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実数空間における閉包を用いた閉集合の判定

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閉集合であることの判定

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、その閉包\(A^{a}\)は、\begin{equation}A\subset A^{a} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係を常に満たす一方で、\begin{equation}
A^{a}\subset A \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすとは限りません。一方、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合である場合、そしてその場合にのみ\(\left( 2\right) \)が成り立ちます。つまり、\(\left(2\right) \)が成り立つことと\(A\)が閉集合であることは必要十分です。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の任意の触点が\(A\)の要素であることを示せばよいということになります。\(\left( 1\right) \)は常に成り立つことを踏まえると、\(\left( 2\right) \)は、\begin{equation*}A^{a}=A
\end{equation*}と必要十分です。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の閉包\(A^{a}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致することを示してもよいということになります。

例(有界閉区間は閉集合)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。この集合の閉包は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}を満たすため、\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。
例(無限半閉区間は閉集合)
\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、無限半閉区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。閉包は、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,+\infty )^{a} &=&[a,+\infty ) \\
(-\infty ,b]^{a} &=&(-\infty ,b] \end{eqnarray*}を満たすため、\([a,+\infty )\)と\((-\infty ,b]\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。
例(実数空間は閉集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の閉包は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}を満たすため、\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。

 

閉集合ではないことの判定

逆に、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\begin{equation*}A^{a}\not\subset A
\end{equation*}が成り立つことや、もしくは、\begin{equation*}
A^{a}\not=A
\end{equation*}が成り立つことはいずれも\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではないことと必要十分です。したがって、\(A\)が閉集合でないことを示すためには、\(A\)の触点の中に\(A\)の要素でないものが存在することを示せばよいということになります。もしくは、\(A\)の閉包が\(A\)と一致しない場合にも\(A\)は閉集合ではありません。

ちなみに、閉集合でないことは開集合であることを必ずしも意味しないため注意が必要です。

例(有界開区間は閉集合ではない)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。閉包は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{a}\not=\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(有界半開区間は閉集合ではない)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。閉包は、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,b)^{a} &=&\left[ a,b\right] \\
(a,b]^{a} &=&\left[ a,b\right] \end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lbrack a,b)^{a} &\not=&[a,b) \\
(a,b]^{a} &\not=&(a,b] \end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、\([a,b)\)と\((a,b]\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(無限半開区間は閉集合ではない)
\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、無限半開区間\begin{eqnarray*}\left( a,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。閉包は、\begin{eqnarray*}
\left( a,+\infty \right) ^{a} &=&[a,+\infty ) \\
\left( -\infty ,b\right) ^{a} &=&(-\infty ,b] \end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\left( a,+\infty \right) ^{a} &\not=&\left( a,+\infty \right) \\
\left( -\infty ,b\right) ^{a} &\not=&\left( -\infty ,b\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、\(\left( a,+\infty \right) \)と\(\left( -\infty ,b\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(有理数空間は閉集合ではない)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)の閉包は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{a}\not=\mathbb{Q} \end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(無理数空間は閉集合ではない)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の閉包は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{a}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{a}\not=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。

次回は集積点や導集合について解説します。

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