内点・内部

更新: 2020年8月25日
公開: 2020年8月25日
分野: 位相

要旨

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要旨

実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の近傍の中に A の部分集合であるようなものが存在するならば、a を A の内点と呼びます。また、A のすべての内点からなる集合を A の内部と呼びます。

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内点　内部　開核

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外点・外部

内点

実数空間$\mathbb{R} $の部分集合$A$が与えられたとき、点$a\in \mathbb{R} $の近傍の中に$A$の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つならば、$a$を$A$の内点（interior point）と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \subset A
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、点$a$を中心とする有界開区間の中に$A$の部分集合であるようなものが存在するならば$a$は$A$の内点です。

一般に、集合$X$が集合$Y$の部分集合であることは$X$が$Y$の補集合$Y^{c}$と交わらないことと同義です。したがって、点$a$が集合$A$の内点であることを、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A^{c}=\phi
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、点$a$の近傍の中に$A$の補集合と交わらないものが存在するならば$a$は$A$の内点です。

集合$A$の内点$a$が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちます。近傍$U_{\varepsilon }\left( a\right) $はその中心$a$を要素として含むため、これと上の命題より、$a$は$A$の要素でもあります。つまり、集合$A$の内点は$A$の要素であるということです。言い換えると、$A$の要素ではない点は$A$の内点になり得ません。

命題（集合の内点はその集合の要素）

実数空間$\mathbb{R} $の部分集合$A$に対して、$A$の任意の内点は$A$の要素である。

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例（有界開区間の内点）

$a<b$を満たす実数$a,b\in \mathbb{R} $を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な開区間$\left( a,b\right) $について考えます。$x\in \left( a,b\right) $すなわち$a<x<b$を満たす点$x\in \mathbb{R} $を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
\varepsilon =\min \left\{ x-a,b-x\right\}
\end{equation*}とおけば$\varepsilon >0$であるとともに、\begin{equation*}
\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right) \subset \left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つため、$x$は$\left( a,b\right) $の内点です。また、$\left( a,b\right) $の要素ではない点は$\left( a,b\right) $の内点ではありません。以上より、$\mathbb{R} $上の有界な閉区間$\left( a,b\right) $が任意に与えられたとき、その内点は$\left( a,b\right) $の任意の要素です。

例（有界閉区間の内点）

$a<b$を満たす実数$a,b\in \mathbb{R} $を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な閉区間$\left[ a,b\right] $について考えます。$x\in \left( a,b\right) $すなわち$a<x<b$を満たす点$x\in \mathbb{R} $を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
\varepsilon =\min \left\{ x-a,b-x\right\}
\end{equation*}とおけば$\varepsilon >0$であるとともに、\begin{equation*}
\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right) \subset \left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立つため、$x$は$\left[ a,b\right] $の内点です。一方、端点$a$に関しては、任意の$\varepsilon >0$に対して$a-\varepsilon <a$であるため$\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) $は$\left[ a,b\right] $の部分集合ではなく、ゆえに$a$は$\left[ a,b\right] $の内点ではありません。もう一方の端点$b$が$\left[ a,b\right] $の内点でないことも同様にして示されます。また、$\left[ a,b\right] $の要素ではない点は$\left[ a,b\right] $の内点ではありません。以上より、$\mathbb{R} $上の有界な閉区間$\left[ a,b\right] $が任意に与えられたとき、その内点は$\left( a,b\right) $の任意の要素です。

例（有理数空間の内点）

すべての有理数からなる集合$\mathbb{Q}$について考えます。実数$a\in \mathbb{R} $と半径$\varepsilon >0$をそれぞれ任意に選んだとき、無理数の稠密性より、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}という区間の中には無理数が存在するため$U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset \mathbb{Q}$は成り立ちません。したがって任意の実数は$\mathbb{Q}$の内点ではありません。$\mathbb{Q}$は内点を持たない集合です。

例（実数空間の内点）

実数空間$\mathbb{R} $について考えます。実数$a\in \mathbb{R} $と半径$\varepsilon >0$をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset
\mathbb{R} \end{equation*}が明らかに成り立つため、$a$は$\mathbb{R} $の内点です。$\mathbb{R} $の任意の点は$\mathbb{R} $の内点であるということです。

内部

実数空間$\mathbb{R} $の部分集合$A$のすべての内点からなる集合を$A$の内部（interior）や開核（open kernel）などと呼び、\begin{equation*}
A^{i},\quad A^{\circ },\quad \mathrm{int}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点$x\in \mathbb{R} $に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon
\right) \subset A\quad \because \text{近傍の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right)
\cap A^{c}=\phi \quad \because \subset \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon
\right) \cap A^{c}=\phi \quad \because \text{近傍の定義}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

例（有界閉区間の内部）

$a<b$を満たす実数$a,b\in \mathbb{R} $を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な閉区間$\left[ a,b\right] $について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}となります。

例（有界開区間の内部）

$a<b$を満たす実数$a,b\in \mathbb{R} $を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な開区間$\left( a,b\right) $について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}となります。

例（有理数空間の内部）

すべての有理数からなる集合$\mathbb{Q}$について、先の考察より、\begin{equation*}
\mathbb{Q}^{i}=\phi
\end{equation*}となります。

例（実数空間の内部）

すべての実数からなる集合$\mathbb{R} $について、先の考察より、\begin{equation*}
\mathbb{R} ^{i}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。

内部と開集合の関係

先に示したように、$\mathbb{R} $の部分集合$A$の内点は$A$の要素であるため、$A$の内部は$A$の部分集合です。

命題（集合の内部はその集合の部分集合）

実数空間$\mathbb{R} $の部分集合$A$に対して、\begin{equation*}
A^{i}\subset A
\end{equation*}が成り立つ。

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逆に、$A\subset A^{i}$は成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例（集合と内部の関係）

$a<b$を満たす実数$a,b\in \mathbb{R} $を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な閉区間$\left[ a,b\right] $について考えます。端点である$a$と$b$はともに$\left[ a,b\right] $の点である一方、$\left[ a,b\right] $の内点ではありません。したがって、$\left[ a,b\right] \subset \left[ a,b\right] ^{i}$は成り立ちません。

では、$A\subset A^{i}$を満たすような$\mathbb{R} $の部分集合$A$は存在するのでしょうか。実は、$A$が$\mathbb{R} $上の開集合である場合、そしてその場合にのみ、$A\subset A^{i}$という関係もまた成立します。証明は以下の通りです。

$\mathbb{R} $上の開集合$A$が与えられたとき、その点$a\in A$を任意に選ぶと、開集合の定義より、\begin{equation}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A \tag{1}
\end{equation}が成り立ちますが、これは$a$が$A$の内点であることの定義に他なりません。したがって$a\in A^{i}$が成り立つため$A\subset A^{i}$が示されました。逆に$A\subset A^{i}$が成り立つとき、$a\in A$を任意に選ぶと$a\in A^{i}$であり、すると内部の定義より$\left( 1\right) $が成り立ちます。これは$A$が$\mathbb{R} $上の開集合であることの定義に他なりません。

命題（内部による開集合の特徴づけ）

実数空間$\mathbb{R} $の部分集合$A$について、$A\subset A^{i}$が成り立つことは、$A$が$\mathbb{R} $上の開集合であるための必要十分条件である。

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$\mathbb{R} $の任意の部分集合$A$について$A^{i}\subset A$が成り立つことと上の命題を踏まえると、開集合を以下のように特徴づけることも可能です。

命題（内部による開集合の特徴づけ）

実数空間$\mathbb{R} $の部分集合$A$について、$A=A^{i}$が成り立つことは、$A$が$\mathbb{R} $上の開集合であるための必要十分条件である。

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$\mathbb{R} $の部分集合$A$の内部$A^{i}$は$\mathbb{R} $の部分集合であるため、さらにその内部$\left( A^{i}\right) ^{i}$を考えることができますが、実はこれは$A^{i}$と一致します（証明は演習問題にします）。

命題（内部の内部）

実数空間$\mathbb{R} $の任意の部分集合$A$について、$\left( A^{i}\right) ^{i}=A^{i}$が成り立つ。

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上の命題は$A^{i}$がその内部$\left( A^{i}\right) ^{i}$と一致すると言っているため、内部による開集合の特徴づけに関する命題より、$A^{i}$は開集合となります。$\mathbb{R} $の部分集合の内部は開集合であるということです。

命題（内部は開集合）

実数空間$\mathbb{R} $の任意の部分集合$A$について、その内部$A^{i}$は$\mathbb{R} $上の開集合である。

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さらに、$\mathbb{R} $の部分集合$A$の内部$A^{i}$は$A$の部分集合であるような開集合の中でも最大のものです。つまり、$\mathbb{R} $の開集合系を$\mathcal{O}$で表すとき、$A^{i}\in \mathcal{O}$であるとともに、\begin{equation*}
\left( \forall B\in \mathcal{O}:B\subset A\right) \Rightarrow B\subset A^{i}
\end{equation*}が成り立つということです。実際、$B\subset A$を満たす開集合$B\in \mathcal{O}$を任意に選んだとき、その要素$b\in B$を任意に選ぶと、開集合の定義より、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( b\right) \subset B
\end{equation*}が成り立ちます。$B\subset A$であるため、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( b\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちますが、これは$b$が$A$の内点であることの定義に他なりません。つまり$b\in A^{i}$であるため$B\subset A^{i}$であることが示されました。

命題（開集合系による内部の特徴づけ）

実数空間$\mathbb{R} $の任意の部分集合$A$について、その内部$A^{i}$は$A$の部分集合であるような開集合の中でも最大のものである。すなわち、$\mathbb{R} $の開集合系を$\mathcal{O}$で表すとき、$A^{i}\in \mathcal{O}$であるとともに、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{O}:B\subset A\ \Rightarrow \ B\subset A^{i}
\end{equation*}が成り立つ。

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$\mathbb{R} $の開集合系$\mathcal{O}$と部分集合$A$が与えられたとします。このとき、$\mathcal{O}$に属する$\mathbb{R} $上の開集合の中でも、$A$の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは$A$の内部$A^{i}$になります。したがって$\mathbb{R} $の部分集合の内部という概念は、$\mathbb{R} $の開集合系$\mathcal{O}$から間接的に定義することも可能です。

内部と集合演算

実数空間$\mathbb{R} $の部分集合$A,B$を任意に選びます。$A\subset B$が成り立つ場合、任意の$x\in \mathbb{R} $について、\begin{eqnarray*}
x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Rightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset
B\quad \because A\subset B \\
&\Leftrightarrow &x\in B^{i}\quad \because \text{内部の定義}
\end{eqnarray*}となるため、それらの内部についても$A^{i}\subset B^{i}$が成り立つことが示されました。

命題（包含関係と内部）

実数空間$\mathbb{R} $の部分集合$A,B$を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A\subset B\Rightarrow A^{i}\subset B^{i}
\end{equation*}が成り立つ。

証明を見る（プレミアム会員限定）

実数空間$\mathbb{R} $の部分集合$A,B$を任意に選びます。このとき、任意の$x\in \mathbb{R} $について、\begin{align*}
x\in \left( A\cap B\right) ^{i}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon
>0:U_{\varepsilon }(x)\subset A\cap B\quad \because \text{内部の定義} \\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:[U_{\varepsilon }(x)\subset A\wedge
U_{\varepsilon }(x)\subset B]\quad \because \cap \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \lbrack \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A]\wedge \lbrack \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon
}\left( x\right) \subset B] \\
& \Leftrightarrow x\in A^{i}\wedge x\in B^{i}\quad \because \text{内部の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in A^{i}\cap B^{i}\quad \because \cap \text{の定義}
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) ^{i}=A^{i}\cap B^{i}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。2つの集合について、それらの共通部分の内部は、個々の集合の内部の共通部分と一致するということです。

命題（共通部分と内部）

実数空間$\mathbb{R} $の部分集合$A,B$を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) ^{i}=A^{i}\cap B^{i}
\end{equation*}が成り立つ。

証明を見る（プレミアム会員限定）

実数空間$\mathbb{R} $の部分集合$A,B$を任意に選びます。このとき、任意の$x\in \mathbb{R} $について、\begin{align*}
x\in A^{i}\cup B^{i}& \Leftrightarrow x\in A^{i}\vee x\in B^{i}\quad
\because \cup \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \lbrack \exists \varepsilon _{1}>0:U_{\varepsilon
_{1}}\left( x\right) \subset A]\vee \lbrack \exists \varepsilon
_{2}>0:U_{\varepsilon _{2}}\left( x\right) \subset B] \\
& \Rightarrow \exists \varepsilon >0:[U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset A\vee U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset B] \\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset A\cup B\quad \because \cup \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
A^{i}\cup B^{i}\subset \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。2つの集合について、それらの和集合の内部は、個々の集合の内部の和集合を部分集合として含むということです。

命題（和集合と内部）

実数空間$\mathbb{R} $の部分集合$A,B$を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A^{i}\cup B^{i}\subset \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{equation*}が成り立つ。

証明を見る（プレミアム会員限定）

ちなみに、$\mathbb{R} $の部分集合$A,B$について、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) ^{i}\subset A^{i}\cup B^{i}
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。以下の例から明らかです。

例（和集合と内部）

$\mathbb{R} $の部分集合である$\left( -1,0\right) $と$[0,1)$について考えます。これらの和集合の内部は、\begin{eqnarray*}
\left( \left( -1,0\right) \cup \lbrack 0,1)\right) ^{i} &=&\left(
-1,1\right) ^{i}\quad \because \cup \text{の定義} \\
&=&\left( -1,1\right) \quad \because \text{内部の定義}
\end{eqnarray*}である一方、それぞれの内部の和集合は、\begin{eqnarray*}
\left( -1,0\right) ^{i}\cup \lbrack 0,1)^{i} &=&\left( -1,0\right) \cup
\left( 0,1\right) \quad \because \text{内部の定義} \\
&=&\left( -1,1\right) \backslash \left\{ 0\right\} \quad \because \cup \text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、両者は異なる集合です。

次回は外点や外部という概念について解説します。

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