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数列を用いた触点の判定

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数列を用いた触点の定義

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の触点であることを判定する方法としては、触点の定義に照らし合わせて確認する方法や、\(a\)が\(A\)の外点でないことを示す方法、もしくは\(a\)が\(A\)の内点または外点であることを示す方法などがあります。ただ、触点は数列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が触点であることを容易に判定できることがあります。順を追って説明します。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選びます。一般に、\(A\)の点を項とするとともに点\(a\)に収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は存在するとは限りません。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は存在するとは限らないということです。しかし、\(a\)が\(A \)の触点である場合には、上の性質を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が必ず存在します。

命題(触点と収束数列)

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の触点であるならば、\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列が存在する。

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)の点を項とするとともに点\(a\)に収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在する場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在する場合、その極限\(a\)は\(A\)の触点であることが保証されます。

命題(触点と収束数列)

実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列が存在するならば、\(a\)は\(A\)の触点である。

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以上の2つの命題より、触点という概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(数列を用いた触点の定義)
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(A\)の点を項とするとともに極限\(a\)へ収束する数列が存在することは、\(a\)が\(A\)の触点であるための必要十分条件である。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の点を項とし点\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在する場合、極限に相当する点\(a\)のいくらでも近い場所に\(\left\{ x_{n}\right\} \)の点が無数に存在します。したがって、\(a\)が\(A\)の触点であることは、\(A\)の点をたどりながら点\(a\)に限りなく近づくことが必ず可能であることを意味します。

 

数列を用いて触点であることを判定する

上の命題より、触点に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の触点であることを示すためには、\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列が存在することを示せばよいことになります。

例(数列を用いて触点であることを判定する)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)上の任意の点が\(\left( a,b\right) \)の触点であることを示します。そこで、点\(c\in \left[ a,b\right] \)を任意に選んだ上で、一般項が、\begin{equation*}x_{n}=c+\frac{b-c}{n+1}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)について考えます。この数列の任意の項は\(\left( a,b\right) \)の点であるとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left( c+\frac{b-c}{n+1}\right) =c
\end{equation*}となるため、先の命題より\(c\)は\(\left( a,b\right) \)の触点です。\(\left[ a,b\right] \)の任意の点\(c\)について同様の議論が成立するため、\(\left[ a,b\right] \)の任意の点が\(\left( a,b\right) \)の触点であることが明らかになりました。

 

数列を用いて触点ではないことを判定する

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列が存在しないことを示せば、\(a\)は\(A\)の触点ではないことを示したことになります。

例(数列を用いて触点であることを判定する)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}について考えます。有界な閉区間\(\left[ a,b\right] \)に属さない点、すなわち補集合\(\left[ a,b\right] ^{c}\)の任意の点が\(\left[ a,b\right] \)の触点でないことを示します。そこで、\(c\in \left[ a,b\right] ^{c}\)が\(\left( a,b\right) \)の触点であるものと仮定します。このとき、任意の項が\(\left( a,b\right) \)の要素であるとともに\(c\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在します。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :a<x_{n}<b \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=c
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在するということです。\(\left( a\right) \)より、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :a\leq x_{n}\leq b
\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限についても、\begin{equation*}a\leq \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq b
\end{equation*}が成り立ちますが、これと\(\left( b\right) \)より、\begin{equation*}a\leq c\leq b
\end{equation*}が成り立ちます。これは\(c\in \left[ a,b\right] ^{c}\)と矛盾であるため、背理法より\(c\)は\(\left( a,b\right) \)の触点でないことが明らかになりました。

 

演習問題

問題(数列を用いた触点の定義)
\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left[ a,b\right] ^{a}=\left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立つことを点列を用いて証明してください。
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次回は閉包を用いて集合が閉集合であることを判定する方法を解説します。

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実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の任意の近傍が A と交わるならば、a を A の触点と呼びます。また、A のすべての触点からなる集合を A の閉包と呼びます。

DISCUSSION

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