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数直線の位相

実数空間における区間と連結集合の関係

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区間は連結集合

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合が連結ないし非連結であることを判定する作業は煩雑になりがちであるため、より簡単な判定方法があれば望ましいと言えます。

空集合\(\phi \)は連結集合であることを示しました。また、1つの実数\(x\in \mathbb{R} \)だけを要素として持つ1点集合\(\left\{ x\right\} \)もまた連結集合であることを示しました。では、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(X\)が2つ以上の要素を持つ場合、これが連結であるための条件を特定できるでしょうか。\(X\)が2つ以上の要素を持つ場合、\(X\)が\(\mathbb{R} \)上の区間であれば連結であることが保証されます。順番に解説します。

区間について簡単に復習します。有界区間\begin{equation*}
\lbrack a,b],(a,b),[a,b),(a,b] \end{equation*}と無限区間\begin{equation*}
\lbrack a,+\infty ),(-\infty ,b],(a,+\infty ),(-\infty ,b)
\end{equation*}および全区間\begin{equation*}
\left( -\infty ,+\infty \right)
\end{equation*}を総称して区間と呼びます。ただし、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(X\)が複数の要素を持つ場合には、\begin{equation*}\forall x,y\in X:\left[ x<y\Rightarrow \forall z\in \left( x,y\right) :z\in X\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(X\)が区間であるための必要十分条件です

以上を踏まえた上で、区間が連結集合であることを示します。

命題(区間は連結集合)

実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)が2つ以上の要素を持つものとする。この場合、\(X\)が区間であるならば、\(X\)は連結集合である。

証明

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例(区間は連結集合)
実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が\(a<b\)を満たす場合、有界区間\([a,b],(a,b),[a,b),(a,b]\)はいずれも複数の要素を持つ区間であるため、上の命題よりこれらはいずれも連結です。また、実数\(a,b\in \mathbb{R} \)に対して無限区間\([a,+\infty),(-\infty ,b],(a,+\infty ),(-\infty ,b)\)はいずれも複数の要素を持つ区間であるため、上の命題よりこれらはいずれも連結です。また、全区間\(\left( -\infty ,+\infty\right) \)すなわち\(\mathbb{R} \)は複数の要素を持つ区間であるため、上の命題より全区間は連結です。

先の命題の対偶をとると以下を得ます。

命題(非連結集合は区間ではない)
実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)が2つ以上の要素を持つものとする。この場合、\(X\)が非連結集合であるならば、\(X\)は区間ではない。

 

連結集合は区間

実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)が2つ以上の要素を持つ場合、\(X\)が区間であるならば\(X\)は連結であることが明らかになりました。実は、その逆も成り立ちます。つまり、\(X\)が2つ以上の要素を持つ場合、\(X\)が連結であるならば\(X\)は区間であるということです。

命題(連結集合は区間)

実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)が2つ以上の要素を持つものとする。この場合、\(X\)が連結集合であるならば、\(X\)は区間である。

証明

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先の命題の対偶をとると以下を得ます。

命題(非区間は非連結集合)
実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)が2つ以上の要素を持つものとする。この場合、\(X\)が区間でないならば、\(X\)は非連結集合である。
例(自然数集合は非連結)
自然数集合\(\mathbb{N} \)は区間ではありません。実際、2つの自然数\(1,2\)に注目したとき、それらの間にある\(\frac{1}{2}\)は自然数ではないからです。したがって上の命題より\(\mathbb{N} \)は非連結集合です。
例(整数集合は非連結)
整数集合\(\mathbb{Z} \)は区間ではありません。実際、2つの整数\(1,2\)に注目したとき、それらの間にある\(\frac{1}{2}\)は整数ではないからです。したがって上の命題より\(\mathbb{Z} \)は非連結集合です。
例(有理数集合は非連結)
有理数集合\(\mathbb{Q} \)は区間ではありません。実際、2つの有理数\(3.1=\frac{31}{10}\)と\(3.2=\frac{32}{10}\)に注目したとき、それらの間にある\(\pi \)は有理数ではないからです。したがって上の命題より\(\mathbb{Q} \)は非連結集合です。
例(無理数集合は非連結)
無理数集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は区間ではありません。実際、2つの無理数\(\sqrt{2}\)と\(\pi \)に注目したとき、それらの間にある\(2\)は無理数ではないからです。したがって上の命題より\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は非連結集合

 

区間と連結集合の関係

区間と連結集合の関係を規定する先の2つの命題より以下を得ます。

命題(区間と連結集合の関係)
実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)が2つ以上の要素を持つものとする。この場合、\(X\)が区間であることと、\(X\)が連結集合であることは必要十分である。

非区間と非連結集合の関係を規定する先の2つの命題より以下を得ます。

命題(非区間と非連結集合の関係)
実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)が2つ以上の要素を持つものとする。この場合、\(X\)が区間ではないことと、\(X\)が非連結集合であることは必要十分である。

端点が等しい有界開区間\(\left( a,a\right) \)は空集合\(\phi \)であるため、空集合を区間とみなすことができます。また、端点が等しい有界閉区間\(\left[ a,a\right] \)は1点集合\(\left\{ a\right\} \)であるため、1点集合も区間とみなすことができます。空集合と1点集合は連結であるため、空集合と1点集合を区間とみなすのであれば、先の命題における「2つ以上の要素」という縛りを外すことができます。

命題(区間と連結集合の関係)
実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)が区間であることと、\(X\)が連結集合であることは必要十分である。

非区間と非連結集合の関係を規定する命題についても同様です。

命題(非区間と非連結集合の関係)
実数空間の部分集合\(X\subset \mathbb{R} \)が区間ではないことと、\(X\)が非連結集合であることは必要十分である。
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