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TOPOLOGY OF THE REAL LINE

内点・内部

内点

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)の近傍の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の内点(interior point)と呼びます。点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)とは、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} \)上の点からなる集合\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}として定義されます。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の内点であることとは、十分小さい距離\(\varepsilon \)を選べば、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} \)上の任意の点が\(A\)の点であることが保証されることを意味します。

一般に、集合\(X\)が集合\(Y\)の部分集合であることは\(X\)が\(Y\)の補集合\(Y^{c}\)と交わらないことと必要十分です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の内点であることを、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A^{c}=\phi
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、点\(a\)の近傍の中に\(A\)の補集合と交わらないものが存在するならば\(a\)は\(A\)の内点です。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の内点であることとは、十分小さい距離\(\varepsilon \)を選べば、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} \)上の任意の点が補集合\(A^{c}\)の点にはならないことが保証されることを意味します。

繰り返しになりますが、集合\(A\)の内点\(a\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として持つため、上の関係より、\(a\)は\(A\)の要素でもあります。つまり、集合\(A\)の内点は必ず\(A\)の要素であるということです。言い換えると、\(A\)の要素ではない点は\(A\)の内点になり得ないため、\(A\)の内点を探す際には\(A\)の点だけを候補としても問題はありません。

命題(集合の内点はその集合の要素)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、\(A\)の任意の内点は\(A\)の要素である。
例(有界開区間の内点)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合です。\(\left(a,b\right) \)の任意の点は\(\left(a,b\right) \)の内点です。実際、点\(x\in \left( a,b\right) \)を任意に選んだとき、\(\left( a,b\right) \)の定義より\(a<x<b\)が成り立つため、以下のような正の実数\begin{equation*}\varepsilon =\min \left\{ x-a,b-x\right\} >0
\end{equation*}をとることができますが、このとき\(N_{\varepsilon}\left( x\right) \)が\(\left( a,b\right) \)の部分集合になることが示されます(演習問題にします)。また、先の命題より、\(\left( a,b\right) \)の要素ではない任意の点は\(\left( a,b\right) \)の内点ではありません。したがって、\(\left( a,b\right) \)のすべての内点からなる集合は\(\left( a,b\right) \)です。
例(有界閉区間の内点)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合です。\(\left[ a,b\right] \)の部分集合である\(\left( a,b\right) \)の任意の点は\(\left[a,b\right] \)の内点であることが先と同様の方針により示されます(演習問題にします)。\(\left[ a,b\right] \)の端点である\(a\)は\(\left[ a,b\right] \)の内点ではありません。実際、任意の\(\varepsilon >0\)に対して\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\left[ a,b\right] \)の部分集合にならないからです(演習問題にします)。同様の理由により、\(\left[ a,b\right] \)のもう一方の端点である\(b\)もまた\(\left[ a,b\right] \)の内点ではありません。また、先の命題より、\(\left[ a,b\right] \)の要素ではない任意の点は\(\left[ a,b\right] \)の内点ではありません。したがって、\(\left[ a,b\right] \)のすべての内点からなる集合は\(\left( a,b\right) \)です。
例(有理数空間の内点)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)について考えます。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合です。\(\mathbb{Q} \)の任意の点は\(\mathbb{Q} \)の内点ではありません。実際、点\(x\in \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、無理数の稠密性より、任意の\(\varepsilon >0\)対して\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)の中には無理数が存在することが示され、したがって\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は\(\mathbb{Q} \)の部分集合にならないからです(演習問題にします)。また、先の命題より、\(\mathbb{Q} \)の要素ではない任意の点は\(\mathbb{Q} \)の内点ではありません。したがって、\(\mathbb{Q} \)の内点は存在しません。
例(無理数空間の内点)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)について考えます。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合です。\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の任意の点は\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の内点ではありません。実際、点\(x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、有理数の稠密性より、任意の\(\varepsilon >0\)対して\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)の中には有理数が存在することが示され、したがって\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の部分集合にならないからです(演習問題にします)。また、先の命題より、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の要素ではない任意の点は\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の内点ではありません。したがって、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)の内点は存在しません。
例(実数空間の内点)
実数空間\(\mathbb{R} \)について考えます。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合です。\(\mathbb{R} \)の任意の点は\(\mathbb{R} \)の内点です。実際、点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、任意の\(\varepsilon >0\)に対して、\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は明らかに\(\mathbb{R} \)の部分集合だからです。

 

内部

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての内点からなる集合を\(A\)の内部(interior)や開核(open kernel)などと呼び、\begin{equation*}A^{i},\quad A^{\circ },\quad \mathrm{int}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon
\right) \subset A\quad \because \text{近傍の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( x\right)
\cap A^{c}=\phi \quad \because \subset \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:\left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon
\right) \cap A^{c}=\phi \quad \because \text{近傍の定義}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

例(有界開区間の内部)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、\(\left( a,b\right) \)のすべての内点からなる集合は\(\left(a,b\right) \)であるため、\begin{equation*}\left( a,b\right) ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}となります。
例(有界閉区間の内部)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、\(\left[ a,b\right] \)のすべての内点からなる集合は\(\left(a,b\right) \)であるため、\begin{equation*}\left[ a,b\right] ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}となります。
例(有理数空間の内部)
先に確認したように、すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)は内点を持たないため、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{i}=\phi\end{equation*}となります。
例(無理数空間の内部)
先に確認したように、すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は内点を持たないため、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{i}=\phi
\end{equation*}となります。
例(実数空間の内部)
先に確認したように、すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)のすべての内点からなる集合は\(\mathbb{R} \)であるため、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{i}=\mathbb{R} \end{equation*}となります。

 

内部を用いて開集合であることを判定する

先に示したように、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の内点は\(A\)の要素であるため、\(A\)の内部は\(A\)の部分集合です。つまり、\(A^{i}\subset A\)という関係が常に成り立ちます。

命題(集合の内部はその集合の部分集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A^{i}\subset A
\end{equation*}が成り立つ。

逆に、\(A\subset A^{i}\)という関係もまた成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例(集合と内部の関係)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、この閉区間の端点である\(a\)と\(b\)はともに\(\left[a,b\right] \)の要素である一方で\(\left[ a,b\right] \)の内点ではありません。したがって\(\left[ a,b\right] \subset \left[ a,b\right] ^{i}\)は成り立ちません。

では、どのような条件のもとで\(A\subset A^{i}\)が成立するのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合である場合、そしてその場合にのみ\(A\subset A^{i}\)という関係もまた成立します。

命題(内部による開集合の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\(A\subset A^{i}\)が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であるための必要十分条件である。
証明
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以上の2つの命題を踏まえると、開集合を以下のように特徴づけられます。

命題(内部による開集合の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\(A=A^{i}\)が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であるための必要十分条件である。
証明
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つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が開集合であることを示すためには、\(A\)の内部\(A^{i}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致することを示せばよいということになります。

例(有界開区間は開集合)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(a,b\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。
例(実数空間は開集合)
先に確認したように、すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)に関して、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{i}=\mathbb{R} \end{equation*}が成り立つため、\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。

逆に、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が開集合ではないことを示すためには、\(A\)の内部\(A^{i}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致しないことを示せばよいということになります。

例(有界閉区間は開集合ではない)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{i}\not=\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。
例(有理数空間は開集合ではない)
先に確認したように、すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)に関して、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{i}=\phi \end{equation*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{i}\not=\mathbb{Q} \end{equation*}が成り立つため、\(\mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。
例(無理数空間は開集合ではない)
先に確認したように、すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)に関して、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{i}=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{i}\not=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{equation*}が成り立つため、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。

 

開集合系による内部の特徴づけ

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、さらにその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)を考えることができますが、実はこれは\(A^{i}\)と一致します(演習問題にします)。つまり、\begin{equation*}\left( A^{i}\right) ^{i}=A^{i}
\end{equation*}が成り立つということです。先の命題より、これは\(A^{i}\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを意味します。\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合の内部は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるということです。

命題(内部は開集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その内部\(A^{i}\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合である。
証明
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\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その内部\(A^{i}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であり、なおかつ\(\mathbb{R} \)上の開集合です。\(A\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} \)上の開集合は\(A^{i}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{i}\)はそのような集合の中でも最大のものです。つまり、\(A\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} \)上の開集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{i}\)の間には\(B\subset A^{i}\)という関係が成り立つということです(演習問題にします)。

命題(開集合系による内部の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であるような開集合の中でも最大のものである。すなわち、\(\mathbb{R} \)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で表すとき、\(A^{i}\in \mathcal{O}\)であるとともに、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{O}:\left( B\subset A\Rightarrow B\subset A^{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明
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\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(\mathbb{R} \)上の開集合の中でも、\(A\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の内部\(A^{i}\)になります。したがって\(\mathbb{R} \)の部分集合の内部という概念は\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義することも可能です。

 

内部と集合演算

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。\(A\subset B\)が成り立つ場合、それらの内部についても\(A^{i}\subset B^{i}\)が成り立ちます。

命題(包含関係と内部)

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow A^{i}\subset B^{i}
\end{equation*}が成り立つ。

証明
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実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) ^{i}=A^{i}\cap B^{i}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、2つの集合について、それらの共通部分の内部は、個々の集合の内部の共通部分と一致するということです。

命題(共通部分と内部)

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) ^{i}=A^{i}\cap B^{i}
\end{equation*}が成り立つ。

証明
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実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}A^{i}\cup B^{i}\subset \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{equation*}と言う関係が成り立ちます。つまり、2つの集合について、それらの和集合の内部は、個々の集合の内部の和集合を部分集合として含むということです。

命題(和集合と内部)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A^{i}\cup B^{i}\subset \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{equation*}が成り立つ。
証明
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ちなみに、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) ^{i}\subset A^{i}\cup B^{i}
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。以下の例から明らかです。

例(和集合と内部)
\(\mathbb{R} \)の部分集合である\(\left(-1,0\right) \)と\([0,1)\)について考えます。これらの和集合の内部は、\begin{eqnarray*}\left( \left( -1,0\right) \cup \lbrack 0,1)\right) ^{i} &=&\left(
-1,1\right) ^{i}\quad \because \cup \text{の定義} \\
&=&\left( -1,1\right) \quad \because \text{内部の定義}
\end{eqnarray*}である一方、それぞれの内部の和集合は、\begin{eqnarray*}
\left( -1,0\right) ^{i}\cup \lbrack 0,1)^{i} &=&\left( -1,0\right) \cup
\left( 0,1\right) \quad \because \text{内部の定義} \\
&=&\left( -1,1\right) \backslash \left\{ 0\right\} \quad \because \cup \text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left( -1,0\right) ^{i}\cup \lbrack 0,1)^{i}\subset \left( \left(
-1,0\right) \cup \lbrack 0,1)\right) ^{i}
\end{equation*}が成り立つ一方で、\begin{equation*}
\left( \left( -1,0\right) \cup \lbrack 0,1)\right) ^{i}\subset \left(
-1,0\right) ^{i}\cup \lbrack 0,1)^{i}
\end{equation*}は成り立たないことが確認されました。

 

演習問題

問題(有界開区間の内部)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(有界閉区間の内部)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{i}=\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(有理数空間の内部)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)について、\begin{equation*}\mathbb{Q} ^{i}=\phi \end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(無理数空間の内部)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)について、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{i}=\phi
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(整数空間の内部)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)について、\begin{equation*}\mathbb{Z} ^{i}=\phi \end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(非整数空間の内部)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)とすべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)の差集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \)について、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \right) ^{i}=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \end{equation*}がなりたつことを証明してください。
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次回は外点や外部という概念について解説します。

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