実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の近傍の中に A の部分集合であるようなものが存在するならば、a を A の内点と呼びます。また、A のすべての内点からなる集合を A の内部と呼びます。
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内点

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)の近傍の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の内点(interior point)と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \subset A
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、点\(a\)を中心とする有界開区間の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば\(a\)は\(A\)の内点です。

一般に、集合\(X\)が集合\(Y\)の部分集合であることは\(X\)が\(Y\)の補集合\(Y^{c}\)と交わらないことと同義です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の内点であることを、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A^{c}=\phi
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、点\(a\)の近傍の中に\(A\)の補集合と交わらないものが存在するならば\(a\)は\(A\)の内点です。

集合\(A\)の内点\(a\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として含むため、これと上の命題より、\(a\)は\(A\)の要素でもあります。つまり、集合\(A\)の内点は\(A\)の要素であるということです。言い換えると、\(A\)の要素ではない点は\(A\)の内点になり得ません。

命題(集合の内点はその集合の要素)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、\(A\)の任意の内点は\(A\)の要素である。
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例(有界開区間の内点)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な開区間\(\left( a,b\right) \)について考えます。\(x\in \left( a,b\right) \)すなわち\(a<x<b\)を満たす点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
\varepsilon =\min \left\{ x-a,b-x\right\}
\end{equation*}とおけば\(\varepsilon >0\)であるとともに、\begin{equation*}
\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right) \subset \left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(x\)は\(\left( a,b\right) \)の内点です。また、\(\left( a,b\right) \)の要素ではない点は\(\left( a,b\right) \)の内点ではありません。以上より、\(\mathbb{R} \)上の有界な閉区間\(\left( a,b\right) \)が任意に与えられたとき、その内点は\(\left( a,b\right) \)の任意の要素です。
例(有界閉区間の内点)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)について考えます。\(x\in \left( a,b\right) \)すなわち\(a<x<b\)を満たす点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
\varepsilon =\min \left\{ x-a,b-x\right\}
\end{equation*}とおけば\(\varepsilon >0\)であるとともに、\begin{equation*}
\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right) \subset \left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立つため、\(x\)は\(\left[ a,b\right] \)の内点です。一方、端点\(a\)に関しては、任意の\(\varepsilon >0\)に対して\(a-\varepsilon <a\)であるため\(\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)は\(\left[ a,b\right] \)の部分集合ではなく、ゆえに\(a\)は\(\left[ a,b\right] \)の内点ではありません。もう一方の端点\(b\)が\(\left[ a,b\right] \)の内点でないことも同様にして示されます。また、\(\left[ a,b\right] \)の要素ではない点は\(\left[ a,b\right] \)の内点ではありません。以上より、\(\mathbb{R} \)上の有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)が任意に与えられたとき、その内点は\(\left( a,b\right) \)の任意の要素です。
例(有理数空間の内点)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q}\)について考えます。実数\(a\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、無理数の稠密性より、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}という区間の中には無理数が存在するため\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset \mathbb{Q}\)は成り立ちません。したがって任意の実数は\(\mathbb{Q}\)の内点ではありません。\(\mathbb{Q}\)は内点を持たない集合です。
例(実数空間の内点)
実数空間\(\mathbb{R} \)について考えます。実数\(a\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset
\mathbb{R} \end{equation*}が明らかに成り立つため、\(a\)は\(\mathbb{R} \)の内点です。\(\mathbb{R} \)の任意の点は\(\mathbb{R} \)の内点であるということです。

 

内部

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての内点からなる集合を\(A\)の内部(interior)や開核(open kernel)などと呼び、\begin{equation*}
A^{i},\quad A^{\circ },\quad \mathrm{int}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon
\right) \subset A\quad \because \text{近傍の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right)
\cap A^{c}=\phi \quad \because \subset \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon
\right) \cap A^{c}=\phi \quad \because \text{近傍の定義}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

例(有界閉区間の内部)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}となります。
例(有界開区間の内部)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な開区間\(\left( a,b\right) \)について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}となります。
例(有理数空間の内部)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q}\)について、先の考察より、\begin{equation*}
\mathbb{Q}^{i}=\phi
\end{equation*}となります。
例(実数空間の内部)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)について、先の考察より、\begin{equation*}
\mathbb{R} ^{i}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。

 

内部と開集合の関係

先に示したように、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の内点は\(A\)の要素であるため、\(A\)の内部は\(A\)の部分集合です。

命題(集合の内部はその集合の部分集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
A^{i}\subset A
\end{equation*}が成り立つ。
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逆に、\(A\subset A^{i}\)は成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例(集合と内部の関係)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)について考えます。端点である\(a\)と\(b\)はともに\(\left[ a,b\right] \)の点である一方、\(\left[ a,b\right] \)の内点ではありません。したがって、\(\left[ a,b\right] \subset \left[ a,b\right] ^{i}\)は成り立ちません。

では、\(A\subset A^{i}\)を満たすような\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)は存在するのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合である場合、そしてその場合にのみ、\(A\subset A^{i}\)という関係もまた成立します。証明は以下の通りです。

\(\mathbb{R} \)上の開集合\(A\)が与えられたとき、その点\(a\in A\)を任意に選ぶと、開集合の定義より、\begin{equation}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A \tag{1}
\end{equation}が成り立ちますが、これは\(a\)が\(A\)の内点であることの定義に他なりません。したがって\(a\in A^{i}\)が成り立つため\(A\subset A^{i}\)が示されました。逆に\(A\subset A^{i}\)が成り立つとき、\(a\in A\)を任意に選ぶと\(a\in A^{i}\)であり、すると内部の定義より\(\left( 1\right) \)が成り立ちます。これは\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることの定義に他なりません。

命題(内部による開集合の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\(A\subset A^{i}\)が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であるための必要十分条件である。
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\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について\(A^{i}\subset A\)が成り立つことと上の命題を踏まえると、開集合を以下のように特徴づけることも可能です。

命題(内部による開集合の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\(A=A^{i}\)が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であるための必要十分条件である。
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\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、さらにその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)を考えることができますが、実はこれは\(A^{i}\)と一致します(証明は演習問題にします)。

命題(内部の内部)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、\(\left( A^{i}\right) ^{i}=A^{i}\)が成り立つ。
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上の命題は\(A^{i}\)がその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)と一致すると言っているため、内部による開集合の特徴づけに関する命題より、\(A^{i}\)は開集合となります。\(\mathbb{R} \)の部分集合の内部は開集合であるということです。

命題(内部は開集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その内部\(A^{i}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合である。
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さらに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であるような開集合の中でも最大のものです。つまり、\(\mathbb{R} \)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で表すとき、\(A^{i}\in \mathcal{O}\)であるとともに、\begin{equation*}
\left( \forall B\in \mathcal{O}:B\subset A\right) \Rightarrow B\subset A^{i}
\end{equation*}が成り立つということです。実際、\(B\subset A\)を満たす開集合\(B\in \mathcal{O}\)を任意に選んだとき、その要素\(b\in B\)を任意に選ぶと、開集合の定義より、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( b\right) \subset B
\end{equation*}が成り立ちます。\(B\subset A\)であるため、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( b\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(b\)が\(A\)の内点であることの定義に他なりません。つまり\(b\in A^{i}\)であるため\(B\subset A^{i}\)であることが示されました。

命題(開集合系による内部の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であるような開集合の中でも最大のものである。すなわち、\(\mathbb{R} \)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で表すとき、\(A^{i}\in \mathcal{O}\)であるとともに、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{O}:B\subset A\ \Rightarrow \ B\subset A^{i}
\end{equation*}が成り立つ。
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\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(\mathbb{R} \)上の開集合の中でも、\(A\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の内部\(A^{i}\)になります。したがって\(\mathbb{R} \)の部分集合の内部という概念は、\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義することも可能です。

 

内部と集合演算

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。\(A\subset B\)が成り立つ場合、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}
x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Rightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset
B\quad \because A\subset B \\
&\Leftrightarrow &x\in B^{i}\quad \because \text{内部の定義}
\end{eqnarray*}となるため、それらの内部についても\(A^{i}\subset B^{i}\)が成り立つことが示されました。

命題(包含関係と内部)

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A\subset B\Rightarrow A^{i}\subset B^{i}
\end{equation*}が成り立つ。

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実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。このとき、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{align*}
x\in \left( A\cap B\right) ^{i}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon
>0:U_{\varepsilon }(x)\subset A\cap B\quad \because \text{内部の定義} \\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:[U_{\varepsilon }(x)\subset A\wedge
U_{\varepsilon }(x)\subset B]\quad \because \cap \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \lbrack \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A]\wedge \lbrack \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon
}\left( x\right) \subset B] \\
& \Leftrightarrow x\in A^{i}\wedge x\in B^{i}\quad \because \text{内部の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in A^{i}\cap B^{i}\quad \because \cap \text{の定義}
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) ^{i}=A^{i}\cap B^{i}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。2つの集合について、それらの共通部分の内部は、個々の集合の内部の共通部分と一致するということです。

命題(共通部分と内部)

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) ^{i}=A^{i}\cap B^{i}
\end{equation*}が成り立つ。

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実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。このとき、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{align*}
x\in A^{i}\cup B^{i}& \Leftrightarrow x\in A^{i}\vee x\in B^{i}\quad
\because \cup \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \lbrack \exists \varepsilon _{1}>0:U_{\varepsilon
_{1}}\left( x\right) \subset A]\vee \lbrack \exists \varepsilon
_{2}>0:U_{\varepsilon _{2}}\left( x\right) \subset B] \\
& \Rightarrow \exists \varepsilon >0:[U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset A\vee U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset B] \\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset A\cup B\quad \because \cup \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
A^{i}\cup B^{i}\subset \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。2つの集合について、それらの和集合の内部は、個々の集合の内部の和集合を部分集合として含むということです。

命題(和集合と内部)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A^{i}\cup B^{i}\subset \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{equation*}が成り立つ。
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ちなみに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) ^{i}\subset A^{i}\cup B^{i}
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。以下の例から明らかです。

例(和集合と内部)
\(\mathbb{R} \)の部分集合である\(\left( -1,0\right) \)と\([0,1)\)について考えます。これらの和集合の内部は、\begin{eqnarray*}
\left( \left( -1,0\right) \cup \lbrack 0,1)\right) ^{i} &=&\left(
-1,1\right) ^{i}\quad \because \cup \text{の定義} \\
&=&\left( -1,1\right) \quad \because \text{内部の定義}
\end{eqnarray*}である一方、それぞれの内部の和集合は、\begin{eqnarray*}
\left( -1,0\right) ^{i}\cup \lbrack 0,1)^{i} &=&\left( -1,0\right) \cup
\left( 0,1\right) \quad \because \text{内部の定義} \\
&=&\left( -1,1\right) \backslash \left\{ 0\right\} \quad \because \cup \text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、両者は異なる集合です。

次回は外点や外部という概念について解説します。

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