内点
\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R}\)の近傍の中に\(A\)の部分集合が存在するならば、すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の内点（interior point）と呼びます。なお、点の近傍の定義を踏まえると上の条件は、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \subset A
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、点\(a\)を中心とする開区間の中に\(A\)の部分集合であるものが存在するということです。
一般に、集合\(X\)が集合\(Y\)の部分集合であることは\(X\)が\(Y\)の補集合\(Y^{c}\)と交わらないことと同義です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の内点であることを、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A^{c}=\phi
\end{equation*}と表現することもできます。
U_{\varepsilon }\left( x\right) =\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right)
\end{equation*}という区間の中には無理数が存在するため\(U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset \mathbb{Q}\)は成り立ちません。したがって任意の有理数は\(\mathbb{Q}\)の内点ではありません。
内部
\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)のすべての内点からなる集合を\(A\)の内部（interior）や開核（open kernel）などと呼び、\begin{equation*}
A^{i},\quad A^{\circ },\quad \mathrm{int}\left( A\right)
\end{equation*}などで表します。
内部の定義より、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)と任意の点\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset A \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right) \subset A
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。
内部は部分集合
\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は必ず\(A\)の部分集合です。つまり、\(A\)の内点は必ず\(A\)の点です。
\(\mathbb{R}\)の任意の部分集合\(A\)について\(A^{i}\subset A\)が成り立つ。
上の命題中の関係とは逆に、\(A\subset A^{i}\)は成り立つとは限りません。つまり、\(A\)の点は\(A\)の内点であるとは限りません。実際、先に例として挙げた\(\mathbb{R}\)の部分集合\begin{equation*}
\left[ a,b\right] =\{x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\}
\end{equation*}について、\(a,b\)は\(\left[ a,b\right] \)の点ですが\(\left[ a,b\right] \)の内点ではありません。
内部による開集合の特徴づけ
\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)について\(A^{i}\subset A\)は常に成り立ちますが、逆に\(A\subset A^{i}\)は成り立つとは限りません。しかし、\(A\)が\(\mathbb{R}\)の開集合の場合には、そしてその場合にのみ\(A\subset A^{i}\)が成り立ちます。
任意の\(A\subset \mathbb{R}\)について\(A^{i}\subset A\)が成り立つことと上の命題を踏まえると、開集合を以下のように特徴づけることも可能です。
内部は開集合
\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(\mathbb{R}\)の部分集合ですから、さらにその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)を考えることができますが、実はこれは\(A^{i}\)と一致します。
\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)の内部、さらにその内部なども考えることもできますが、上の命題よりそれらはいずれも\(A^{i}\)と一致します。
上の命題は\(A^{i}\)がその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)と一致すると言っているため、先に示した内部による開集合の特徴づけに関する命題より、\(A^{i}\)が開集合となります。
さらに、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(A\)に含まれる最大の開集合です。
\forall B\in \mathcal{O}:B\subset A\ \Rightarrow \ B\subset A^{i}
\end{equation*}が成り立つ。
\(\mathbb{R}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたとしましょう。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(\mathbb{R}\)の開集合の中でも、\(A\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の内部\(A^{i}\)です。したがって\(\mathbb{R}\)の部分集合の内部という概念は開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義される概念だと言えます。
内部と集合演算
内部は集合演算に関して以下の性質を満たします。
&&\left( a\right) \ A\subset B\ \Rightarrow \ A^{i}\subset B^{i} \\
&&\left( b\right) \ (A\cap B)^{i}=A^{i}\cap B^{i} \\
&&\left( c\right) \ A^{i}\cup B^{i}\subset (A\cup B)^{i}
\end{eqnarray*}
特に\(\left( b\right) \)は等号で成り立ちますが\(\left( c\right) \)は等号で成り立たない点に注意する必要があります。つまり、\begin{equation*}
(A\cup B)^{i}\subset A^{i}\cup B^{i}
\end{equation*}という関係は成り立つとは限らないということです。証明は演習問題にします。
次回は外点や外部という概念について解説します。
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