合成写像による単射・全射・全単射の判定

合成写像が単射・全射・全単射である場合に合成している個々の写像に関して成り立つ性質や、逆に単射・全射・全単射どうしを合成した場合に合成写像に関して成り立つ性質について学びます。

合成写像 全射 単射 全単射

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合成写像が単射・全射・全単射の場合

合成写像が単射、全射、全単射のいずれかである場合には、合成写像の部品である写像について以下が成り立ちます。

命題(合成写像が単射・全射・全単射の場合)
2 つの写像\(f:X\rightarrow Y,\ g:Y\rightarrow Z\)と合成写像\(g\circ f:X\rightarrow Z\)の間には以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ g\circ f\text{が単射ならば}f\text{も単射である。} \\
&&\left( b\right) \ g\circ f\text{が全射ならば}g\text{も全射である。} \\
&&\left( c\right) \ g\circ f\text{が全単射ならば}f\text{は単射で}g\text{は全射である。}
\end{eqnarray*}
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恒等写像は全単射であることから、上の命題より、合成写像が恒等写像である場合には以下が成り立ちます。

系(合成写像が恒等写像の場合)
2 つの写像\(f:X\rightarrow Y,\ g:Y\rightarrow X\)と合成写像\(g\circ f:X\rightarrow X\)の間には以下が成り立つ。\begin{equation*}
g\circ f=I_{X}\text{ならば}f\text{は単射かつ}g\text{は全射である}
\end{equation*}

 

単射・全射・全単射どうしの合成写像

上の命題とは逆に、単射どうし、全射どうし、そして全単射どうしの合成に関して以下の命題が成り立ちます。

命題(単射・全射・全単射どうしの合成写像)
2 つの写像\(f:X\rightarrow Y,\ g:Y\rightarrow Z\)と合成写像\(g\circ f:X\rightarrow Z\)の間には以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f,g\text{がともに単射ならば}g\circ f\text{も単射である。} \\
&&\left( b\right) \ f,g\text{がともに全射ならば}g\circ f\text{も全射である。} \\
&&\left( c\right) \ f,g\text{がともにが全単射ならば}g\circ f\text{も全単射である。}
\end{eqnarray*}
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次回は合成写像による単射・全射・全単射の判定について学びます。
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