は\(A\)の内部と境界の和集合と一致します。

結論をまとめると以下の命題を得ます。

命題(触点の特徴づけ)

実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{a}=A^{i}\cup A^{f}=\left( A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包、\(A^{i}\)は\(A\)の内部、\(A^{f}\)は\(A\)の境界、\(A^{e}\)は\(A\)の外部である。

以上の命題より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての触点を特定するために、\(A\)のすべての内点と境界点を特定してもよいことが明らかになりました。もしくは、集合\(A\)の外点をすべて特定すれば、それ以外のすべての点が\(A\)のすべての触点になります。

例(有界開区間の閉包)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}を定義します。閉包は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}となります(演習問題)。

例(有界閉区間の閉包)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。閉包は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}となります(演習問題)。

例(有界半開区間の閉包)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。閉包は、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,b)^{a} &=&\left[ a,b\right] \\
(a,b]^{a} &=&\left[ a,b\right] \end{eqnarray*}となります(演習問題)。

例(無限半開区間の閉包)
\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、無限半開区間\begin{eqnarray*}\left( a,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。閉包は、\begin{eqnarray*}
\left( a,+\infty \right) ^{a} &=&[a,+\infty ) \\
\left( -\infty ,b\right) ^{a} &=&(-\infty ,b] \end{eqnarray*}となります(演習問題)。

例(無限半閉区間の閉包)
\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、無限半閉区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。閉包は、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty )^{a} &=&[a,+\infty ) \\
(-\infty ,b]^{a} &=&(-\infty ,b] \end{eqnarray*}となります(演習問題)。

例(整数空間の内点)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)の閉包は、\begin{equation*}\mathbb{Z} ^{a}=\mathbb{Z} \end{equation*}となります(演習問題)。
例(非整数空間の内点)
すべての非整数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \right) ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}となります(演習問題)。

例(有理数空間の閉包)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)の閉包は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}となります(演習問題)。
例(無理数空間の閉包)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}となります(演習問題)。

例(実数空間の閉包)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)の閉包は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}となります(演習問題)。
例(空集合の閉包)
空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \subset \mathbb{R} \)であり、したがって\(\phi \)の閉包も定義可能ですが、\begin{equation*}\phi ^{a}=\phi
\end{equation*}となります(演習問題)。

 

数列を用いた触点の定義

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の触点であることを判定する方法としては、触点の定義に照らし合わせて確認する方法や、\(a\)が\(A\)の外点でないことを示す方法、もしくは\(a\)が\(A\)の内点または外点であることを示す方法などがあります。ただ、触点は数列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が触点であることを容易に判定できることがあります。順を追って説明します。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選びます。一般に、\(A\)の要素を項とするとともに点\(a\)に収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は存在するとは限りません。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は存在するとは限らないということです。しかし、点\(a\)が集合\(A\)の触点である場合には、以上の性質を満たす数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が必ず存在します。

命題(触点と収束数列)

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の触点であるならば、\(A\)の要素を項とするとともに\(a\)へ収束する数列が存在する。

証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(A\)の点を項とするとともに点\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在する場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在する場合、この点\(a\)は集合\(A\)の触点になることが保証されます。

命題(触点と収束数列)

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(A\)の要素を項とするとともに\(a\)へ収束する数列が存在するならば、\(a\)は\(A\)の触点である。

証明

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以上の2つの命題より、触点という概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(数列を用いた触点の定義)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(A\)の要素を項とするとともに\(a\)へ収束する数列が存在することと、\(a\)が\(A\)の触点であることは必要十分である。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の要素を項とし点\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在する場合、極限に相当する点\(a\)のいくらでも近い場所に\(\left\{ x_{n}\right\} \)の点が無数に存在します。したがって、\(a\)が\(A\)の触点であることは、\(A\)上の点をたどりながら点\(a\)へ限りなく近づくことが必ず可能です。

 

数列を用いて触点であることを判定する

先の命題より、触点に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えることができます。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の触点であることを示すためには、\(A\)の要素を項とするとともに\(a\)へ収束する数列を具体的に提示すればよいということになります。

例(数列を用いて触点であることを判定する)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。先に示したように、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{a}=\left( a,b\right)
\end{equation*}であるため、\(\left( a,b\right) \)上の任意の点は\(\left( a,b\right) \)の触点です。同じことを数列を用いて示します。そこで、点\(c\in \left(a,b\right) \)を任意に選んだ上で、一般項が、\begin{equation*}x_{n}=c+\frac{b-c}{n+1}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)に注目します。この数列の任意の項は\(\left( a,b\right) \)の要素であるとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( c+\frac{b-c}{n+1}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }c+\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{b-c}{n+1}\right) \\
&=&c+0 \\
&=&c
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より\(c\)は\(\left( a,b\right) \)の触点です。

 

数列を用いて触点ではないことを判定する

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(a\)が\(A\)の触点であることは、\(A\)の要素を項とするとともに\(a\)へ収束する数列が存在することと必要十分です。したがって、\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列が存在しないことを示せば、\(a\)は\(A\)の触点ではないことを示したことになります。もしくは、\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列が存在するものと仮定して矛盾を導けば、背理法より、\(a\)は\(A\)の触点ではないことになります。

例(数列を用いて触点であることを判定する)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。補集合\(\left[ a,b\right] ^{c}=\left( -\infty ,a\right) \cup \left(b,+\infty \right) \)の任意の要素が\(\left[ a,b\right] \)の触点でないことを示します。そこで、点\(c\in \left[ a,b\right] ^{c}\)を任意に選びます。その上で、\(c\)が\(\left[ a,b\right] \)の触点であるものと仮定して、すなわち、\(\left[ a,b\right]^{c}\)の点を項とするとともに\(c\)へ収束する数列が存在するものと仮定して矛盾を導きます。仮定より、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :a\leq x_{n}\leq b \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=c
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在します。\(\left( a\right) \)より、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限についても、\begin{equation*}a\leq \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq b
\end{equation*}が成り立ちますが、これと\(\left( b\right) \)より、\begin{equation*}a\leq c\leq b
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
c\in \left[ a,b\right] \end{equation*}を得ますが、これは\(c\in \left[ a,b\right] ^{c}\)と矛盾です。したがって背理法より、\(c\)は\(\left( a,b\right) \)の触点ではないことが明らかになりました。

 

閉包を用いた閉集合の定義

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\(A\)の閉包は\(A\)を部分集合として持ちます。つまり、\begin{equation*}A\subset A^{a}
\end{equation*}という関係が常に成り立ちます。\(A\)の任意の点は\(A\)の触点であるということです。言い換えると、\(A\)の任意の点は\(A\)の内点または境界点であるということです。

命題(集合は自身の閉包の部分集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A\subset A^{a}
\end{equation*}が成り立つ。

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では逆に、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、以下の関係\begin{equation*}A^{a}\subset A
\end{equation*}もまた必ず成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例(集合と閉包の関係)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{a}\subset \left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立ちません。

では、どのような条件のもとで\(A^{a}\subset A\)が成立するのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合である場合、そしてその場合にのみ\(A^{a}\subset A\)という関係もまた成立します。

命題(閉包による閉集合の定義)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{a}\subset A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件である。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包である。
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\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について\(A\subset A^{a}\)が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}A^{a}\subset A &\Leftrightarrow &A^{a}\subset A\wedge A\subset A^{a}\quad
\because A\subset A^{a}\text{は恒真式} \\
&\Leftrightarrow &A^{a}=A
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A^{a}\subset A\Leftrightarrow A^{a}=A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、先の命題を以下のように言い換えることもできます。

命題(閉包による閉集合の定義)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A^{a}=A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件である。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包である。

以上の命題は、閉集合という概念が閉包という概念から定義可能であることを意味します。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、その閉包\(A^{a}\)が定義されていれば、以下の条件\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{a}=A
\end{equation*}を満たすものとして閉集合の概念を間接的に定義できるということです。

 

閉包を用いた閉集合であることの判定

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{a}=A
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の閉包\(A^{a}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致することを示してもよいということになります。

例(有界閉区間は閉集合)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}を満たすため、\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。
例(無限半閉区間は閉集合)
\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、無限半閉区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。これらの集合の閉包は、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty )^{a} &=&[a,+\infty ) \\
(-\infty ,b]^{a} &=&(-\infty ,b] \end{eqnarray*}を満たすため、\([a,+\infty )\)と\((-\infty ,b]\)はともに\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。
例(整数空間は閉集合)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)の閉包は、\begin{equation*}\mathbb{Z} ^{a}=\mathbb{Z} \end{equation*}を満たすため、\(\mathbb{Z} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。
例(実数空間は閉集合)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)の閉包は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}を満たすため、\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。
例(空集合は閉集合)
空集合\(\phi \subset \mathbb{R} \)の閉包は、\begin{equation*}\phi ^{a}=\phi
\end{equation*}を満たすため、\(\phi \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。

 

閉包を用いた閉集合ではないことの判定

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合}\Leftrightarrow A^{a}=A
\end{equation*}が成り立つのであれば、以下の関係\begin{equation*}
A\text{は}\mathbb{R} \text{上の閉集合ではない}\Leftrightarrow A^{a}\not=A
\end{equation*}もまた成立します。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の閉包\(A^{a}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致しないことを示してもよいということになります。

ちなみに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことは\(A\)が開集合であることを必ずしも意味しないため、\(A^{a}\not=A\)を示した場合、\(A\)が開集合であることを示したことにはなりません。

例(有界開区間は閉集合ではない)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}を定義します。この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{a}\not=\left( a,b\right)
\end{equation*}となるため、\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(有界半開区間は閉集合ではない)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。これらの集合の閉包は、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,b)^{a} &=&\left[ a,b\right] \\
(a,b]^{a} &=&\left[ a,b\right] \end{eqnarray*}となります。つまり、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,b)^{a} &\not=&[a,b) \\
(a,b]^{a} &\not=&(a,b] \end{eqnarray*}となるため、\([a,b)\)と\((a,b]\)はともに\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(無限半開区間は閉集合ではない)
\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、無限半開区間\begin{eqnarray*}\left( a,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。これらの集合の閉包は、\begin{eqnarray*}
\left( a,+\infty \right) ^{a} &=&[a,+\infty ) \\
\left( -\infty ,b\right) ^{a} &=&(-\infty ,b] \end{eqnarray*}となります。つまり、\begin{eqnarray*}
\left( a,+\infty \right) ^{a} &\not=&\left( a,+\infty \right) \\
\left( -\infty ,b\right) ^{a} &\not=&\left( -\infty ,b\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left( a,+\infty \right) \)と\(\left( -\infty ,b\right) \)はともに\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(非整数空間は閉集合ではない)
すべての非整数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \right) ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。つまり、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \right) ^{a}\not=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \end{equation*}となるため、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(有理数空間は閉集合ではない)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)の閉包は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。つまり、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{a}\not=\mathbb{Q} \end{equation*}となるため、\(\mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(無理数空間は閉集合ではない)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。つまり、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{a}\not=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{equation*}となるため、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。

 

閉集合を用いた閉包の定義

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A^{a}=\left( A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}が成り立つことを先に示しました。外部\(A^{e}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、その補集合\(\left( A^{e}\right)^{c}\)は閉集合です。したがってそれと一致する\(A^{a}\)もまた閉集合です。つまり、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合の閉包は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるということです。

命題(閉包は閉集合)
\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その閉包\(A^{a}\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合である。
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\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その閉包\(A^{a}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{a}\)は\(A\)を部分集合として持つ閉集合です。\(A\)を部分集合として閉集合は\(A^{a}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{a}\)はそのような集合の中でも最小のものです。つまり、\(A\)を部分集合として持つような\(\mathbb{R} \)上の閉集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{a}\)の間には\(A^{a}\subset B\)という関係が成り立つということです(演習問題)。

命題(閉集合系による閉包の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その閉包\(A^{a}\)は\(A\)を部分集合として持つような閉集合の中でも最小のものである。すなわち、\(\mathbb{R} \)の閉集合系を\(\mathcal{A}\)で表すとき、\(A^{a}\in \mathcal{A}\)であるとともに、\begin{equation*}\left( \forall B\in \mathcal{A}:A\subset B\right) \Rightarrow A^{a}\subset B
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{A}\)に属する\(\mathbb{R} \)上の閉集合の中でも、\(A\)を部分集合として持つものの中で最小のものをとればそれは\(A\)の閉包\(A^{a}\)になります。したがって\(\mathbb{R} \)の部分集合の閉包という概念は、\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)から間接的に定義することも可能です。さらに、閉集合系は開集合系から定義可能であるため、結局、閉包もまた開集合系から定義可能な概念です。

 

演習問題

問題(有界開区間の閉包)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}を定義します。閉包は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}であることを証明してください。

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問題(有界閉区間の閉包)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。閉包は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}であることを証明してください。

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問題(有界半開区間の閉包)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。閉包は、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,b)^{a} &=&\left[ a,b\right] \\
(a,b]^{a} &=&\left[ a,b\right] \end{eqnarray*}であることを証明してください。

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問題(無限半開区間の閉包)
\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、無限半開区間\begin{eqnarray*}\left( a,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。閉包は、\begin{eqnarray*}
\left( a,+\infty \right) ^{a} &=&[a,+\infty ) \\
\left( -\infty ,b\right) ^{a} &=&(-\infty ,b] \end{eqnarray*}であることを証明してください。

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問題(無限半閉区間の閉包)
\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、無限半閉区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。閉包は、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty )^{a} &=&[a,+\infty ) \\
(-\infty ,b]^{a} &=&(-\infty ,b] \end{eqnarray*}であることを証明してください。

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問題(整数空間の閉包)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)の閉包は、\begin{equation*}\mathbb{Z} ^{a}=\mathbb{Z} \end{equation*}であることを証明してください。
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問題(非整数空間の閉包)
すべての非整数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \right) ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}であることを証明してください。

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問題(有理数空間の閉包)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)の閉包は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}であることを証明してください。
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問題(無理数空間の閉包)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}であることを証明してください。

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問題(実数空間の閉包)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)の閉包は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}であることを証明してください。
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問題(空集合の閉包)
空集合\(\phi \subset \mathbb{R} \)の閉包は、\begin{equation*}\phi ^{a}=\phi
\end{equation*}であることを証明してください。

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問題(数列を用いた触点の定義)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。このとき、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立つことを数列を用いて証明してください。

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問題(包含関係と閉包)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow A^{a}\subset B^{a}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(和集合と閉包)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) ^{a}=A^{a}\cup B^{a}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(共通部分と閉包)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}(A\cap B)^{a}\subset A^{a}\cap B^{a}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(共通部分と閉包)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}A^{a}\cap B^{a}\subset (A\cap B)^{a}
\end{equation*}は成り立つとは限らないことを証明してください。

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