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TOPOLOGY OF THE REAL LINE

内部を用いた開集合の判定

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開集合であることの判定

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\(A\)が開集合であることと\(A=A^{i}\)が成り立つことは必要十分です。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が開集合であることを示すためには、\(A\)の内部\(A^{i}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致することを示せばよいということになります。

例(有界開区間は開集合)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。この集合の内部は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}を満たすため、\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。
例(実数空間は開集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の内部は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{i}=\mathbb{R} \end{equation*}を満たすため、\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。
例(内部を用いた閉集合の判定)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合であることとは、その補集合\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることとして定義されます。先の命題より、\(A^{c}\)が開集合であることは、\begin{equation*}\left( A^{c}\right) ^{i}=A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(A\)の補集合をとり、その補集合が\(A\)と一致することを示せば、それは\(A^{c}\)が開集合であること、すなわち\(A\)が閉集合であることを示したことになります。

 

開集合ではないことの判定

逆に、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が開集合ではないことを示すためには、\(A\)の内部\(A^{i}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致しないことを示せばよいということになります。

例(有界閉区間は開集合ではない)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。この集合の内部は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{i}\not=\left[ a,b\right] \end{equation*}となるため、\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。
例(有理数空間は開集合ではない)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)の内部は、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{i}=\phi \end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{i}\not=\mathbb{Q} \end{equation*}となるため、\(\mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。
例(無理数空間は開集合ではない)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の内部は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{i}=\phi
\end{equation*}です。つまり、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{i}\not=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{equation*}となるため、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。
例(内部を用いた閉集合でないことの判定)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が閉集合でないこととは、その補集合\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合でないこととして定義されます。先の命題より、\(A^{c}\)が開集合でないことは、\begin{equation*}\left( A^{c}\right) ^{i}\not=A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(A\)の補集合をとり、その補集合が\(A\)と一致しないことを示せば、それは\(A^{c}\)が開集合でないこと、すなわち\(A\)が閉集合でないことを示したことになります。

 

演習問題

問題(開集合・閉集合の判定)
実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、無限半開区間\begin{eqnarray*}\left( a,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを証明してください。
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問題(開集合・閉集合の判定)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有界な半開区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないことを証明してください。
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問題(開集合・閉集合の判定)
実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、無限半閉区間\begin{eqnarray*}\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{eqnarray*}はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないことを内部を用いて証明してください。
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次回は外点や外部などの概念について解説します。

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開集合・開集合系

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内点・内部

ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする開近傍の中に A の部分集合になるものが存在するならば、a を A の内点と呼びます。また、A のすべての内点を集めてできる集合を A の内部と呼びます。集合 A とその内部が一致することは、A が開集合であるための必要十分条件です。

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DISCUSSION

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直線の位相