内点・内部

内点

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)の近傍の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の内点（interior point）と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \subset A
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、点\(a\)を中心とする有界開区間の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば\(a\)は\(A\)の内点です。

一般に、集合\(X\)が集合\(Y\)の部分集合であることは\(X\)が\(Y\)の補集合\(Y^{c}\)と交わらないことと同義です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の内点であることを、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A^{c}=\phi
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、点\(a\)の近傍の中に\(A\)の補集合と交わらないものが存在するならば\(a\)は\(A\)の内点です。

集合\(A\)の内点\(a\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として含むため、これと上の命題より、\(a\)は\(A\)の要素でもあります。つまり、集合\(A\)の内点は\(A\)の要素であるということです。言い換えると、\(A\)の要素ではない点は\(A\)の内点になり得ません。

内部

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての内点からなる集合を\(A\)の内部（interior）や開核（open kernel）などと呼び、\begin{equation*}
A^{i},\quad A^{\circ },\quad \mathrm{int}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon
\right) \subset A\quad \because \text{近傍の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right)
\cap A^{c}=\phi \quad \because \subset \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon
\right) \cap A^{c}=\phi \quad \because \text{近傍の定義}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

内部と開集合の関係

先に示したように、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の内点は\(A\)の要素であるため、\(A\)の内部は\(A\)の部分集合です。

逆に、\(A\subset A^{i}\)は成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

では、\(A\subset A^{i}\)を満たすような\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)は存在するのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合である場合、そしてその場合にのみ、\(A\subset A^{i}\)という関係もまた成立します。証明は以下の通りです。

\(\mathbb{R} \)上の開集合\(A\)が与えられたとき、その点\(a\in A\)を任意に選ぶと、開集合の定義より、\begin{equation}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A \tag{1}
\end{equation}が成り立ちますが、これは\(a\)が\(A\)の内点であることの定義に他なりません。したがって\(a\in A^{i}\)が成り立つため\(A\subset A^{i}\)が示されました。逆に\(A\subset A^{i}\)が成り立つとき、\(a\in A\)を任意に選ぶと\(a\in A^{i}\)であり、すると内部の定義より\(\left( 1\right) \)が成り立ちます。これは\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることの定義に他なりません。

\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について\(A^{i}\subset A\)が成り立つことと上の命題を踏まえると、開集合を以下のように特徴づけることも可能です。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、さらにその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)を考えることができますが、実はこれは\(A^{i}\)と一致します（証明は演習問題にします）。

上の命題は\(A^{i}\)がその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)と一致すると言っているため、内部による開集合の特徴づけに関する命題より、\(A^{i}\)は開集合となります。\(\mathbb{R} \)の部分集合の内部は開集合であるということです。

さらに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であるような開集合の中でも最大のものです。つまり、\(\mathbb{R} \)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で表すとき、\(A^{i}\in \mathcal{O}\)であるとともに、\begin{equation*}
\left( \forall B\in \mathcal{O}:B\subset A\right) \Rightarrow B\subset A^{i}
\end{equation*}が成り立つということです。実際、\(B\subset A\)を満たす開集合\(B\in \mathcal{O}\)を任意に選んだとき、その要素\(b\in B\)を任意に選ぶと、開集合の定義より、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( b\right) \subset B
\end{equation*}が成り立ちます。\(B\subset A\)であるため、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( b\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(b\)が\(A\)の内点であることの定義に他なりません。つまり\(b\in A^{i}\)であるため\(B\subset A^{i}\)であることが示されました。

\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(\mathbb{R} \)上の開集合の中でも、\(A\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の内部\(A^{i}\)になります。したがって\(\mathbb{R} \)の部分集合の内部という概念は、\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義することも可能です。

内部と集合演算

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。\(A\subset B\)が成り立つ場合、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}
x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Rightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset
B\quad \because A\subset B \\
&\Leftrightarrow &x\in B^{i}\quad \because \text{内部の定義}
\end{eqnarray*}となるため、それらの内部についても\(A^{i}\subset B^{i}\)が成り立つことが示されました。

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。このとき、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{align*}
x\in \left( A\cap B\right) ^{i}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon
>0:U_{\varepsilon }(x)\subset A\cap B\quad \because \text{内部の定義} \\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:[U_{\varepsilon }(x)\subset A\wedge
U_{\varepsilon }(x)\subset B]\quad \because \cap \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \lbrack \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A]\wedge \lbrack \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon
}\left( x\right) \subset B] \\
& \Leftrightarrow x\in A^{i}\wedge x\in B^{i}\quad \because \text{内部の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in A^{i}\cap B^{i}\quad \because \cap \text{の定義}
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) ^{i}=A^{i}\cap B^{i}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。2つの集合について、それらの共通部分の内部は、個々の集合の内部の共通部分と一致するということです。

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。このとき、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{align*}
x\in A^{i}\cup B^{i}& \Leftrightarrow x\in A^{i}\vee x\in B^{i}\quad
\because \cup \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \lbrack \exists \varepsilon _{1}>0:U_{\varepsilon
_{1}}\left( x\right) \subset A]\vee \lbrack \exists \varepsilon
_{2}>0:U_{\varepsilon _{2}}\left( x\right) \subset B] \\
& \Rightarrow \exists \varepsilon >0:[U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset A\vee U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset B] \\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset A\cup B\quad \because \cup \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
A^{i}\cup B^{i}\subset \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。2つの集合について、それらの和集合の内部は、個々の集合の内部の和集合を部分集合として含むということです。

ちなみに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) ^{i}\subset A^{i}\cup B^{i}
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。以下の例から明らかです。

次回は外点や外部という概念について解説します。