逆写像の存在条件

一般に、写像の逆写像は存在するとは限りません。しかし、写像が全単射である場合には逆写像が存在することを保証できます。さらに、逆写像が存在することはもとの写像が全単射であることも含意します。

逆写像 存在 全単射

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逆写像が存在するための必要十分条件

一般に、写像の逆写像は存在するとは限りません。しかし、写像が全単射である場合には逆写像が存在することを保証できます。さらに、逆写像が存在することはもとの写像が全単射であることも含意します。

命題(逆写像が存在するための必要十分条件)
写像\(f:X\rightarrow Y\)が全単射であることは逆写像\(f^{-1}:Y\rightarrow X\)が存在するための必要十分条件である。
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例(逆写像が存在しないケース)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\left( x\right) =x^{2}\)を像として定めるものとします。このとき、\(x\)の異なる値\(1,-1\)に対して\(f\left( 1\right) =f\left( -1\right) =1\)となるため\(f\)は単射ではありません。したがって上の命題より\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)は存在しないはずです。実際、\(f\)による\(1\)の逆像は、\begin{equation*}
f^{-1}\left( 1\right) =\{x\in \mathbb{R}\ |\ 1=x^{2}\}=\{1,-1\}
\end{equation*}となりますが、これは1点集合ではないため逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)は存在しません。
例(逆写像が存在するケース)
上の例において\(f\)の定義域を\(\mathbb{R}\)から\(\mathbb{R}_{+}\)へ縮小します。つまり、関数\(f:\mathbb{R}_{+}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの非負の実数\(x\in \mathbb{R}_{+}\)に対して\(f\left( x\right) =x^{2}\)を像として定めるものとします。この場合には\(f\)は全単射となるため、上の命題より\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)が存在するはずです。実際、\(f\)によるそれぞれの\(y\in \mathbb{R}\)の逆像は、\begin{equation*}
f^{-1}\left( y\right) =\{x\in \mathbb{R}_{+}\ |\ y=x^{2}\}=\{\sqrt{y}\}
\end{equation*}となりますが、これは1点集合であるため逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R}_{+}\rightarrow \mathbb{R}\)が存在します。具体的には、逆写像\(f^{-1}\)がそれぞれの\(y\in Y\)に対して定める像は\(f^{-1}\left( y\right) =\sqrt{y}\)となります。

 

逆写像は全単射

まずは以下の命題を示します。

命題(逆写像の逆写像)
写像\(f:X\rightarrow Y\)の逆写像\(f^{-1}:Y\rightarrow X\)が存在する場合にはさらにその逆写像\(\left( f^{-1}\right) ^{-1}:X\rightarrow Y\)が存在して、\(\left( f^{-1}\right) ^{-1}=f\)が成り立つ。
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写像\(f:X\rightarrow Y\)の逆写像\(f^{-1}:Y\rightarrow X\)が存在する場合には、上の命題よりさらにその逆写像\(\left( f^{-1}\right) ^{-1}:X\rightarrow Y\)が存在します。先に示したように、逆写像が存在することはもとの写像が全単射であるための必要十分条件です。したがって、写像\(f^{-1}\)の逆写像\(\left( f^{-1}\right) ^{-1}\)が存在することは\(f^{-1}\)が全単射であることを意味します。この結果を命題としてまとめておきます。

系(逆写像は全単射)
写像\(f:X\rightarrow Y\)の逆写像\(f^{-1}:Y\rightarrow X\)が存在する場合には、\(f^{-1}\)は全単射である。

次回は逆写像の定義域と値域について学びます。
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