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順序集合

順序部分集合の極大元・極小元

目次

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順序部分集合の極大元

集合\(A\)上に定義された二項関係\(\leq \)が半順序であることは、反射律と反対称律と推移律を満たすこと、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( O_{1}\right) \ \forall x\in A:x\leq x \\
&&\left( O_{2}\right) \ \forall x,y\in A:\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq
x\right) \Rightarrow x=y\right] \\
&&\left( O_{3}\right) \ \forall x,y,z\in A:\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq
z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \end{eqnarray*}が成り立つことを意味します。集合\(A\)上の二項関係\(\leq \)が以上の3つの性質に加えて完備律\begin{equation*}\left( O_{4}\right) \ \forall x,y\in A:\left( x\leq y\vee y\leq x\right)
\end{equation*}を満たす場合には、\(\leq \)を全順序と呼びます。以降において「順序」と言う場合、それは半順序と全順序をともに指します。順序\(\leq \)が定義された集合\(A\)を順序集合と呼びます。集合\(A\)上の順序\(\leq \)が与えられたとき、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}x<y\Leftrightarrow \left( x\leq y\wedge x\not=y\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(A\)上の二項関係\(<\)を狭義順序と呼びます。

順序集合\(A\)の非空な部分集合\(X\)が与えられたとき、この集合\(X\)に属するある要素\(a\)より大きい要素が\(X\)の中に存在しない場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in X,\ \forall x\in X:\lnot \left( a<x\right)
\end{equation*}が成り立つならば、この要素\(a\)を集合\(X\)の極大元(maximal element)と呼びます。集合\(X\)の極大元は\(X\)の要素である必要があります。集合\(X\)に属さない要素は\(X\)の極大元にはなり得ません。

逆に、集合\(X\)に属する要素\(a\)がその集合\(X\)の極大元でないことは、\begin{equation*}\exists x\in X:a<x
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、集合\(X\)の要素である\(a\)に対して、それよりも大きい要素が\(X\)の中に存在する場合、\(a\)は\(X\)の極大元ではありません。

極大元を以下のように定義することもできます。

命題(極大元の特徴づけ)
半順序集合\(\left( A,\leq \right) \)の非空な部分集合\(X\)について、\begin{equation*}\exists a\in X,\ \forall x\in X:\left( a\leq x\Rightarrow x=a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(a\)が\(X\)の極大元であるための必要十分条件である。
証明

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つまり、集合\(X\)の要素\(a\)が\(X\)の極大元であることは、\(a\)以上の\(X\)の任意の要素が\(a\)と一致することと必要十分です。

例(実数の大小関係のもとでの極大元)
実数集合\(\mathbb{R} \)上に定義された大小関係\(\leq \)は全順序です。\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}\left[ 0,1\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}に注目します。\(1\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation}1\leq x \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(x\in \left[ 0,1\right] \)を任意に選んだとき、\(\left[ 0,1\right] \)の定義より、\begin{equation}x\leq 1 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)および\(\leq \)の反対称律より、\begin{equation*}x=1
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\(1\)が\(\left[ 0,1\right]\)の極大元であることが明らかになりました。
例(包含関係のもとでの極大元)
集合\(A=\left\{ a,b,c\right\} \)のベキ集合\begin{equation*}2^{A}=\left\{ \phi ,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\}
,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{
a,b,c\right\} \right\}
\end{equation*}上に定義された包含関係\(\subset \)は半順序です。\(2^{A}\)の部分集合\begin{equation*}X=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\}
\right\}
\end{equation*}に注目します。\(\left\{a,b,c\right\} \in X\)に対して、\begin{equation*}\left\{ a,b,c\right\} \subset Y
\end{equation*}を満たす集合\(Y\in X\)を任意に選んだとき、\(X\)の定義より、\begin{equation*}Y=\left\{ a,b,c\right\}
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\(\left\{ a,b,c\right\} \)が\(X\)の極大元であることが明らかになりました。
例(自然数の整除関係のもとでの極大元)
自然数集合\(\mathbb{N} \)上に定義された整除関係\(|\)は半順序です。ただし、任意の\(x,y\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}x|y\Leftrightarrow y\text{は}x\text{の倍数}
\end{equation*}を満たすものとして\(|\)は定義されます。\(\mathbb{N} \)の部分集合\begin{equation*}X=\left\{ 2,4,6,8,10,30,60,120,240\right\}
\end{equation*}に注目します。\(240\in X\)に対して、\begin{equation*}240|x
\end{equation*}を満たす\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(X\)の定義より、\begin{equation*}x=240
\end{equation*}が成り立つため(\(240\)の倍数であるような\(X\)の要素は\(240\)のみ)、先の命題より、\(240\)が\(X\)の極大元であることが明らかになりました。

 

順序部分集合の極小元

順序集合\(A\)の非空な部分集合\(X\)が与えられたとき、この集合\(X\)に属するある要素\(a\)より小さい要素が\(X\)の中に存在しない場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in X,\ \forall x\in X:\lnot \left( x<a\right)
\end{equation*}が成り立つならば、この要素\(a\)を集合\(X\)の極小元(minimal element)と呼びます。集合\(X\)の極小元は\(X\)の要素である必要があります。集合\(X\)に属さない要素は\(X\)の極小元にはなり得ません。

逆に、集合\(X\)に属する要素\(a\)がその集合\(X\)の極小元でないことは、\begin{equation*}\exists x\in X:x<a
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、集合\(X\)の要素である\(a\)に対して、それよりも小さい要素が\(X\)の中に存在する場合、\(a\)は\(X\)の極小元ではありません。

極小元を以下のように定義することもできます。

命題(極小元の特徴づけ)
半順序集合\(\left( A,\leq \right) \)の非空な部分集合\(X\)について、\begin{equation*}\exists a\in X,\ \forall x\in X:\left( x\leq a\Rightarrow x=a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(a\)が\(X\)の極小元であるための必要十分条件である。
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つまり、集合\(X\)の要素\(a\)が\(X\)の極小元であることは、\(a\)以下の\(X\)の任意の要素が\(a\)と一致することと必要十分です。

例(実数の大小関係のもとでの極小元)
実数集合\(\mathbb{R} \)上に定義された大小関係\(\leq \)は全順序です。\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}\left[ 0,1\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}に注目します。\(0\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation}x\leq 0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(x\in \left[ 0,1\right] \)を任意に選んだとき、\(\left[ 0,1\right] \)の定義より、\begin{equation}x\geq 0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)および\(\leq \)の反対称律より、\begin{equation*}x=0
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\(0\)が\(\left[ 0,1\right]\)の極小元であることが明らかになりました。
例(包含関係のもとでの極小元)
集合\(A=\left\{ a,b,c\right\} \)のベキ集合\begin{equation*}2^{A}=\left\{ \phi ,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\}
,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{
a,b,c\right\} \right\}
\end{equation*}上に定義された包含関係\(\subset \)は半順序です。\(2^{A}\)の部分集合\begin{equation*}X=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\}
\right\}
\end{equation*}に注目します。\(\left\{ a\right\}\in X\)に対して、\begin{equation*}Y\subset \left\{ a\right\}
\end{equation*}を満たす集合\(Y\in X\)を任意に選んだとき、\(X\)の定義より、\begin{equation*}Y=\left\{ a\right\}
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\(\left\{ a\right\} \)が\(X\)の極小元であることが明らかになりました。
例(自然数の整除関係のもとでの極小元)
自然数集合\(\mathbb{N} \)上に定義された整除関係\(|\)は半順序です。ただし、任意の\(x,y\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}x|y\Leftrightarrow y\text{は}x\text{の倍数}
\end{equation*}を満たすものとして\(|\)は定義されます。\(\mathbb{N} \)の部分集合\begin{equation*}X=\left\{ 2,4,6,8,10,30,60,120,240\right\}
\end{equation*}に注目します。\(2\in X\)に対して、\begin{equation*}x|2
\end{equation*}を満たす\(x\in X\)を任意に選んだとき、\(X\)の定義より、\begin{equation*}x=2
\end{equation*}が成り立つため(\(2\)の約数であるような\(X\)の要素は\(2\)のみ)、先の命題より、\(2\)が\(X\)の極小元であることが明らかになりました。

 

極大元や極小元は存在するとは限らない

順序部分集合の極大元や極小元は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(極大元や極小元は存在するとは限らない)
実数集合\(\mathbb{R} \)上に定義された大小関係\(\leq \)は全順序です。整数集合\(\mathbb{Z} \)は\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合です。\(\mathbb{Z} \)の極大元\(a\in \mathbb{Z} \)が存在するものと仮定します。これに対して、\begin{equation*}\exists a+1\in \mathbb{Z} :a<a+1
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(a\)より大きい要素が\(\mathbb{Z} \)の中に存在しますが、以上の事実は\(a\)が\(\mathbb{Z} \)の極大元であることと矛盾です。したがって背理法より、\(\mathbb{Z} \)の極大元が存在しないことが明らかになりました。続いて、\(\mathbb{Z} \)の極小元\(a\in \mathbb{Z} \)が存在するものと仮定します。これに対して、\begin{equation*}\exists a-1\in \mathbb{Z} :a-1<a
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(a\)より小さい要素が\(\mathbb{Z} \)の中に存在しますが、以上の事実は\(a\)が\(\mathbb{Z} \)の極小元であることと矛盾です。したがって背理法より、\(\mathbb{Z} \)の極小元が存在しないことが明らかになりました。

 

有限集合は極大元と極小元を持つ

順序集合の非空な部分集合が有限集合である場合、その部分集合の極大元と極小元がともに存在することが保証されます。これは有限集合に含まれる要素の個数\(n\)に関する数学的帰納法より証明可能です。

命題(半順序集合の有限部分集合の極大元と極小元)
順序集合\(\left( A,\leq \right) \)の非空な部分集合\(X\)が有限集合である場合には、\(X\)の極大元と極小元がそれぞれ存在する。
証明

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順序集合\(A\)の非空な部分集合\(X\)が有限集合である場合、\(X\)の最大元や最小元が存在することを保証するためには、\(A\)は半順序集合ではなく全順序集合である必要があります。他方で、極大元と極小元に関する先の命題は順序集合\(A\)が半順序集合である場合にも成立するため、半順序集合\(A\)の非空な部分集合\(X\)が有限集合である場合、\(X\)の極大元や極小元が必ず存在します。

つまり、全順序集合\(A\)の非空な部分集合\(X\)が有限集合である場合、\(X\)の最大元と最小元、極大元と極小元はいずれも存在することが保証される一方で、半順序集合\(A\)の非空な部分集合\(X\)が有限集合である場合、\(X\)の最大元と最小元は存在するとは限らない一方で、\(X\)の極大元と極小元はいずれも存在することが保証されます。以下の例より明らかです。

例(有限集合の極大元と極小元)
集合\(A=\left\{ a,b,c\right\} \)のベキ集合\begin{equation*}2^{A}=\left\{ \phi ,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\}
,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{
a,b,c\right\} \right\}
\end{equation*}上に定義された包含関係\(\subset \)は半順序ですが全順序ではありません。\(2^{A}\)の部分集合\begin{equation*}X=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} \right\}
\end{equation*}に注目します。\(\left\{ a\right\},\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} \)の間に包含関係は成立せず、したがって\(X\)のすべての要素を部分集合として持つ集合は\(X\)の中に存在しないため\(X\)の最大元は存在しません。また、\(X\)のすべての要素の部分集合であるような集合は\(X\)の中に存在しないため\(X\)の最小元も存在しません。その一方で、\(\left\{ a\right\} \in X\)に対して、\begin{equation*}\left\{ a\right\} \subset Y
\end{equation*}を満たす集合\(Y\in X\)を任意に選んだとき、\(X\)の定義より、\begin{equation*}Y=\left\{ a\right\}
\end{equation*}が成り立つため、\(\left\{a\right\} \)が\(X\)の極大元であることが明らかになりました。\(\left\{ b\right\} ,\left\{c\right\} \)が\(X\)の極大元であることも同様にして示されます。また、\(\left\{ a\right\} \in X\)に対して、\begin{equation*}Y\subset \left\{ a\right\}
\end{equation*}を満たす集合\(Y\in X\)を任意に選んだとき、\(Y\)の定義より、\begin{equation*}Y=\left\{ a\right\}
\end{equation*}が成り立つため、\(\left\{a\right\} \)が\(X\)の極小元であることが明らかになりました。\(\left\{ b\right\} ,\left\{c\right\} \)が\(X\)の極小元であることも同様にして示されます。

 

極大元や極小元は一意的であるとは限らない

先に示したように、順序集合の非空な部分集合は極大元や極小元を持つとは限りません。また、極大元や極小元が存在する場合、それらはそれぞれ一意的に定まるとは限りません。以下の例より明らかです。最大元や最小元が存在する場合にはそれぞれ一意的であることとは対称的な結果です。

例(極大元や極小元が一意的ではない場合)
集合\(A=\left\{ a,b,c\right\} \)のベキ集合\begin{equation*}2^{A}=\left\{ \phi ,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\}
,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{
a,b,c\right\} \right\}
\end{equation*}上に定義された包含関係\(\subset \)は半順序です。\(2^{A}\)の部分集合\begin{equation*}X=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} \right\}
\end{equation*}に注目します。先に示したように、\(\left\{ a\right\},\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} \)はいずれも\(X\)の極大元です。また、\(\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} \)はいずれも\(X\)の極小元です。

 

極大元と最大元・極小元と最小元の関係

順序集合の非空な部分集合が最大元を持つ場合、それは極大元でもあります。また、最小元は極小元でもあります。

命題(最大元は極大元・最小元は極小元)
順序集合\(\left( A,\leq \right) \)の非空な部分集合\(X\)を任意に選んだとき、最大元\(\max X\)が存在するならば、それは\(X\)の極大元でもある。また、最小元\(\min X\)が存在するならば、それは\(X\)の極小元でもある。
証明

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例(最大元は極大元・最小元は極小元)
自然数集合\(\mathbb{N} \)上に定義された整除関係\(|\)は半順序です。ただし、任意の\(x,y\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}x|y\Leftrightarrow y\text{は}x\text{の倍数}
\end{equation*}を満たすものとして\(|\)は定義されます。\(\mathbb{N} \)の部分集合\begin{equation*}X=\left\{ 2,4,6,8,10,30,60,120,240\right\}
\end{equation*}に注目します。\(240\in X\)は\(X\)の任意の要素の倍数であるため、すなわち、\begin{equation*}\exists 240\in X,\ \forall x\in X:x|240
\end{equation*}が成り立つため、\(240\)は\(X\)の最大元です。したがって、先の命題より、\(240\)は\(X\)の極大元でもあります。実際、\begin{equation*}240|y
\end{equation*}を満たす自然数\(y\in X\)を任意に選んだとき、\(X\)の中には\(240\)とは異なる\(240\)の倍数は存在しないため、\begin{equation*}y=240
\end{equation*}となります。以上より\(240\)が\(X\)の極大元であることが示されましたが、この結果は先の命題の主張と整合的です。同様にして、\(2\in X\)が\(X\)の最小元であるとともに極小元であることが示されます。

上の命題の逆は成り立ちません。つまり、順序集合の非空な部分集合が極大元を持つ場合、それは最大元であるとは限りません。また、極小元が存在する場合、それは最小元であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(最大元ではない極大元・最小元ではない極小元)
集合\(A=\left\{ a,b,c\right\} \)のベキ集合\begin{equation*}2^{A}=\left\{ \phi ,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\}
,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{
a,b,c\right\} \right\}
\end{equation*}上に定義された包含関係\(\subset \)は半順序です。\(2^{A}\)の部分集合\begin{equation*}X=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} \right\}
\end{equation*}に注目します。先に示したように、\(\left\{ a\right\},\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} \)はいずれも\(X\)の極大元である一方で、\(X\)の最大元は存在しないため、\(\left\{ a\right\},\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} \)は\(X\)の最大元ではありません。また、\(\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{c\right\} \)はいずれも\(X\)の極小元である一方で、\(X\)の最小元は存在しないため、\(\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\},\left\{ c\right\} \)は\(X\)の最小元ではありません。

ただし、順序集合\(A\)が半順序集合ではなく全順序集合である場合、最大元と極大元は概念として一致し、最小元と極小元は概念として一致します。

命題(全順序のもとでの極大元と最大元・極小元と最小元の関係)
全順序集合\(\left( A,\leq \right) \)の非空な部分集合\(X\)を任意に選んだとき、要素\(a\in A\)が\(X\)の極大元であることは、\(a\)が\(X\)の最大元であるための必要十分条件である。また、要素\(a\in A\)が\(X\)の極小元であることは、\(a\)が\(X\)の最小元であるための必要十分条件である。
証明

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例(実数の大小関係のもとでの極大元と最大元・極小元と最小元の関係)
実数集合\(\mathbb{R} \)上に定義された大小関係\(\leq \)は全順序です。\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}\left[ 0,1\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}に注目します。先に示したように、\(1\)は\(\left[0,1\right] \)の極大元であり、\(0\)は\(\left[ 0,1\right] \)の極小元です。したがって先の命題より、\begin{eqnarray*}\max \left[ 0,1\right] &=&1 \\
\min \left[ 0,1\right] &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
\forall x &\in &\left[ 0,1\right] :x\leq 1 \\
\forall x &\in &\left[ 0,1\right] :0\leq 1
\end{eqnarray*}が成立するため、\(1\)は\(\left[ 0,1\right] \)の最大元であり、\(0\)は\(\left[ 0,1\right] \)の最小元です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
例(実数の大小関係)
実数集合\(\mathbb{R} \)上に定義された大小関係\(\leq \)は全順序です。\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}\left( 0,1\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x<1\right\}
\end{equation*}に注目します。\(\max \left(0,1\right) \)と\(\min \left( 0,1\right) \)はともに存在しません。大小関係\(\leq \)は全順序であるため、先の命題より、\(\left( 0,1\right) \)の極大元や極小元もまた存在しません。

 

空集合の極大元と極小元

これまでは順序集合\(A\)の非空な部分集合を対象に、その極大元や極大元を考えてきました。空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \subset A\)です。では、空集合の極大元や極大元は存在するのでしょうか。

空集合\(\phi \)の極大元に相当する要素\(a\)が存在するものと仮定します。極大元の定義より\(a \in \phi \)でなければなりませんが、空集合は要素を持たないためこれは矛盾です。したがって背理法より\(\phi \)は極大元を持たないことが明らかになりました。

空集合\(\phi \)が極小元を持たないことの証明も同様です。

 

演習問題

問題(極大元と極小元)
自然数集合\(\mathbb{N} \)上に定義された整除関係\(|\)は半順序です。ただし、任意の\(x,y\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}x|y\Leftrightarrow y\text{は}x\text{の倍数}
\end{equation*}を満たすものとして\(|\)は定義されます。\(\mathbb{N} \)の部分集合\begin{equation*}X=\left\{ 2,3,4,5,8,10,12,24,30\right\}
\end{equation*}に注目します。\(X\)の極大元、極小元、最大元、最小元をそれぞれ特定してください。
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問題(最大元と最小元)
自然数集合\(\mathbb{N} \)上に定義された整除関係\(|\)は半順序です。ただし、任意の\(x,y\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}x|y\Leftrightarrow y\text{は}x\text{の倍数}
\end{equation*}を満たすものとして\(|\)は定義されます。\(\mathbb{N} \)の部分集合\begin{equation*}A=\mathbb{N} \backslash \left\{ 1\right\} =\left\{ 2,3,4,\cdots \right\}
\end{equation*}に注目します。\(A\)の極大元や極小元は存在しますか。議論してください。
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