写像 f:X→Y とその定義域 X の部分集合 A が与えられたとき、A のそれぞれの要素 x の f による像 f(x) を集めてできる集合を f による A の像と呼び、これを f(A) で表します。写像による定義域の像 f(A) は写像の値域と一致します。

2019年3月26日:公開

集合の像

写像\(f:X\rightarrow Y\)とその定義域\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)のそれぞれの要素\(x\)の\(f\)による像\(f\left( x\right) \)を集めてできる集合を、\begin{equation*}
f\left( A\right) =\{f\left( x\right) \in Y\ |\ x\in A\}
\end{equation*}で表し、これを\(f\)による\(A\)の(image)と呼びます。\(f\left( A\right) \)は明らかに\(Y\)の部分集合です。

写像\(f:X\rightarrow Y\)の定義域\(X\)の部分集合\(A\)と終集合\(Y\)の要素\(y\)を任意に選びます。このとき\(y\in f\left( A\right) \)が成り立つならば、\(f\left( A\right) \)の定義より\(y=f\left( x\right) \)であるような\(A\)の要素\(x\)が存在します。逆に、\(y=f\left( x\right) \)であるような\(A\)の要素\(x\)が存在する場合には、やはり\(f\left( A\right) \)の定義より\(y\in f\left( A\right) \)が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
y\in f(A)\ \Leftrightarrow \ \exists x\in A:y=f(x)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ゆえに、\(f\)による\(A\)の像を、\begin{equation*}
f\left( A\right) =\{y\in Y\ |\ \exists x\in A:y=f\left( x\right) \}
\end{equation*}と表現することもできます。

例(関数による定義域の部分集合の像)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義します。\(f\)による\(\{1,2\}\subset \mathbb{R}\)の像は、\begin{align*}
f\left( \left\{ 1,2\right\} \right) & =\{x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \{1,2\}\} \\
& =\left\{ 1,4\right\}
\end{align*}となります。また、\(f\)による\((-1,1)\subset \mathbb{R}\)の像は、\begin{align*}
f\left( (-1,1)\right) & =\{x^{2}\in \mathbb{R}
\ |\ x\in (-1,1)\} \\
& =[0,1)
\end{align*}となります。
例(空集合の像)
写像\(f:X\rightarrow Y\)による空集合\(\phi \subset X\)の像は、\begin{equation*}
f(\phi )=\{f(x)\in Y\ |\ x\in \phi \}
\end{equation*}となりますが、\(x\in \phi \)は恒偽式であることから、\begin{equation*}
f\left( \phi \right) =\phi
\end{equation*}となります。つまり、空集合の像は空集合です。

 

要素の像と集合の像の関係

写像\(f:X\rightarrow Y\)とその定義域\(X\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、像\(f\left( A\right) \)の定義より、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
x\in A\ \Rightarrow \ f\left( x\right) \in f\left( A\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(x\)が\(A\)の要素ならば\(x\)の像は\(A\)の像の要素になります。

他方で、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) \in f\left( A\right) \ \Rightarrow \ x\in A
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。つまり、\begin{equation*}
f\left( x\right) \in f\left( A\right) \ \wedge \ x\not\in A
\end{equation*}を満たす\(x\in X\)が存在し得るということです。

実際、\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)と定義域の部分集合\((-1,3)\)に注目すると、下のグラフより\(f\left( A\right) =[0,9)\)となります。

図:写像による集合の像

ここで\((-1,3)\)に属さない値\(-2\)に注目すると、\begin{equation*}
f\left( -2\right) =4\in \lbrack 0,9)=f\left( A\right)
\end{equation*}となります。

 

定義域の像は値域と一致する

写像の始集合と定義域は常に一致する一方で、終集合と値域は一致するとは限らないことは以前に示しました。実は、写像による定義域の像と値域は常に一致します。

命題(写像による定義域の像と値域は一致する)
任意の写像\(f:X\rightarrow Y\)について、\begin{equation*}
f\left( X\right) =R\left( f\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(R\left( f\right) \)は\(f\)の値域である。
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次回は写像による集合の逆像について解説します。
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