反射律、対称律、推移律を満たす二項関係を同値関係と呼びます。また、同値関係のもとで 2 つの要素が関係を持つとき、それらの要素は同値であると言います。同値関係を正確に定義した上で、同値関係の具体例を提示します。
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同値関係

集合\(X\)上の二項関係\(R\)が以下の 3 つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in X:xRx \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in X:\left( xRy\ \Rightarrow \ yRx\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ \left( xRy\ \wedge \
yRz\right) \ \Rightarrow \ xRz\right] \end{eqnarray*}を満たす場合には、この\(R\)を\(X\)上の同値関係(equivalence relation)と呼びます。また、集合\(X\)上の同値関係\(R\)が与えられたとき、順序対\(\left( x,y\right) \in X\times X\)について\(xRy\)が成り立つ場合には、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)は同値(equivalent)であると言います。

二項関係について復習する

条件\(\left( a\right) \)は反射律(reflexive law)と呼ばれる性質であり、集合\(X\)の任意の要素\(x\)が\(R\)のもとで自身と同値であることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は対称律(symmetric law)と呼ばれる性質であり、集合\(X\)の任意の要素\(x,y\)について、\(R\)のもとで\(x\)が\(y\)と同値である場合には、逆に\(y\)は\(x\)と同値であることを保証します。条件\(\left( c\right) \)は推移律(transitive law)と呼ばれる性質であり、集合\(X\)の任意の要素\(x,y,z\)について、\(R\)のもとで\(x\)と\(y\)が同値であり、なおかつ\(y\)と\(z\)が同値である場合には、\(x\)と\(z\)もまた同値であることを保証します。同値関係を規定する以上の 3 つの性質を総称して同値律(equivalence law)と呼びます。同値関係は同値律を満たす二項関係です。

同値関係は\(\sim \)という記号を用いて表記する場合があります。つまり、集合\(X\)上の同値関係\(R\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}
x\sim y\ \Leftrightarrow \ xRy
\end{equation*}を満たすものとして\(\sim \)を定義するということです。この記号を利用して同値律を表現すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in X:x\sim x \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in X:\left( x\sim y\ \Rightarrow \ y\sim x\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall x,y,z\in X:\left[ \left( x\sim y\ \wedge \ y\sim z\right) \ \Rightarrow \ x\sim z\right] \end{eqnarray*}となります。

 

同値関係の例

例(学年分け)
ある小学校のすべての生徒からなる集合\(X\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}
xRy\ \overset{def}{\Leftrightarrow }\ x\text{は}y\text{と同じ学年}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。それぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して\(x\)と\(y\)は同じ学年であるか否かのどちらか一方ですので、上のように定義された\(R\)は\(X\)上の二項関係です。任意の学生\(x\)に対して、\(x\)は\(x\)自身と同学年であるため、\(xRx\)が成り立ちます。つまり\(R\)は反射律を満たします。また、\(xRy\)を満たす学生\(x,y\)を任意に選ぶと、\(R\)の定義より\(x\)は\(y\)と同じ学年です。このとき、\(y\)は\(x\)と同じ学年ですので、\(R\)の定義より\(yRx\)が成り立ちます。つまり\(R\)は対称律を満たします。最後に、\(xRy\)かつ\(yRz\)を満たす学生\(x,y,z\)を任意に選びます。\(R\)の定義より\(x\)は\(y\)と同じ学年であり、\(y\)は\(z\)と同じ学年です。このとき明らかに\(x\)は\(z\)と同じ学年ですので、\(R\)の定義より\(xRz\)が成り立ちます。つまり\(R\)は推移律を満たします。以上で\(R\)が\(X\)上の同値関係であることが示されました。
例(実数の相等関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R}\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
xRy\ \overset{def}{\Leftrightarrow }\ x=y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、右側の\(=\)は実数が等しいことを表す通常の相等関係です。それぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して\(x=y\)は成り立つか否かのどちらか一方ですので、上のように定義された\(R\)は\(\mathbb{R}\)上の二項関係です。任意の\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(x=x\)が成り立ちますが、\(R\)の定義よりこれは\(xRx\)と言い換え可能です。したがって\(R\)は反射律を満たします。続いて、\(xRy\)を満たす\(x,y\in \mathbb{R}\)を任意に選ぶと、このとき、\begin{align*}
xRy& \Leftrightarrow x=y\quad \because R\text{の定義} \\
& \Leftrightarrow y=x\quad \because =\text{の性質} \\
& \Leftrightarrow yRx\quad \because R\text{の定義}
\end{align*}となるため\(yRx\)が成り立ちます。したがって\(R\)は対称律を満たします。最後に、\(xRy\)と\(yRz\)をともに満たす\(x,y,z\in \mathbb{R}\)を任意に選ぶと、このとき、\begin{align*}
\left( xRy\ \wedge \ yRz\right) & \Leftrightarrow \left( x=y\ \wedge \ y=z\right) \quad \because R\text{の定義} \\
& \Rightarrow x=z\quad \because =\text{の性質} \\
& \Leftrightarrow xRz\quad \because R\text{の定義}
\end{align*}となるため\(xRz\)が成り立ちます。したがって\(R\)は推移律を満たします。実数どうしが等しいことを表す\(=\)は\(\mathbb{R}\)上の同値関係であることが示されました。
例(実数の大小関係)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R}\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
xRy\ \overset{def}{\Leftrightarrow }\ x\leq y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、右側の\(\leq \)は実数を比較する通常の大小関係です。それぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して\(x\leq y\)は成り立つか否かのどちらか一方ですので、上のように定義された\(R\)は\(\mathbb{R}\)上の二項関係です。ただし、この\(R\)は反射律を満たしません。実際、例えば、実数の順序対\(\left( 1,2\right) \)について、\(1\leq 2\)は成り立つ一方で\(2\leq 1\)は成り立たないからです。したがって、実数どうしを比較する大小関係\(\leq \)は\(\mathbb{R}\)上の同値関係ではありません。
例(三角形の相似関係)
平面上のすべての三角形からなる集合\(X\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
xRy\ \overset{def}{\Leftrightarrow }\ x\sim y
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、右側の\(\sim \)は同値関係を表す記号ではなく、三角形が相似であることを表す記号です。それぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して\(x\)と\(y\)は合同であるか否かのどちらか一方ですので、上のように定義された\(R\)は\(X\)上の二項関係です。任意の三角形\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
xRx\Leftrightarrow x\sim x\quad \because R\text{の定義}
\end{equation*}となりますが、任意の三角形は自身と相似であることから\(x\sim x\)は真であるため、\(xRx\)が成り立ちます。したがって\(R\)は反射律を満たします。また、任意の三角形\(x,y\in X\)に対して、\begin{align*}
xRy& \Leftrightarrow x\sim y\quad \because R\text{の定義} \\
& \Leftrightarrow y\sim x\quad \because \sim \text{の性質} \\
& \Leftrightarrow yRx\quad \because R\text{の定義}
\end{align*}となるため\(R\)は対称律を満たします。さらに、任意の\(x,y,z\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{align*}
\left( xRy\ \wedge \ yRz\right) & \Leftrightarrow \left( x\sim y\ \wedge \ y\sim z\right) \quad \because R\text{の定義} \\
& \Rightarrow x\sim z\quad \because \sim \text{の性質} \\
& \Leftrightarrow xRz\quad \because R\text{の定義}
\end{align*}となるため\(R\)は推移律を満たします。したがって、三角形どうしが相似であることを表す\(\sim \)は\(X\)上の同値関係です。
例(整数の合同関係)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z}\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\)に対して、\begin{equation*}
xRy\ \overset{def}{\Leftrightarrow }\ x\equiv y\ (\mathrm{mod}\ 2)
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、右側の\(x\equiv y\ (\mathrm{mod}\ 2)\)は、\(x\)が\(2\)を(mod)として\(y\)と合同であること、すなわち、\(x-y\)が\(2\)の整数倍であることを表す記号です。それぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して\(x-y\)は\(2\)の整数倍であるか否かのどちらか一方ですので、上のように定義された\(R\)は\(\mathbb{Z}\)上の二項関係です。さらに、任意の\(x\in \mathbb{Z}\)に対して、\begin{align*}
xRx& \Leftrightarrow x\equiv x\ (\mathrm{mod}\ 2)\quad \because R\text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{Z}:x-x=2k\quad \because \equiv \text{の定義}
\end{align*}となりますが、\(k=0\)について上の命題は真となるため\(xRx\)が成り立ちます。したがって\(R\)は反射律を満たします。また、任意の\(x,y\in \mathbb{Z}\)に対して、\begin{align*}
xRy& \Leftrightarrow x\equiv y\ (\mathrm{mod}\ 2)\quad \because R\text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{Z}:x-y=2k\quad \because \equiv \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \exists -k\in \mathbb{Z}:y-x=2\left( -k\right) \\
& \Leftrightarrow y\equiv x\ (\mathrm{mod}\ 2)\quad \because \equiv \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow yRx\quad \because R\text{の定義}
\end{align*}となるため\(R\)は対称律を満たします。さらに、任意の\(x,y,z\in \mathbb{Z}\)に対して、\begin{align*}
\left( xRy\ \wedge \ yRz\right) & \Leftrightarrow \left[ x\equiv y\ (\mathrm{mod}\ 2)\ \wedge \ y\equiv z\ (\mathrm{mod}\ 2)\right] \quad \because R\text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \left[ \left( \exists k\in \mathbb{Z}:x-y=2k\right) \ \wedge \ \left( \exists l\in \mathbb{Z}:y-z=2l\right) \right] \quad \because \equiv \text{の定義} \\
& \Rightarrow \exists k+h\in \mathbb{Z}:x-z=2\left( k+l\right) \\
& \Leftrightarrow x\equiv z\ (\mathrm{mod}\ 2)\quad \because \equiv \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow xRz\quad \because R\text{の定義}
\end{align*}となるため\(R\)は推移律を満たします。したがって、整数どうしが\(2\)を法として合同であることを表す\(\equiv \)は\(\mathbb{Z}\)上の同値関係です。
例(濃度)
すべての集合を要素とする集合族\(\mathfrak{A}\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( X,Y\right) \in \mathfrak{A}\times \mathfrak{A}\)に対して、\begin{equation*}
XRY\ \overset{def}{\Leftrightarrow }\ X\text{から}Y\text{への全単射が存在する}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。証明は演習問題として出題しますが、このように定義された\(R\)は\(\mathfrak{A}\)上の同値関係です。この同値関係は集合の濃度と呼ばれる概念を考える上で重要な役割を果たします。濃度については場を改めて解説します。
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例(分数の相等関係)
すべての分数からなる集合\(X\)を、\begin{equation*}
X=\left\{ \frac{p}{q}\ |\ p,q\in \mathbb{Z} ,\ q\not=0\right\}
\end{equation*}と定義します。ただし、\(\mathbb{Z}\)はすべての整数からなる集合です。このとき、それぞれの順序対\(\left( \frac{a}{b},\frac{c}{d}\right) \in X \times X \)に対して、\begin{equation*}
\frac{a}{b}\ R\ \frac{c}{d}\ \overset{def}{\Leftrightarrow }\ ad=bc
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。ただし、右側の\(=\)は実数が等しいことを表す通常の相等関係です。証明は演習問題として出題しますが、このように定義された\(R\)は\(X\)上の同値関係です。この同値関係は分数どうしが等しいことを表す二項関係です。
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例(有向線分の相等関係)
平面上の点\(A\)を始点とし、点\(B\)を終点とする有向線分を\(\overrightarrow{AB}\)で表します。平面上のすべての有向線分からなる集合を\(X\)が与えられたとき、それぞれの順序対\(\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}
\overrightarrow{AB}\ R\ \overrightarrow{CD}\ \overset{def}{\Leftrightarrow }\ \overrightarrow{AB}\text{を平行移動すると}\overrightarrow{CD}\text{に重なる}
\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。証明は演習問題として出題しますが、このように定義された\(R\)は\(X\)上の同値関係です。
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次回は同値律に関して掘り下げた議論を行います。
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