実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の任意の近傍が A と交わるならば、a を A の触点と呼びます。また、A のすべての触点からなる集合を A の閉包と呼びます。
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触点

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)の任意の近傍が\(A\)と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の触点(adherent point)と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap
A\not=\phi
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、点\(a\)を中心とする任意の有界開区間が\(A\)と交わるのであれば\(a\)は\(A\)の触点です。

集合\(A\)の触点\(a\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。\(a\)が\(A\)の触点でない場合、上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\phi
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(a\)が\(A\)の外点であることの定義に他なりません。つまり、\(a\)が\(A\)の触点であることと、\(a\)が\(A\)の外点でないことは必要十分です。さらに、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{R}\)のそれぞれの点は\(A\)の内点、外点、境界点のいずれかであるため、\(a\)が\(A\)の触点であることと、\(a\)が\(A\)の内点または境界点であることは必要十分です。

命題(触点の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の触点であることは、その点\(a\)が\(A\)の内点または境界点であるための必要十分条件である。
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例(有界開区間の触点)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な開区間\(\left( a,b\right) \)について考えます。\(\left( a,b\right) \)の内点は\(\left( a,b\right) \)の任意の点であり、\(\left( a,b\right) \)の境界点は\(a\)と\(b\)であるため、先の命題より、\(\left( a,b\right) \)の触点は\(a\leq x\leq b\)を満たす任意の点\(x\)ですが、このことを触点の定義から確認します。\(a\leq x\leq b\)を満たす点\(x\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{equation*}
\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right) \cap \left( a,b\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つため、\(x\)は\(\left( a,b\right) \)の触点です。一方、\(x<a\)を満たす点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、例えば、\begin{equation*}
\varepsilon =\frac{a-x}{2}>0
\end{equation*}とおけば\(\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)\)は\(\left( a,b\right) \)と交わらないため(確認してください)、\(x\)は\(\left( a,b\right) \)の触点ではありません。\(x>b\)を満たす任意の点\(x\in \mathbb{R} \)が\(\left( a,b\right) \)の触点でないことも同様にして示されます。以上より、\(\mathbb{R} \)上の有界な開区間\(\left( a,b\right) \)が任意に与えられたとき、その触点は\(a\leq x\leq b\)を満たす任意の点\(x\)です。
例(有界閉区間の触点)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)について考えます。\(\left[ a,b\right] \)の内点は\(\left( a,b\right) \)の任意の点であり、\(\left[ a,b\right] \)の境界点は\(a\)と\(b\)であるため、先の命題より、\(\left[ a,b\right] \)の触点は\(a\leq x\leq b\)を満たす任意の点\(x\)であるはずです。実際、先の例と同様の議論により、そのことは確認されます。つまり、\(\mathbb{R} \)上の有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)が任意に与えられたとき、その触点は\(a\leq x\leq b\)を満たす任意の点\(x\)です。
例(有理数空間の触点)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q}\)について考えます。\(\mathbb{Q}\)の内点は存在せず、\(\mathbb{Q}\)の境界点は任意の実数であるため、先の命題より、\(\mathbb{Q}\)の触点は任意の実数であるはずですが、このことを触点の定義から確認します。点\(x\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。有理数の稠密性より、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( x\right) =\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)
\end{equation*}という区間の中には有理数が必ず存在するため、\(U_{\varepsilon }\left( x\right) \)は\(\mathbb{Q}\)と交わります。したがって、\(x\)は\(\mathbb{Q}\)の触点です。つまり、\(\mathbb{Q}\)の触点は任意の実数です。
例(無理数空間の触点)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\)について考えます。\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\)の内点は存在せず、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\)の境界点は任意の実数であるため、先の命題より、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\)の触点は任意の実数であるはずですが、このことを触点の定義から確認します。点\(x\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。無理数の稠密性より、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( x\right) =\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)
\end{equation*}という区間の中には無理数が必ず存在するため、\(U_{\varepsilon }\left( x\right) \)は\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\)と交わります。したがって、\(x\)は\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\)の触点です。つまり、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\)の触点は任意の実数です。
例(実数空間の触点)
実数空間\(\mathbb{R} \)について考えます。\(\mathbb{R} \)の内点は任意の実数であり、\(\mathbb{R} \)は境界点を持たないため、先の命題より、\(\mathbb{R} \)の触点は任意の実数であるはずですが、このことを触点の定義から確認します。点\(x\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} \)の部分集合であるためこれは\(\mathbb{R} \)と交わります。したがって、\(x\)は\(\mathbb{R} \)の触点です。つまり、\(\mathbb{R} \)の触点は任意の実数です。

 

閉包

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての触点からなる集合を\(A\)の閉包(closure)と呼び、\begin{equation*}
A^{a},\quad \mathrm{cl}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
x\in A^{a}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }(x)\cap
A\not=\phi
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

先に示したように、実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の触点であることは、その点\(a\)が\(A\)の内点または境界点であるための必要十分条件です。したがって以下が成り立ちます。

命題(閉包の特徴づけ)

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\begin{equation*}
A^{a}=A^{i}\cup A^{f}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{i}\)は\(A\)の内部、\(A^{f}\)は\(A\)の境界である。

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\(\mathbb{R} \)の部分集合の内部や境界はいずれも\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義される概念です。上の命題より、閉包は内部と境界から定義可能であるため、閉包もまた\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義可能です。

例(有界開区間の閉包)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な開区間\(\left( a,b\right) \)について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}となります。
例(有界閉区間の閉包)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}となります。
例(有理数空間の閉包)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q}\)について、先の考察より、\begin{equation*}
\mathbb{Q}^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。
例(無理数空間の閉包)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\)について、先の考察より、\begin{equation*}
\left(
\mathbb{R} \backslash
\mathbb{Q}\right) ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。
例(実数空間の閉包)
実数空間\(\mathbb{R} \)について、先の考察より、\begin{equation*}
\mathbb{R} ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。

 

数列を用いた閉包の定義

閉包の性質は数列を用いて記述することもできます。実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選びます。さらに点\(a\in \mathbb{R} \)を選びます。一般に、\(A\)の点を項とするとともに点\(a\)に収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は存在するとは限りません。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は存在するとは限らないということです。しかし、\(a\)が\(A\)の触点である場合には、上の性質を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が必ず存在します。証明は以下の通りです。

点\(a\)が集合\(A\)の触点であるものとします。触点の定義より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}が成り立ちますが、上の命題において\(\varepsilon \)は任意の正の実数であるため、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :U_{\frac{1}{n}}\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}もまた成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in U_{\frac{1}{n}}\left( a\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在します。\(\left( b\right) \)より、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項は\(A\)の点です。さらに、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}
\left( c\right) \ \frac{1}{N}\leq \varepsilon
\end{equation*}を満たすほど十分大きい番号\(N\in \mathbb{N} \)を選べば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{n}-a\right\vert &<&\frac{1}{n}\quad \because \left( a\right)
\\
&\leq &\frac{1}{N}\quad \because n\geq N \\
&\leq &\varepsilon \quad \because \left( c\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は極限\(a\)に収束するため、これこそが求めている数列に他なりません。

命題(触点であるための必要条件)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の触点であるならば、\(A\)の点を項とし極限\(a\)へ収束する数列が存在する。
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上の命題の逆もまた成立します(証明は演習問題にします)。

命題(触点であるための十分条件)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(A\)の点を項として極限\(a\)へ収束する数列が存在するならば、\(a\)は\(A\)の触点である。
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以上の2つの命題より、数列を用いて触点を以下のように定義できます。

命題(数列を用いた触点の定義)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(A\)の点を項とするとともに極限\(a\)へ収束する数列が存在することは、\(a\)が\(A\)の触点であるための必要十分条件である。
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\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の点を項とし点\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在する場合、極限に相当する点\(a\)のいくらでも近い場所に\(\left\{ x_{n}\right\} \)の点が無数に存在します。したがって、\(a\)が\(A\)の触点であることは、\(A\)の点をたどりながら点\(a\)に限りなく近づくことが必ず可能であることを意味します。集合\(A\)の触点をすべて集めてできるのが閉包\(A^{a}\)であるため、\(A\)の点を項とする収束列の極限をすべて集めれば閉包\(A^{a}\)が得られます。つまり、集合\(A\)の点をたどりながら限りなく近づくことができるような点からなる集合が閉包\(A^{a}\)です。

 

閉包と閉集合の関係

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\(A\)の閉包は\(A\)を部分集合として持ちます。\(A\subset A^{a}\)が常に成り立つということです。証明は以下の通りです。

対偶を示します。復習になりますが、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)はその内部\(A^{i}\)と外部\(A^{e}\)と境界\(A^{f}\)に分割されます。さらに先に示したように、閉包に関しては\(A^{a}=A^{i}\cup A^{f}\)が成り立つため、\(A\)はその閉包\(A^{a}\)と外部\(A^{e}\)に分割されます。したがって、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}
x\not\in A^{a} &\Leftrightarrow &x\in A^{e}\quad \because
\mathbb{R} =A^{a}\cup A^{e} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset A^{c}\quad \because A^{e}\text{の定義} \\
&\Rightarrow &x\in A^{c}\quad \because x\in U_{\varepsilon }\left( x\right)
\\
&\Leftrightarrow &x\not\in A
\end{eqnarray*}となるため\(A\subset A^{a}\)であることが示されました。

命題(集合の閉包はその集合を部分集合として持つ)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
A\subset A^{a}
\end{equation*}が成り立つ。
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逆に、\(A^{a}\subset A\)は成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例(集合と閉包の関係)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な開区間\(\left( a,b\right) \)について考えます。\(\left( a,b\right) \)の内点は\(\left( a,b\right) \)の任意の点であり、境界点は\(a\)と\(b\)です。したがって、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}となりますが、これは\(\left( a,b\right) \)の部分集合ではありません。

では、\(A^{a}\subset A\)を満たすような\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)は存在するのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合である場合、そしてその場合にのみ、\(A^{a}\subset A\)という関係もまた成立します。つまり、\(A\)のすべての触点が\(A\)の要素であることとして、\(A\)が閉集合であることを特徴づけることができます。

証明は以下の通りです。繰り返しになりますが、実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\begin{equation}
A^{a}=A^{i}\cup A^{f} \tag{1}
\end{equation}という関係が成り立ちます。つまり、閉包\(A^{a}\)は内部\(A^{i}\)と境界\(A^{f}\)の和集合であるということです。復習になりますが、\(A^{f}\subset A\)が成り立つことは\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件です。やはり復習ですが、内部に関しては\(A^{i}\subset A\)が成り立ちます。以上の事実と\(\left( 1\right) \)を踏まえると、\(A^{a}\subset A\)が成り立つこともまた\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件となります。

命題(閉包を用いた閉集合の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について\(A^{a}\subset A\)が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件である。
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\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について\(A\subset A^{a}\)が成り立つことと上の命題を踏まえると、閉集合を以下のように特徴づけることも可能です。

命題(閉包を用いた閉集合の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について\(A^{a}=A\)が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるための必要十分条件である。
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例(閉包を用いた閉集合の特徴づけ)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な開区間\(\left( a,b\right) \)と有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)について考えます。\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。その閉包については、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立つため、これは\(\left( a,b\right) \)と一致しません。一方、\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。その閉包については、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立ちますが、これは\(\left[ a,b\right] \)と一致します。この結果は上の命題の主張と整合的です。

閉包という概念を用いることにより閉集合を特徴づけられることが明らかになりましたが、実は、閉包もまた閉集合です。実際、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)については、\begin{equation*}
A^{e}=\left( A^{a}\right) ^{c}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A^{e}\right) ^{c}=A^{a}
\end{equation*}という関係が成り立ちますが、外部\(A^{e}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、その補集合に一致する\(A^{a}\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。

命題(閉包は閉集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その閉包\(A^{a}\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合である。
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さらに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の閉包\(A^{a}\)は\(A\)を部分集合として持つ閉集合の中でも最小のものです。つまり、\(\mathbb{R} \)の閉集合系を\(\mathcal{F}\)で表すとき、\(A^{a}\in \mathcal{F}\)であるとともに、\begin{equation*}
\left( \forall B\in \mathcal{A}:A\subset B\right) \Rightarrow A^{a}\subset B
\end{equation*}が成り立つということです。実際、\(A\subset B\)を満たす閉集合\(B\in \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、その補集合\(B^{c}\)は開集合であるため、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{align*}
x\in B^{c}& \Leftrightarrow \ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon
}(x)\subset B^{c}\quad \because B^{c}\text{は開集合}
\\
& \Rightarrow \ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }(x)\subset A^{c}\quad
\because A\subset B \\
& \Leftrightarrow \ x\in A^{e}\quad \because A^{e}\text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \ x\not\in A^{a}\quad \because \left( A^{a}\right)
^{c}=A^{e} \\
& \Leftrightarrow \ x\in \left( A^{a}\right) ^{c}
\end{align*}すなわち\(B^{c}\subset \left( A^{a}\right) ^{c}\)が成り立ちますが、これは\(A^{a}\subset B\)と必要十分であるため目標は達成されました。

命題(閉集合系による閉包の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その閉包\(A^{a}\)は\(A\)を部分集合として持つ閉集合の中でも最小のものである。すなわち、\(\mathbb{R} \)の閉集合系を\(\mathcal{A}\)で表すとき、\(A^{a}\in \mathcal{A}\)であるとともに、\begin{equation*}
\left( \forall B\in \mathcal{A}:A\subset B\right) \Rightarrow A^{a}\subset B
\end{equation*}が成り立つ。
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\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{A}\)に属する\(\mathbb{R} \)上の閉集合の中でも、\(A\)を部分集合として持つもののなかで最小のものをとればそれは\(A\)の閉包\(A^{a}\)になります。したがって\(\mathbb{R} \)の部分集合の閉包という概念は、\(\mathbb{R} \)の閉集合系\(\mathcal{A}\)から間接的に定義することも可能です。さらに、閉集合系は開集合系から定義可能であるため、結局、閉包もまた開集合系から定義可能な概念です。

 

閉包と集合演算

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。\(A\subset B\)が成り立つ場合、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}
x\in B^{e} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset B^{c}\quad \because \text{外部の定義} \\
&\Rightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset
A^{c}\quad \because A\subset B \\
&\Leftrightarrow &x\in A^{e}\quad \because \text{外部の定義}
\end{eqnarray*}となるため、それらの外部について\(B^{e}\subset A^{e}\)が成り立ちます。これは\(\left( A^{e}\right) ^{c}\subset \left( B^{e}\right) ^{c}\)と必要十分ですが、\(\left( A^{e}\right) ^{c}=A^{a}\)かつ\(\left( B^{e}\right) ^{c}=B^{a}\)が成り立つため、先の包含関係は\(A^{a}\subset B^{a}\)と言い換え可能です。

命題(包含関係と閉包)

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A\subset B\Rightarrow A^{a}\subset B^{a}
\end{equation*}が成り立つ。

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実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。一般に、\begin{equation*}
A\subset A\cup B\subset \left( A\cup B\right) ^{a}
\end{equation*}が成り立つため、\(\left( A\cup B\right) ^{a}\)は\(A\)を部分集合として持つ閉集合です。\(A\)を部分集合として持つ最小の閉集合は閉包\(A^{a}\)であるため、このとき、\begin{equation*}
A^{a}\subset \left( A\cup B\right) ^{a}
\end{equation*}が成り立ちます。同様に考えると、\begin{equation*}
B^{a}\subset \left( A\cup B\right) ^{a}
\end{equation*}を得るため、これらから\(A^{a}\cup B^{a}\subset \left( A\cup B\right) ^{a}\)を得ます。

逆に\(\left( A\cup B\right) ^{a}\subset A^{a}\cup B^{a}\)もまた成り立ちます。実際、一般に、\(A\subset A^{a}\)と\(B\subset B^{a}\)がともに成り立つため、\begin{equation*}
A\cup B\subset A^{a}\cup B^{a}
\end{equation*}を得ますが、\(A^{a}\)と\(B^{a}\)はともに閉集合ですのでそれらの和集合\(A^{a}\cup B^{a}\)もまた閉集合です。つまり、\(A^{a}\cup B^{a}\)は\(A\cup B\)を部分集合として持つ閉集合ですが、\(A\cup B\)を部分集合として持つ最小の閉集合は閉包\(\left( A\cup B\right) ^{a}\)であるため\(\left( A\cup B\right) ^{a}\subset A^{a}\cup B^{a}\)が成り立ちます。

以上より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) ^{a}=A^{a}\cup B^{a}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。2つの集合について、それらの和集合の閉包は、個々の集合の閉包の和集合と一致するということです。

命題(和集合と閉包)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) ^{a}=A^{a}\cup B^{a}
\end{equation*}が成り立つ。
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実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。一般に、\begin{equation*}
A\cap B\subset A\subset A^{a}
\end{equation*}が成り立つため、\(A^{a}\)は\(A\cap B\)を部分集合として持つ閉集合です。\(A\cap B\)を部分集合として持つ最小の閉集合は閉包\(\left( A\cap B\right) ^{a}\)であるため、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) ^{a}\subset A^{a}
\end{equation*}が成り立ちます。同様に考えると、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) ^{a}\subset B^{a}
\end{equation*}を得るため、これらから、\begin{equation*}
(A\cap B)^{a}\subset A^{a}\cap B^{a}
\end{equation*}を得ます。2つの集合について、それらの共通部分の閉包は、個々の集合の閉包の共通部分の部分集合であるということです。

命題(共通部分と閉包)

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
(A\cap B)^{a}\subset A^{a}\cap B^{a}
\end{equation*}が成り立つ。

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ちなみに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}
A^{a}\cap B^{a}\subset (A\cap B)^{a}
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。以下の例から明らかです。

例(共通部分と閉包)
\(\mathbb{R} \)の部分集合である\(\left( -1,0\right) \)と\(\left( 0,1\right) \)について考えます。これらの共通部分の閉包は、\begin{eqnarray*}
\left( \left( -1,0\right) \cap \left( 0,1\right) \right) ^{a} &=&\phi
^{a}\quad \because \cap \text{の定義} \\
&=&\phi \quad \because \text{閉包の定義}
\end{eqnarray*}である一方、それぞれの閉包の共通部分は、\begin{eqnarray*}
\left( -1,0\right) ^{a}\cap \left( 0,1\right) ^{a} &=&\left[ -1,0\right] \cap \left[ 0,1\right] \quad \because \text{閉包の定義} \\
&=&\left\{ 0\right\} \quad \because \cap \text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、両者は異なる集合です。

次回は集積点や導集合という概念について解説します。

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