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TOPOLOGY OF THE REAL LINE

開基と第2可算公理

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開基

復習になりますが、実数空間\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R}\)上の開集合であることとは、\(A\)の点\(a\)を任意に選んだときに、\(a\)を中心とする近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在すること、すなわち、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。点\(a\)の近傍系\(U\left( a\right) \)を用いると、これを\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists U\in U\left( a\right) :U\subset A
\end{equation*}と表現することもできます。また、\(\mathbb{R}\)上の開集合をすべて集めてできる集合系を\(\mathbb{R}\)の開集合系と呼び、これを\(\mathcal{O}\)で表記します。

例(点の近傍は開集合)
点\(a\in \mathbb{R}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R}\)上の開集合です。実際、\(b\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)を満たす点\(b\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}
\delta =\varepsilon -\left\vert b-a\right\vert >0
\end{equation*}とおけば\(U_{\delta }\left( b\right) \subset U_{\varepsilon }\left( a\right) \)が成り立つからです(確認してください)。

実数空間\(\mathbb{R}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)の部分集合族\(\mathfrak{B}\)が与えられたとき、\(\mathbb{R}\)上のそれぞれの開集合が\(\mathfrak{B}\)の部分集合族の和集合として表されるのであれば、すなわち、\begin{equation*}
\forall A\in \mathcal{O}\ ,\exists B\subset \mathfrak{B}:A=\bigcup B
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、\(\mathfrak{B}\)を\(\mathcal{O}\)の開基(open base)と呼びます。

開集合系\(\mathcal{O}\)の開基が存在する場合、どのようなメリットがあるのでしょうか。開集合系\(\mathcal{O}\)の開基が存在する場合、任意の開集合は開基に属する開集合の和集合として表すことができます。ちなみに、任意個の開集合の和集合は開集合です。したがって、開基があればそこから任意の開集合を作ることができるため、開集合について議論する場合に開集合系\(\mathcal{O}\)の要素であるすべての開集合を議論の対象とする必要はなく、開基の要素である開集合だけを議論の対象とすれば十分です。つまり、開基が存在する場合、議論の対象とすべき開集合の数を減らすことができるため、それにより議論を簡素化できることになります。

例(開基)
実数空間\(\mathbb{R}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)は明らかに\(\mathcal{O}\)の開基です。なぜなら、開集合\(A\in \mathcal{O}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\mathcal{O}\)の部分集合系\(\left\{ A\right\} \)を構成すれば、\begin{equation*}
A=\bigcup \left\{ A\right\}
\end{equation*}という関係が成り立つからです。
例(開基)
実数空間の点\(\mathbb{R}\)のすべての点のすべての近傍からなる集合を\(\mathbb{R}\)の近傍系と呼び、\begin{equation*}
U=\left\{ U_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ a\in
\mathbb{R}\wedge 0<\varepsilon <+\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。この\(U\)は\(\mathcal{O}\)の開基の開基であることを示します。まず、\(\mathbb{R}\)の任意の点の任意の近傍は\(\mathbb{R}\)上の開集合であるため、\(U\)は\(\mathbb{R}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)の部分集合族です。開集合\(A\in \mathcal{O}\)を任意に選んだとき、開集合および近傍の定義より、\begin{equation}
\forall a\in A,\ \exists \varepsilon _{a}>0:a\in U_{\varepsilon _{a}}\left(
a\right) \subset A \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。そこで、\begin{equation*}
\bigcup\limits_{a\in A}U_{\varepsilon _{a}}\left( a\right)
\end{equation*}とおけばこれは\(U\)の部分集合族であるとともに、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}
A=\bigcup\limits_{a\in A}\left\{ a\right\} \subset \bigcup\limits_{a\in
A}U_{\varepsilon _{a}}\left( a\right) \subset A
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A=\bigcup\limits_{a\in A}U_{\varepsilon _{a}}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。任意の開集合\(A\in \mathcal{O}\)について同様の議論が成立するため\(U\)が\(\mathcal{O}\)の開基であることが示されました。

 

第2可算公理

実数空間\(\mathbb{R}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)の開基で、可算個の要素からなるものが存在する場合、\(\mathbb{R}\)は第2可算公理(second axiom of countability)を満たすと言います。

先に例を通じて確認したように、\(\mathbb{R}\)の近傍系\begin{equation*}
U=\left\{ U_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ a\in
\mathbb{R}\wedge 0<\varepsilon <+\infty \right\}
\end{equation*}は\(\mathcal{O}\)の開基ですが、これは可算集合ではないため、この例から\(\mathbb{R}\)が第2可算公理を満たすことを結論付けることはできません。そこで、\(\mathbb{R}\)の近傍系\(U\)の部分集合族の中でも、\begin{equation*}
U_{\mathbb{Q}}=\left\{ U_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ a\in
\mathbb{Q}\wedge r\in
\mathbb{Q}\wedge 0<\varepsilon <+\infty \right\}
\end{equation*}に注目します。つまり、中心や半径が有理数であるようなすべての近傍を集めてできる集合が\(U_{\mathbb{Q}}\)です。有理数空間\(\mathbb{Q}\)は可算集合であることから\(U_{\mathbb{Q}}\)もまた可算集合です。したがって\(U_{\mathbb{Q}}\)が\(\mathcal{O}\)の開基であることを示せば\(\mathbb{R}\)が第2可算公理を満たすということになります(証明は長くなるため命題の証明ページへ掲載します)。

繰り返しになりますが、開集合系\(\mathcal{O}\)の開基が存在する場合には、開集合について議論する際に開集合系\(\mathcal{O}\)に属するすべての開集合を議論の対象とする必要はなく、開基に属する開集合だけを議論の対象とすれば十分です。しかも、第2可算公理が成り立つ場合には開基が可算集合であることが保証されるため、可算個の開集合だけを議論の対象とすれば十分です。

命題(第2可算公理)
実数空間\(\mathbb{R}\)は第2可算公理を満たす。
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次回は稠密や可分などについて解説します。

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