実数空間の部分集合 A が与えられたとき、A の点の中でも A の集積点でないものを A の孤立点と呼びます。
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孤立点

復習になりますが、実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R}\)が\(A\)の集積点であることは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、点\(a\)の任意の近傍が\(a\)とは異なる\(A\)の点を要素として持つということです。定義より、\(A\)の集積点は必ずしも\(A\)の要素であるとは限りません。一方、点\(a\)が\(A\)の要素であるとともに、\(A\)の集積点でない場合には、すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) =\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には、この点\(a\)を\(A\)の孤立点(isolated point)と呼びます。繰り返しになりますが、集積点とは異なり、\(A\)の孤立点は必ず\(A\)の点でなければなりません。\(A\)の点の中でも\(A\)の集積点でないものを\(A\)の孤立点と呼ぶということです。したがって、\(A\)の孤立点からなる集合は、\begin{equation*}
A\backslash A^{d}
\end{equation*}となります。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合です。

例(孤立点)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合として、\begin{equation*}
A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}について考えます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の孤立点からなる集合は、\begin{equation*}
A\backslash A^{d}=A
\end{equation*}となります。つまり、\(A\)のすべての点が\(A\)の孤立点です。ちなみに、この集合\(A\)のように、孤立点だけからなる集合を離散集合(discrete set)と呼びます。
例(孤立点)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合として、\begin{equation*}
A=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \cup \{0\}
\end{equation*}について考えます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
A^{d}=\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であるため、\(A\)の孤立点からなる集合は、\begin{equation*}
A\backslash A^{d}=\left\{ \pm \frac{1}{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}となります。つまり、\(0\)以外の\(A\)のすべての点が\(A\)の孤立点です。
例(有界開区間の孤立点)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な開区間\(\left( a,b\right) \)について考えます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left( a,b\right) ^{d}=\left[ a,b\right] \end{equation*}であるため、この集合の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}
\left( a,b\right) \backslash \left( a,b\right) ^{d} &=&\left( a,b\right)
\backslash \left[ a,b\right] \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left( a,b\right) \)は孤立点を持ちません。
例(有界閉区間の孤立点)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上でこれらを端点とする有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)について考えます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{d}=\left[ a,b\right] \end{equation*}であるため、この集合の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}
\left[ a,b\right] \backslash \left[ a,b\right] ^{d} &=&\left[ a,b\right] \backslash \left[ a,b\right] \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left[ a,b\right] \)は孤立点を持ちません。
例(有理数空間の孤立点)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q}\)について、その導集合は、\begin{equation*}\mathbb{Q}^{d}=\mathbb{R}\end{equation*}です。したがって、この集合の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}\mathbb{Q}\backslash \mathbb{Q}^{d} &=&\mathbb{Q}\backslash
\mathbb{R}\\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{Q}\)は孤立点を持ちません。
例(無理数空間の孤立点)
すべての無理数からなる集合\(\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\)について、その導集合は、\begin{equation*}
\left(
\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\right) ^{d}=\mathbb{R}\end{equation*}です。したがって、この集合の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}
\left(
\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\right) \backslash \left(
\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\right) ^{d} &=&\left(
\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\right) \backslash
\mathbb{R}\\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\)は孤立点を持ちません。
例(実数空間の孤立点)
実数空間\(\mathbb{R}\)の導集合は、\begin{equation*}
\mathbb{R}^{d}=\mathbb{R}\end{equation*}です。したがって、この集合の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}
\mathbb{R}/\mathbb{R}^{d} &=&\mathbb{R}/\mathbb{R}\\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R}\)は孤立点を持ちません。
例(1点集合の孤立点)
実数\(a\in \mathbb{R}\)を任意に選んだ上でこれだけを要素として持つ集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。この集合の導集合は、\begin{equation*}
\left\{ a\right\} ^{d}=\phi
\end{equation*}であるため、この集合の孤立点からなる集合は、\begin{eqnarray*}
\left\{ a\right\} \backslash \left\{ a\right\} ^{d} &=&\left\{ a\right\}
\backslash \phi \\
&=&\left\{ a\right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\left\{ a\right\} \)の孤立点は\(a\)です。つまり、この集合\(\left\{ a\right\} \)もまた離散集合です。

 

孤立点であるための必要十分条件

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R}\)が\(A\)の孤立点であることとは、\(a\in A\)であるとともに、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
A\backslash \left\{ a\right\} \right) =\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(a\)以外の\(A\)の点を要素として持たない\(a\)の近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)が存在するということです。さらに、\(a\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)かつ\(a\in A\)であることを踏まえると、上の条件は、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)と\(A\)が共有する点が\(a\)だけであること、すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\left\{
a\right\}
\end{equation*}が成り立つこととして言い換え可能です。つまり、点\(a\)が\(A\)の孤立点であることとは、十分小さな半径\(\varepsilon >0\)のもとで、近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)\)の中に\(a\)以外の\(A\)の点が存在しないことを意味します。孤立点という名の由来はここにあります。

命題(孤立点の言い換え)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R}\)が与えられたとき、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A=\left\{
a\right\}
\end{equation*}が成り立つことは、点\(a\)が\(A\)の孤立点であるための必要十分条件である。
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触点・集積点・孤立点の関係

復習になりますが、実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\begin{equation*}
A^{a}=A\cup A^{d}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合です。また、\(A\)の孤立点からなる集合は\(A\backslash A^{d}\)です。このとき、\begin{eqnarray*}
A^{a} &=&A\cup A^{d} \\
&=&\left( \left( A\backslash A^{d}\right) \cup A^{d}\right) \cup A^{d} \\
&=&\left( A\backslash A^{d}\right) \cup A^{d}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A^{a}=\left( A\backslash A^{d}\right) \cup A^{d}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(A\)の閉包は\(A\)の孤立点からなる集合と\(A\)の導集合に分割されるということです。言い換えると、\(A\)の孤立点と集積点をすべて集めれば\(A\)のすべての触点が得られると言うことです。

命題(触点・集積点・孤立点の関係)
実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}
A^{a}=\left( A\backslash A^{d}\right) \cup A^{d}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{a}\)は\(A\)の閉包、\(A\backslash A^{d}\)は\(A\)の孤立点からなる集合、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合である。
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次回からはコンパクト集合について解説します。

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