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実数空間におけるコンパクト集合どうしの演算

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コンパクト集合族の共通部分

実数空間\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合を要素とする集合族が任意に与えられたとき、その共通部分もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になることが保証されます。

命題(コンパクト集合族の共通部分)
\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合を要素とする集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が任意に与えられたとき、その共通部分\begin{equation*}\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である。
証明

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上の命題中のコンパクト集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)の添字集合\(\Lambda \)は任意の集合です。したがって、\(\Lambda \)が有限集合であれば上の命題は「有限個のコンパクト集合の共通部分はコンパクト集合である」という主張になり、\(\Lambda \)が可算集合であれば上の命題は「可算個のコンパクト集合の共通部分はコンパクト集合である」という主張になります。以上に加えて、\(\Lambda \)が非可算集合である場合にも同様の主張が成り立つことを上の命題は主張しています。

例(コンパクト集合族の共通部分)
\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \left[ 0,1\right] }\)の任意の要素\(A_{\lambda }\)が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるとき、上の命題より、\begin{equation*}\bigcap\limits_{\lambda \in \left[ 0,1\right] }A_{\lambda }
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。
例(コンパクト集合族の共通部分)
有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の任意の要素\(A_{i}\)が有限集合である場合、共通部分\begin{equation*}\bigcap\limits_{i\in 1}^{n}A_{i}
\end{equation*}もまた有限集合です。有限集合はコンパクト集合であるため、上の共通部分もまたコンパクト集合です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

コンパクト集合族の和集合

実数空間\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合を要素とする有限集合族が任意に与えられたとき、その和集合もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になることが保証されます。

命題(コンパクト集合族の和集合)
\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合を要素とする有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が任意に与えられたとき、その和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である。
証明

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例(コンパクト集合族の共通部分)
有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の任意の要素\(A_{i}\)が有限集合である場合、和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{i\in 1}^{n}A_{i}
\end{equation*}もまた有限集合です。有限集合はコンパクト集合であるため、上の和集合もまたコンパクト集合です。この結果は先の命題の主張と整合的です。

先の命題は「有限個のコンパクト集合の和集合はコンパクト集合である」という主張に相当します。一方、以下の例から明らかであるように、可算個のコンパクト集合の和集合はコンパクト集合になるとは限りません。これはコンパクト集合族の共通部分とは異なる点です。

例(コンパクト集合の和集合)
それぞれの\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left[ -i,i\right] \end{equation*}と定義した上で、これを要素とする\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{ A_{i}\right\}_{i\in \mathbb{N} }\)について考えます。この集合族の和集合は、\begin{equation}\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。後ほど示すように、\(\mathbb{R} \)上の有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であるため\(A_{i}\)はコンパクト集合です。したがって、\(\left( 1\right) \)の左辺は可算個のコンパクト集合の和集合です。一方、\(\mathbb{R} \)自身は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません。それにも関わらず\(\left( 1\right) \)が成り立つということは、可算個のコンパクト集合の和集合がコンパクト集合ではないことを意味します。

実数空間の部分集合がコンパクト集合であることを示すためには、その集合の任意の開被覆が有限部分被覆を持つことを示す必要があり、その手続きは面倒かつ困難であるように思われます。そこで次回は、このような問題を解決するハイネ・ボレルの被覆定理について学びます。

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