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TOPOLOGY OF THE REAL LINE

閉包を用いた閉集合の判定

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閉集合であることの判定

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\(A\)が閉集合であることと\(A=A^{a}\)が成り立つことは必要十分です。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の閉包\(A^{a}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致することを示せばよいということになります。

例(有界閉区間は閉集合)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}であるため、先の命題より\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。
例(実数空間は閉集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の閉包は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、先の命題より\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。

 

閉集合ではないことの判定

逆に、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の閉包\(A^{a}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致しないことを示せばよいということになります。

例(有界開区間は閉集合ではない)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{a}\not=\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(有理数空間は閉集合ではない)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)の閉包は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{a}\not=\mathbb{Q} \end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より\(\mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(無理数空間は閉集合ではない)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{a}\not=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。

 

演習問題

問題(開集合・閉集合の判定)
実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の無限半閉区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。
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問題(開集合・閉集合の判定)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それだけを要素とする\(\mathbb{R} \)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)を定義します。この集合が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。
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問題(開集合・閉集合の判定)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合でないことを外部を用いて証明してください。
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次回は集積点や導集合について解説します。

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DISCUSSION

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