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実数空間における基本近傍系と第1可算公理

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点の基本近傍系

実数空間の点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)がそれぞれ与えられたとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、点\(a\)の近傍をすべて集めてできる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を点\(a\)の近傍系と呼び、これを、\begin{equation*}N\left( a\right) =\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ 0<\varepsilon
<+\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。

以上を踏まえた上で、点\(a\in \mathbb{R} \)の近傍系\(N\left( a\right) \)に対して、その部分集合族\(N^{\ast }\left( a\right) \)が存在して以下の条件\begin{equation*}\forall N\in N\left( a\right) ,\ \exists N^{\ast }\in N^{\ast }\left(
a\right) :N^{\ast }\subset N
\end{equation*}が成り立つ場合、この\(N^{\ast }\left( a\right) \)を点\(a\)の基本近傍系(fundamental system ofneighborhoods)と呼びます。つまり、点\(a\)の近傍を任意に選んだとき、その部分集合であるような点\(a\)の近傍を\(N^{\ast }\left(a\right) \)から常にとることができるということです。

点の基本近傍系が存在する場合、どのようなメリットがあるのでしょうか。点\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、これが点\(a\in \mathbb{R} \)からどれくらい近い場所にあるか興味がある状況を想定します。点\(x\)と点\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも短いというためには\(x\)が点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \in N\left( a\right) \)の要素であることを示す必要があります。ただ、基本近傍系の定義より、この近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の部分集合であるような基本近傍系の要素\(N^{\ast}\in N^{\ast }\left( a\right) \)が必ず存在するため、\(x\)が\(N^{\ast }\)の要素であることを示すことによっても、点\(x\)と点\(a\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも短いことを示したことになります。これは任意の\(\varepsilon \)について成立します。したがって、点\(a\)からの距離を測る際には基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)に属する近傍があれば十分であり、近傍系\(N\left( a\right) \)に属するすべての近傍を必要としません。点の基本近傍系が存在する場合、議論の対象とすべき近傍を減らすことができるため、それにより議論を簡素化できるということです。

例(点の基本近傍系)
点\(a\in \mathbb{R} \)の近傍系\(N\left( a\right) \)は明らかに点\(a\)の基本近傍系です。なぜなら、\(N\left(a\right) \subset N\left( a\right) \)であるとともに、\begin{equation*}\forall N\in N\left( a\right) ,\ \exists N\in N\left( a\right) :N\subset N
\end{equation*}が明らかに成り立つからです。

例(点の基本近傍系)
点\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする近傍の中でも、自然数\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}N_{\frac{1}{n}}\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( a,x\right) <\frac{1}{n}\right\}
\end{equation*}と定義されるものに注目した上で、そのような近傍を集めた集合族を、\begin{equation*}
N^{\ast }\left( a\right) =\left\{ N_{\frac{1}{n}}\left( a\right) \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}で表記します。この\(N^{\ast }\left( a\right) \)は点\(a\)の基本近傍系です。実際、点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \in N\left(a\right) \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}N_{\delta }\left( a\right) \subset N_{\varepsilon }\left( a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\delta >0\)が存在しますが、アルキメデスの性質より、それに対して、\begin{equation*}\frac{1}{n}<\delta
\end{equation*}を満たす番号\(n\in \mathbb{N} \)が存在するため、この番号\(n\)について、\begin{equation}N_{\frac{1}{n}}\left( a\right) \subset N_{\delta }\left( a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)を踏まえると、\begin{equation*}N_{\frac{1}{n}}\left( a\right) \subset N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、\(N_{\frac{1}{n}}\left( a\right) \)は\(N^{\ast }\left( a\right) \)の要素であるため証明が完了しました。

 

第1可算公理

点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それに対して可算個の要素を持つ基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)が存在する場合、\(\mathbb{R} \)は第1可算公理(firstaxiom of countability)を満たすと言います。繰り返しになりますが、点\(a\in \mathbb{R} \)の基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)が存在する場合には、点\(a\)との距離を知る上で近傍系\(N\left( a\right) \)に属するすべての近傍を議論の対象とする必要はなく、基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)に属する近傍だけを議論の対象とすれば十分です。しかも、第1可算公理が成り立つ場合には基本近傍系\(N^{\ast }\left( a\right) \)が可算集合であることが保証されるため、可算個の近傍だけを議論の対象とすれば十分です。

先に例を通じて確認したように、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}N^{\ast }\left( a\right) =\left\{ N_{\frac{1}{n}}\left( a\right) \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合族は点\(a\)の基本近傍系です。しかも、\(\mathbb{N} \)は可算集合であるため\(N^{\ast }\left( a\right) \)は可算集合族です。\(\mathbb{R} \)の任意の点\(a\)について同様の議論が成立するため、\(\mathbb{R} \)は第1可算公理を満たすことが示されました。

命題(第1可算公理)
実数空間\(\mathbb{R} \)は第1可算公理を満たす。

次回は開基や第2可算公理などについて解説します。

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