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TOPOLOGY OF THE REAL LINE

導集合を用いた閉集合の判定

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閉集合であることの判定

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\(A\)が閉集合であることと\(A^{d}\subset A\)が成り立つことは必要十分です。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の導集合\(A^{d}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合であることを示せばよいということになります。

例(有界閉区間は閉集合)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{d}=\left[ a,b\right] \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{d}\subset \left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。
例(実数空間は閉集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の導集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{d}\subset \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。

 

閉集合ではないことの判定

逆に、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の導集合\(A^{d}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合ではないことを示せばよいことになります。つまり、\(A\)の集積点の中に\(A\)の要素ではないものが存在する場合、\(A\)は閉集合ではないことが保証されます。

例(有界開区間は閉集合ではない)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{d}=\left[ a,b\right] \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{d}\subset \left( a,b\right)
\end{equation*}は成り立ちません。したがって\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(有理数空間は閉集合ではない)
有理数空間\(\mathbb{Q} \)の導集合は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{d}\subset \mathbb{Q} \end{equation*}は成り立ちません。したがって\(\mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(無理数空間は閉集合ではない)
無理数空間\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の導集合は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{d}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{d}\subset \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{equation*}は成り立ちません。したがって\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。

 

演習問題

問題(導集合を用いた閉集合の判定)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{equation*}A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}として与えられているものとします。\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではないことを証明してください。
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問題(導集合を用いた閉集合の判定)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が、\begin{equation*}A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \cup \{0\}
\end{equation*}として与えられているものとします。\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。
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問題(導集合を用いた閉集合の判定)
数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それだけを要素とする\(\mathbb{R} \)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)を定義します。この集合が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。
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次回は導集合を用いて実数の連続性を表現します。

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関連知識

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閉集合

閉集合・閉集合系

ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aの補集合がユークリッド空間上の開集合である場合には、Aをユークリッド空間上の閉集合であるといいます。また、ユークリッド空間上のすべての閉集合からなる集合族を閉集合系と呼びます。

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境界を用いた閉集合の判定

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、A の境界が A の部分集合であることは、A が閉集合であるための必要十分条件です。したがって、集合 A の境界が A の部分集合であれば A は閉集合であり、A の境界が A の部分集合でなければ A は閉集合ではありません。

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閉包を用いた閉集合の判定

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、A の閉包が A と一致することは、A が閉集合であるための必要十分条件です。したがって、集合 A の閉包 A と等しければ A は閉集合であり、A の閉包が A と等しくなければ A は閉集合ではありません。

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実数空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする任意の近傍が a とは異なる A の点を要素として持つ場合、この点 a を A の集積点と呼びます。

集積点

数列を用いた集積点の判定

実数空間 R の部分集合 A および点 a が与えられたとき、A の点を項とするとともに、すべての項が a とは異なり、なおかつ a に収束する数列が存在することは、a が A の集積点であるための必要十分条件です。

DISCUSSION

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