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TOPOLOGY OF THE REAL LINE

境界を用いた閉集合の判定

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閉集合であることの判定

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\(A\)が閉集合であることと\(A^{f}\subset A\)が成り立つことは必要十分です。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の境界\(A^{f}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合であることを示せばよいということになります。

例(有界閉区間は閉集合)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。この集合の境界は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{f}\subset \left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。
例(実数空間は閉集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の境界は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{f}=\phi \end{equation*}であるため、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{f}\subset \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合です。

 

閉集合ではないことの判定

逆に、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の境界\(A^{f}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合ではないことを示せばよいことになります。つまり、\(A\)の境界点の中に\(A\)の要素ではないものが存在する場合、\(A\)は閉集合ではないことが保証されます。

例(有界開区間は閉集合ではない)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。この集合の境界は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{f}=\left\{ a,b\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{f}\subset \left( a,b\right)
\end{equation*}は成り立ちません。したがって\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(有理数空間は閉集合ではない)
有理数空間\(\mathbb{Q} \)の境界は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{f}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{f}\subset \mathbb{Q} \end{equation*}は成り立ちません。したがって\(\mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。
例(無理数空間は閉集合ではない)
無理数空間\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の境界は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{f}=\mathbb{R} \end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{f}\subset \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{equation*}は成り立ちません。したがって\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ではありません。

 

演習問題

問題(開集合・閉集合の判定)
実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の無限半閉区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。
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問題(開集合・閉集合の判定)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それだけを要素とする\(\mathbb{R} \)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)を定義します。この集合が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。
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問題(開集合・閉集合の判定)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合でないことを外部を用いて証明してください。
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次回は触点や閉包という概念について解説します。

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関連知識

閉集合

閉集合・閉集合系

実数空間Rの部分集合 A に対して、その補集合がR上の開集合であるならば、AをR上の閉集合と呼びます。閉集合は収束する数列を使って定義することも可能です。

閉集合

閉集合・閉集合系

ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aの補集合がユークリッド空間上の開集合である場合には、Aをユークリッド空間上の閉集合であるといいます。また、ユークリッド空間上のすべての閉集合からなる集合族を閉集合系と呼びます。

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実数空間 R の部分集合 A が閉集合であることの意味を数列を用いて表現することもでき、こちらの定義を採用した方が閉集合であることを容易に判定できる場合があります。

境界点・境界

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実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の任意の近傍が A と A の補集合の双方と交わるならば、a を A の境界点と呼びます。また、A のすべての境界点からなる集合を A の境界と呼びます。

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閉包を用いた閉集合の判定

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、A の閉包が A と一致することは、A が閉集合であるための必要十分条件です。したがって、集合 A の閉包 A と等しければ A は閉集合であり、A の閉包が A と等しくなければ A は閉集合ではありません。

境界点・境界

境界点・境界

ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a の任意の近傍が A と A の補集合の双方と交わるならば、a を A の境界点と呼びます。また、A のすべての境界点からなる集合を A の境界と呼びます。

閉集合

導集合を用いた閉集合の判定

実数空間の部分集合 A が与えられたとき、その任意の集積点が A の要素であることは、その集合 A が閉集合であるための必要十分条件です。

DISCUSSION

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