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内点・内部

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内点

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)の近傍の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \subset A
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の内点(interior point)と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の内点であることとは、十分小さい距離\(\varepsilon \)を選べば、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} \)上の任意の点が\(A\)の点になることを意味します。

繰り返しになりますが、集合\(A\)の内点\(a\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として持つため、すなわち\(a\in N_{\varepsilon}\left( a\right) \)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}a\in A
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の内点は必ず\(A\)の要素であるということです。\(A\)の要素ではない点は\(A\)の内点になり得ないため、\(A\)の内点を探す際には\(A\)の点だけを候補としても問題はありません。

命題(集合の内点はその集合の要素)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、\(A\)の任意の内点は\(A\)の要素である。
例(有界開区間の内点)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。\(\left( a,b\right) \)の任意の点は\(\left(a,b\right) \)の内点です。実際、点\(x\in \left( a,b\right) \)を任意に選んだとき、\(\left( a,b\right) \)の定義より\(a<x<b\)が成り立つため、以下のような正の実数\begin{equation*}\varepsilon =\min \left\{ x-a,b-x\right\} >0
\end{equation*}をとることができますが、このとき\(N_{\varepsilon}\left( x\right) \)が\(\left( a,b\right) \)の部分集合になります(演習問題にします)。また、先の命題より、\(\left( a,b\right) \)の要素ではない任意の点は\(\left( a,b\right) \)の内点ではありません。したがって、\(\left( a,b\right) \)のすべての内点からなる集合は\(\left( a,b\right) \)です。
例(有界閉区間の内点)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である\(\left( a,b\right) \)の任意の点は\(\left[ a,b\right] \)の内点です(演習問題にします)。\(\left[ a,b\right] \)の端点である点\(a\)は\(\left[ a,b\right] \)の内点ではありません。実際、任意の\(\varepsilon >0\)に対して\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\left[ a,b\right] \)の部分集合にならないからです(演習問題にします)。同様の理由により、\(\left[ a,b\right] \)のもう一方の端点である\(b\)もまた\(\left[ a,b\right] \)の内点ではありません。また、先の命題より、\(\left[ a,b\right] \)の要素ではない任意の点は\(\left[ a,b\right] \)の内点ではありません。したがって、\(\left[ a,b\right] \)のすべての内点からなる集合は\(\left( a,b\right) \)です。
例(有理数空間の内点)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)について考えます。\(\mathbb{Q} \)の任意の点は\(\mathbb{Q} \)の内点ではありません。実際、点\(x\in \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、無理数の稠密性より、任意の\(\varepsilon >0\)対して\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)の中には無理数が存在することが示され、したがって\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は\(\mathbb{Q} \)の部分集合ではないからです(演習問題にします)。また、先の命題より、\(\mathbb{Q} \)の要素ではない任意の点は\(\mathbb{Q} \)の内点ではありません。したがって、\(\mathbb{Q} \)の内点は存在しません。
例(無理数空間の内点)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)について考えます。\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の任意の点は\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の内点ではありません。実際、点\(x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、有理数の稠密性より、任意の\(\varepsilon >0\)対して\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)の中には有理数が存在することが示され、したがって\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の部分集合ではないからです(演習問題にします)。また、先の命題より、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の要素ではない任意の点は\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の内点ではありません。したがって、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の内点は存在しません。
例(実数空間の内点)
実数空間\(\mathbb{R} \)について考えます。\(\mathbb{R} \)の任意の点は\(\mathbb{R} \)の内点です。実際、点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、任意の\(\varepsilon >0\)に対して\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は明らかに\(\mathbb{R} \)の部分集合だからです。

 

内部

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての内点からなる集合を\(A\)の内部(interior)や開核(open kernel)などと呼び、\begin{equation*}A^{i},\quad A^{\circ },\quad \mathrm{int}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon
\right) \subset A\quad \because \text{近傍の定義}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

例(有界開区間の内部)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、\(\left( a,b\right) \)のすべての内点からなる集合は\(\left(a,b\right) \)であるため、\begin{equation*}\left( a,b\right) ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}となります。
例(有界閉区間の内部)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、\(\left[ a,b\right] \)のすべての内点からなる集合は\(\left(a,b\right) \)であるため、\begin{equation*}\left[ a,b\right] ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}となります。
例(有理数空間の内部)
先に確認したように、すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)は内点を持たないため、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{i}=\phi\end{equation*}となります。
例(無理数空間の内部)
先に確認したように、すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は内点を持たないため、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{i}=\phi
\end{equation*}となります。
例(実数空間の内部)
先に確認したように、すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)のすべての内点からなる集合は\(\mathbb{R} \)であるため、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{i}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。

 

内部を用いた開集合の定義

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の任意の内点は\(A\)の要素です。したがって\(A\)の内部は\(A\)の部分集合です。

命題(集合の内部はその集合の部分集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{i}\subset A
\end{equation*}が成り立つ。

逆に、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について\(A\subset A^{i}\)という関係もまた常に成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例(集合と内部の関係)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。この閉区間の端点である\(a\)と\(b\)はともに\(\left[ a,b\right] \)の要素である一方で\(\left[ a,b\right] \)の内点ではありません。したがって、\(\left[ a,b\right] \)は\(\left[ a,b\right] ^{i}\)の部分集合ではありません。

では、どのような条件のもとで\(A\subset A^{i}\)が成立するのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合である場合、そしてその場合にのみ\(A\subset A^{i}\)という関係もまた成立します。

命題(内部による開集合の定義)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A\subset A^{i}
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であるための必要十分条件である。
証明

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以上の命題は、開集合という概念が内部という概念から定義可能であることを意味します。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A\subset A^{i}
\end{equation*}が成り立つこととして、つまり\(A\)の任意の点が\(A\)の内点であることとして、\(A\)が開集合であることの意味を定義できるということです。さらに、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について\(A^{i}\subset A\)が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}A\subset A^{i} &\Leftrightarrow &A\subset A^{i}\wedge A^{i}\subset A\quad
\because A^{i}\subset A\text{は恒真式} \\
&\Leftrightarrow &A=A^{i}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A\subset A^{i}\Leftrightarrow A=A^{i}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、上の命題を以下のように言い換えることもできます。

命題(内部による開集合の定義)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A=A^{i}
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であるための必要十分条件である。

 

開集合を用いた内部の定義

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、さらにその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)を考えることができますが、実はこれは\(A^{i}\)と一致します(演習問題にします)。つまり、\begin{equation*}\left( A^{i}\right) ^{i}=A^{i}
\end{equation*}が成り立つということです。先の命題より、これは\(A^{i}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを意味します。\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合の内部は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるということです。

命題(内部は開集合)
\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その内部\(A^{i}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合である。
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\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その内部\(A^{i}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であり、なおかつ\(\mathbb{R} \)上の開集合です。\(A\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} \)上の開集合は\(A^{i}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{i}\)はそのような集合の中でも最大のものです。つまり、\(A\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} \)上の開集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{i}\)の間には\(B\subset A^{i}\)という関係が成り立つということです(演習問題にします)。

命題(開集合を用いた内部の定義)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であるような開集合の中でも最大のものである。すなわち、\(\mathbb{R} \)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で表すとき、\(A^{i}\in \mathcal{O}\)であるとともに、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{O}:\left( B\subset A\Rightarrow B\subset A^{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(\mathbb{R} \)上の開集合の中でも、\(A\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の内部\(A^{i}\)になります。したがって\(\mathbb{R} \)の部分集合の内部という概念は\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義することも可能です。

 

演習問題

問題(有界開区間の内部)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(有界閉区間の内部)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(有理数空間の内部)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)について、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{i}=\phi\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(無理数空間の内部)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)について、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{i}=\phi
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(整数空間の内部)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)について、\begin{equation*}\mathbb{Z} ^{i}=\phi\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(非整数空間の内部)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)とすべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)の差集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \)について、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \right) ^{i}=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \end{equation*}がなりたつことを証明してください。
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問題(包含関係と内部)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow A^{i}\subset B^{i}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(共通部分と内部)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) ^{i}=A^{i}\cap B^{i}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(和集合と内部)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A^{i}\cup B^{i}\subset \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(和集合と内部)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) ^{i}\subset A^{i}\cup B^{i}
\end{equation*}という関係は成り立つとは限らないことを示してください。
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次回は内部を用いて開集合であることを判定する方法を解説します。

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直線の位相