確認テスト III（数直線の位相）

集合\(A\subset \mathbb{R} \)が有限集合である場合には、\(A\)の集積点は存在しないこと、すなわち、\begin{equation*}A^{d}=\phi
\end{equation*}であることを証明してください。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合（\(A\)の集積点からなる集合）です。

集合\(A\subset \mathbb{R} \)の導集合を\(A^{d}\)で表記します。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. \(A\cap A^{d}=\phi \)を満たす集合\(A\)の具体例を提示してください。
2. \(A\subset A^{d}\)かつ\(A\not=A^{d}\)を満たす\(A\)の具体例を提示してください。
3. \(A^{d}\subset A\)かつ\(A\not=A^{d}\)を満たす\(A\)の具体例を提示してください。

以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 集合\(A\subset \mathbb{R} \)が非空かつ上に有界であるものとします。この場合、\(A\)の上限\(\sup A\)が有限な実数として定まります。その上で、\begin{equation*}\sup A\not\in A\Rightarrow \sup A\in A^{d}\end{equation*}が成り立つことを証明してください。ただし、\(A^{d}\)は\(A\)の導集合です（15点）。
2. 集合\(A\subset \mathbb{R} \)が非空なコンパクト集合であるものとします。この場合、\begin{equation*}\sup A\in A\end{equation*}が成り立つことを証明してください（10点）。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の値域を、\begin{equation*}A=\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}で表記します。\(\left\{x_{n}\right\} \)が収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} :\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=L
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)が有限集合であるか、または\(L\)が\(A\)の集積点であることを証明してください。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の値域を、\begin{equation*}A=\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}で表記します。以下の問いに答えてください。

1. \(\left\{ x_{n}\right\} \)の項がすべて互いに異なるとともに\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界であり、さらに\(A\)が唯一の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を持つ場合には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a\end{equation*}が成り立つことを証明してください（20点）。
2. \(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であるという条件を要求しない場合、先の主張は成り立つとは限らないことを示してください（10点）。