内点・内部

内点

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)の近傍の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \subset A
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の内点（interior point）と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の内点であることとは、十分小さい距離\(\varepsilon \)を選べば、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} \)上の任意の点が\(A\)の点になることを意味します。

繰り返しになりますが、集合\(A\)の内点\(a\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として持つため、すなわち\(a\in N_{\varepsilon}\left( a\right) \)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}a\in A
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の内点は必ず\(A\)の要素であるということです。\(A\)の要素ではない点は\(A\)の内点になり得ないため、\(A\)の内点を探す際には\(A\)の点だけを候補としても問題はありません。

内部

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての内点からなる集合を\(A\)の内部（interior）や開核（open kernel）などと呼び、\begin{equation*}A^{i},\quad A^{\circ },\quad \mathrm{int}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon
\right) \subset A\quad \because \text{近傍の定義}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

内部を用いた開集合の定義

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の任意の内点は\(A\)の要素です。したがって\(A\)の内部は\(A\)の部分集合です。

逆に、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について\(A\subset A^{i}\)という関係もまた常に成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

では、どのような条件のもとで\(A\subset A^{i}\)が成立するのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合である場合、そしてその場合にのみ\(A\subset A^{i}\)という関係もまた成立します。

以上の命題は、開集合という概念が内部という概念から定義可能であることを意味します。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A\subset A^{i}
\end{equation*}が成り立つこととして、つまり\(A\)の任意の点が\(A\)の内点であることとして、\(A\)が開集合であることの意味を定義できるということです。さらに、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について\(A^{i}\subset A\)が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}A\subset A^{i} &\Leftrightarrow &A\subset A^{i}\wedge A^{i}\subset A\quad
\because A^{i}\subset A\text{は恒真式} \\
&\Leftrightarrow &A=A^{i}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A\subset A^{i}\Leftrightarrow A=A^{i}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、上の命題を以下のように言い換えることもできます。

開集合を用いた内部の定義

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、さらにその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)を考えることができますが、実はこれは\(A^{i}\)と一致します（演習問題にします）。つまり、\begin{equation*}\left( A^{i}\right) ^{i}=A^{i}
\end{equation*}が成り立つということです。先の命題より、これは\(A^{i}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを意味します。\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合の内部は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるということです。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その内部\(A^{i}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であり、なおかつ\(\mathbb{R} \)上の開集合です。\(A\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} \)上の開集合は\(A^{i}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{i}\)はそのような集合の中でも最大のものです。つまり、\(A\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} \)上の開集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{i}\)の間には\(B\subset A^{i}\)という関係が成り立つということです（演習問題にします）。

\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(\mathbb{R} \)上の開集合の中でも、\(A\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の内部\(A^{i}\)になります。したがって\(\mathbb{R} \)の部分集合の内部という概念は\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義することも可能です。

演習問題

次回は内部を用いて開集合であることを判定する方法を解説します。