触点・閉包

触点

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)の任意の近傍が\(A\)と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の触点（adherent point）と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap
A\not=\phi
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、点\(a\)を中心とする任意の有界開区間が\(A\)と交わるのであれば\(a\)は\(A\)の触点です。

集合\(A\)の触点\(a\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。\(a\)が\(A\)の触点でない場合、上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\phi
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(a\)が\(A\)の外点であることの定義に他なりません。つまり、\(a\)が\(A\)の触点であることと、\(a\)が\(A\)の外点でないことは必要十分です。さらに、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{R}\)のそれぞれの点は\(A\)の内点、外点、境界点のいずれかであるため、\(a\)が\(A\)の触点であることと、\(a\)が\(A\)の内点または境界点であることは必要十分です。

閉包

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての触点からなる集合を\(A\)の閉包（closure）と呼び、\begin{equation*}
A^{a},\quad \mathrm{cl}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
x\in A^{a}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }(x)\cap
A\not=\phi
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

先に示したように、実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の触点であることは、その点\(a\)が\(A\)の内点または境界点であるための必要十分条件です。したがって以下が成り立ちます。

\(\mathbb{R} \)の部分集合の内部や境界はいずれも\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義される概念です。上の命題より、閉包は内部と境界から定義可能であるため、閉包もまた\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義可能です。

数列を用いた閉包の定義

閉包の性質は数列を用いて記述することもできます。実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選びます。さらに点\(a\in \mathbb{R} \)を選びます。一般に、\(A\)の点を項とするとともに点\(a\)に収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は存在するとは限りません。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は存在するとは限らないということです。しかし、\(a\)が\(A\)の触点である場合には、上の性質を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が必ず存在します。証明は以下の通りです。

点\(a\)が集合\(A\)の触点であるものとします。触点の定義より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちますが、上の命題において\(\varepsilon \)は任意の正の実数であるため、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :U_{\frac{1}{n}}\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}もまた成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in U_{\frac{1}{n}}\left( a\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在します。\(\left( b\right) \)より、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項は\(A\)の点です。さらに、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}
\left( c\right) \ \frac{1}{N}\leq \varepsilon
\end{equation*}を満たすほど十分大きい番号\(N\in \mathbb{N} \)を選べば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{n}-a\right\vert &<&\frac{1}{n}\quad \because \left( a\right)
\\
&\leq &\frac{1}{N}\quad \because n\geq N \\
&\leq &\varepsilon \quad \because \left( c\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は極限\(a\)に収束するため、これこそが求めている数列に他なりません。

上の命題の逆もまた成立します（証明は演習問題にします）。

以上の2つの命題より、数列を用いて触点を以下のように定義できます。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の点を項とし点\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在する場合、極限に相当する点\(a\)のいくらでも近い場所に\(\left\{ x_{n}\right\} \)の点が無数に存在します。したがって、\(a\)が\(A\)の触点であることは、\(A\)の点をたどりながら点\(a\)に限りなく近づくことが必ず可能であることを意味します。集合\(A\)の触点をすべて集めてできるのが閉包\(A^{a}\)であるため、\(A\)の点を項とする収束列の極限をすべて集めれば閉包\(A^{a}\)が得られます。つまり、集合\(A\)の点をたどりながら限りなく近づくことができるような点からなる集合が閉包\(A^{a}\)です。

閉包と閉集合の関係

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\(A\)の閉包は\(A\)を部分集合として持ちます。\(A\subset A^{a}\)が常に成り立つということです。証明は以下の通りです。

対偶を示します。復習になりますが、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)はその内部\(A^{i}\)と外部\(A^{e}\)と境界\(A^{f}\)に分割されます。さらに先に示したように、閉包に関しては\(A^{a}=A^{i}\cup A^{f}\)が成り立つため、\(A\)はその閉包\(A^{a}\)と外部\(A^{e}\)に分割されます。したがって、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}
x\not\in A^{a} &\Leftrightarrow &x\in A^{e}\quad \because
\mathbb{R} =A^{a}\cup A^{e} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset A^{c}\quad \because A^{e}\text{の定義} \\
&\Rightarrow &x\in A^{c}\quad \because x\in U_{\varepsilon }\left( x\right)
\\
&\Leftrightarrow &x\not\in A
\end{eqnarray*}となるため\(A\subset A^{a}\)であることが示されました。

逆に、\(A^{a}\subset A\)は成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

では、\(A^{a}\subset A\)を満たすような\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)は存在するのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合である場合、そしてその場合にのみ、\(A^{a}\subset A\)という関係もまた成立します。つまり、\(A\)のすべての触点が\(A\)の要素であることとして、\(A\)が閉集合であることを特徴づけることができます。

証明は以下の通りです。繰り返しになりますが、実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\begin{equation}
A^{a}=A^{i}\cup A^{f} \tag{1}
\end{equation}という関係が成り立ちます。つまり、閉包\(A^{a}\)は内部\(A^{i}\)と境界\(A^{f}\)の和集合であるということです。復習になりますが、\(A^{f}\subset A\)が成り立つことは\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件です。やはり復習ですが、内部に関しては\(A^{i}\subset A\)が成り立ちます。以上の事実と\(\left( 1\right) \)を踏まえると、\(A^{a}\subset A\)が成り立つこともまた\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件となります。

\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について\(A\subset A^{a}\)が成り立つことと上の命題を踏まえると、閉集合を以下のように特徴づけることも可能です。

閉包という概念を用いることにより閉集合を特徴づけられることが明らかになりましたが、実は、閉包もまた閉集合です。実際、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)については、\begin{equation*}
A^{e}=\left( A^{a}\right) ^{c}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A^{e}\right) ^{c}=A^{a}
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、外部\(A^{e}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、その補集合に一致する\(A^{a}\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。

さらに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の閉包\(A^{a}\)は\(A\)を部分集合として持つ閉集合の中でも最小のものです。つまり、\(\mathbb{R} \)の閉集合系を\(\mathcal{F}\)で表すとき、\(A^{a}\in \mathcal{F}\)であるとともに、\begin{equation*}
\left( \forall B\in \mathcal{A}:A\subset B\right) \Rightarrow A^{a}\subset B
\end{equation*}が成り立つということです。実際、\(A\subset B\)を満たす閉集合\(B\in \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、その補集合\(B^{c}\)は開集合であるため、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{align*}
x\in B^{c}& \Leftrightarrow \ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon
}(x)\subset B^{c}\quad \because B^{c}\text{は開集合}
\\
& \Rightarrow \ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }(x)\subset A^{c}\quad
\because A\subset B \\
& \Leftrightarrow \ x\in A^{e}\quad \because A^{e}\text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \ x\not\in A^{a}\quad \because \left( A^{a}\right)
^{c}=A^{e} \\
& \Leftrightarrow \ x\in \left( A^{a}\right) ^{c}
\end{align*}すなわち\(B^{c}\subset \left( A^{a}\right) ^{c}\)が成り立ちますが、これは\(A^{a}\subset B\)と必要十分であるため目標は達成されました。

\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{A}\)に属する\(\mathbb{R} \)上の閉集合の中でも、\(A\)を部分集合として持つもののなかで最小のものをとればそれは\(A\)の閉包\(A^{a}\)になります。したがって\(\mathbb{R} \)の部分集合の閉包という概念は、\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)から間接的に定義することも可能です。さらに、閉集合系は開集合系から定義可能であるため、結局、閉包もまた開集合系から定義可能な概念です。

閉包と集合演算

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。\(A\subset B\)が成り立つ場合、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}
x\in B^{e} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset B^{c}\quad \because \text{外部の定義} \\
&\Rightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset
A^{c}\quad \because A\subset B \\
&\Leftrightarrow &x\in A^{e}\quad \because \text{外部の定義}
\end{eqnarray*}となるため、それらの外部について\(B^{e}\subset A^{e}\)が成り立ちます。これは\(\left( A^{e}\right) ^{c}\subset \left( B^{e}\right) ^{c}\)と必要十分ですが、\(\left( A^{e}\right) ^{c}=A^{a}\)かつ\(\left( B^{e}\right) ^{c}=B^{a}\)が成り立つため、先の包含関係は\(A^{a}\subset B^{a}\)と言い換え可能です。

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。一般に、\begin{equation*}
A\subset A\cup B\subset \left( A\cup B\right) ^{a}
\end{equation*}が成り立つため、\(\left( A\cup B\right) ^{a}\)は\(A\)を部分集合として持つ閉集合です。\(A\)を部分集合として持つ最小の閉集合は閉包\(A^{a}\)であるため、このとき、\begin{equation*}
A^{a}\subset \left( A\cup B\right) ^{a}
\end{equation*}が成り立ちます。同様に考えると、\begin{equation*}
B^{a}\subset \left( A\cup B\right) ^{a}
\end{equation*}を得るため、これらから\(A^{a}\cup B^{a}\subset \left( A\cup B\right) ^{a}\)を得ます。

逆に\(\left( A\cup B\right) ^{a}\subset A^{a}\cup B^{a}\)もまた成り立ちます。実際、一般に、\(A\subset A^{a}\)と\(B\subset B^{a}\)がともに成り立つため、\begin{equation*}
A\cup B\subset A^{a}\cup B^{a}
\end{equation*}を得ますが、\(A^{a}\)と\(B^{a}\)はともに閉集合ですのでそれらの和集合\(A^{a}\cup B^{a}\)もまた閉集合です。つまり、\(A^{a}\cup B^{a}\)は\(A\cup B\)を部分集合として持つ閉集合ですが、\(A\cup B\)を部分集合として持つ最小の閉集合は閉包\(\left( A\cup B\right) ^{a}\)であるため\(\left( A\cup B\right) ^{a}\subset A^{a}\cup B^{a}\)が成り立ちます。

以上より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) ^{a}=A^{a}\cup B^{a}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。2つの集合について、それらの和集合の閉包は、個々の集合の閉包の和集合と一致するということです。

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。一般に、\begin{equation*}
A\cap B\subset A\subset A^{a}
\end{equation*}が成り立つため、\(A^{a}\)は\(A\cap B\)を部分集合として持つ閉集合です。\(A\cap B\)を部分集合として持つ最小の閉集合は閉包\(\left( A\cap B\right) ^{a}\)であるため、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) ^{a}\subset A^{a}
\end{equation*}が成り立ちます。同様に考えると、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) ^{a}\subset B^{a}
\end{equation*}を得るため、これらから、\begin{equation*}
(A\cap B)^{a}\subset A^{a}\cap B^{a}
\end{equation*}を得ます。2つの集合について、それらの共通部分の閉包は、個々の集合の閉包の共通部分の部分集合であるということです。

ちなみに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}
A^{a}\cap B^{a}\subset (A\cap B)^{a}
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。以下の例から明らかです。

次回は集積点や導集合という概念について解説します。