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TOPOLOGY OF THE REAL LINE

開基と第2可算公理

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開基

実数空間の点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)がそれぞれ与えられたとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。加えて、点\(a\)の近傍をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}N\left( a\right) =\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ 0<\varepsilon
<+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(a\)の近傍系と呼びます。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であることとは、\(A\)の点\(a\)を任意に選んだときに、\(A\)の部分集合であるような\(a\)の近傍が存在すること、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。同じことを点の近傍系を用いて表現すると、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists N\in N\left( a\right) :N\subset A
\end{equation*}となります。また、\(\mathbb{R} \)上の開集合をすべて集めてできる集合族を\(\mathbb{R} \)の開集合系と呼び、これを\(\mathcal{O}\)で表記します。

以上を踏まえた上で、\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)の部分集合族\(\mathfrak{B}\)が与えられたとき、\(\mathbb{R} \)上のそれぞれの開集合\(A\in \mathcal{O}\)を\(\mathfrak{B}\)の要素の和集合として表すことができるのであれば、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{O}\ ,\exists \mathfrak{B}^{\prime }\subset \mathfrak{B}:A=\bigcup \mathfrak{B}^{\prime }
\end{equation*}を満たす\(\mathfrak{B}\subset \mathcal{O}\)が存在する場合には、\(\mathfrak{B}\)を\(\mathcal{O}\)の開基(open base)と呼びます。上の定義中の\(\mathfrak{B}^{\prime }\)は\(\mathfrak{B}\)の「部分集合族」を表す記号であることに注意してください。集合\(A\)を集合族\(\mathfrak{B}\)の要素の和集合として表すことができることとは、\(A\)を\(\mathfrak{B}\)の部分集合族の和集合として表すことができることと同義であるため、上のような表現になっています。

開集合系\(\mathcal{O}\)の開基\(\mathfrak{B}\)が存在する場合、どのようなメリットがあるのでしょうか。開集合系\(\mathcal{O}\)の開基\(\mathfrak{B}\)が存在する場合、任意の開集合\(A\in \mathcal{O}\)は開基\(\mathfrak{B}\)に属する開集合の和集合として表すことができます。つまり、開基\(\mathfrak{B}\)さえ与えられていれば、それをもとに任意の開集合を表現できるため、開集合について議論する際に開集合系\(\mathcal{O}\)のすべての要素を議論の対象とする必要はなく、開基\(\mathfrak{B}\)の要素だけを議論の対象とすれば十分です。開基が存在する場合、議論の対象とすべき開集合の数を減らすことができるため、議論を簡素化できるということです。

例(開集合系は開基)
\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)は明らかに\(\mathcal{O}\)の開基です。なぜなら、開集合\(A\in \mathcal{O}\)を任意に選んだときに\(\mathcal{O}\)の部分集合族\(\left\{ A\right\} \subset \mathcal{O}\)をとることができ、これが、\begin{equation*}A=\bigcup \left\{ A\right\}
\end{equation*}を満たすからです。

例(近傍系は開基)
\(\mathbb{R} \)のすべての点のすべての近傍からなる集合を\(\mathbb{R} \)の近傍系と呼び、これを、\begin{equation*}N=\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \wedge 0<\varepsilon <+\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。\(N\)は\(\mathcal{O}\)の開基であることを示します。まず、点\(a\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、近傍系\(N\)は開集合系\(\mathcal{O}\)の部分集合族になります。つまり、\begin{equation*}N\subset \mathcal{O}
\end{equation*}が成り立つということです。したがって、\begin{equation*}
\forall A\in \mathcal{O}\ ,\exists N^{\prime }\subset N:A=\bigcup N^{\prime }
\end{equation*}が成り立つことを示せば\(N\)が\(\mathcal{O}\)の開基であることを示したことになります。実際、開集合\(A\in \mathcal{O}\)を任意に選んだとき、開集合および近傍の定義より、\begin{equation}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon _{a}>0:a\in N_{\varepsilon _{a}}\left(
a\right) \subset A \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。そこで、以下の和集合\begin{equation*}
\bigcup\limits_{a\in A}N_{\varepsilon _{a}}\left( a\right)
\end{equation*}をとればこれは\(N\)の部分集合族であるとともに、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}A=\bigcup\limits_{a\in A}\left\{ a\right\} \subset \bigcup\limits_{a\in
A}N_{\varepsilon _{a}}\left( a\right) \subset A
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A=\bigcup\limits_{a\in A}N_{\varepsilon _{a}}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。任意の開集合\(A\in \mathcal{O}\)について同様の議論が成立するため\(N\)が\(\mathcal{O}\)の開基であることが示されました。

 

第2可算公理

実数空間\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)の開基の中に可算集合であるようなものが存在する場合、\(\mathbb{R} \)は第2可算公理(secondaxiom of countability)を満たすと言います。繰り返しになりますが、\(\mathcal{O}\)の開基\(\mathfrak{B}\)が存在する場合には、任意の開集合\(A\in \mathcal{O}\)が開基\(\mathfrak{B}\)の要素の和集合として表現できるため、開集合について議論する際に\(\mathcal{O}\)に属するすべての開集合を議論の対象とする必要はなく、開基\(\mathfrak{B}\)に属する開集合だけを議論の対象とすれば十分です。しかも、第2可算公理が成り立つ場合には可算集合であるような開基\(\mathfrak{B}\)が存在することが保証されるため、可算個の開集合だけを議論の対象とすれば十分です。

先に例を通じて確認したように、\(\mathbb{R} \)の近傍系\begin{equation*}N=\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \wedge 0<\varepsilon <+\infty \right\}
\end{equation*}は\(\mathcal{O}\)の開基ですが、これは可算集合ではないため、この例から\(\mathbb{R} \)が第2可算公理を満たすことを結論付けることはできません。そこで、\(\mathbb{R} \)の近傍系\(N\)の部分集合族の中でも、\begin{equation*}N_{\mathbb{Q} }=\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ a\in \mathbb{Q} \wedge r\in \mathbb{Q} \wedge 0<\varepsilon <+\infty \right\}
\end{equation*}に注目します。つまり、中心や半径が有理数であるようなすべての近傍を集めてできる集合が\(N_{\mathbb{Q} }\)です。有理数空間\(\mathbb{Q} \)は可算集合であることから\(N_{\mathbb{Q} }\)もまた可算集合です。したがって\(N_{\mathbb{Q} }\)が\(\mathcal{O}\)の開基であることを示せば\(\mathbb{R} \)が第2可算公理を満たすことを示したことになります。

命題(第2可算公理)
実数空間\(\mathbb{R} \)は第2可算公理を満たす。
証明

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